等腰三角形的等腰三角形的轴对称性轴对称性: :(1)(1)等腰三角形是等腰三角形是轴对称图形轴对称图形. .(2)(2)顶角平分线顶角平分线所在的直线所在的直线是它的对称轴是它的对称轴. .w等腰三角形顶角的平分线等腰三角形顶角的平分线, ,底边上的底边上的w中线中线, ,底边上的高互相重合底边上的高互相重合( (三线合一三线合一) )w等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等.w等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等.w等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等.n n以等腰三角形为条件时的常用辅助线:n n如图：若AB=ACn n作ADBC于D，必有结论:1=2，BD=DCn n若BD=DC，连结AD，必有结论：1=2，ADBCn n作AD平分BAC必有结论：ADBC，BD=DCn n作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作ADBC，使1=2.n n例一次数学实践活动的内容是测量河宽，如例一次数学实践活动的内容是测量河宽，如例一次数学实践活动的内容是测量河宽，如例一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量，之间的距离同学们想出了许图，即测量，之间的距离同学们想出了许图，即测量，之间的距离同学们想出了许图，即测量，之间的距离同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点出发，沿着多方法，其中小聪的方法是：从点出发，沿着多方法，其中小聪的方法是：从点出发，沿着多方法，其中小聪的方法是：从点出发，沿着与直线成与直线成与直线成与直线成 角的方向前进至，在角的方向前进至，在角的方向前进至，在角的方向前进至，在处测得处测得处测得处测得 量出的长，它就是河宽量出的长，它就是河宽量出的长，它就是河宽量出的长，它就是河宽（即，之间的距离）这个方法正确吗？请（即，之间的距离）这个方法正确吗？请（即，之间的距离）这个方法正确吗？请（即，之间的距离）这个方法正确吗？请说明理由说明理由说明理由说明理由v解：小聪的测量方法正确理由如下：解：小聪的测量方法正确理由如下：v v（三角形的外角的性质）（三角形的外角的性质）v v v v（在一个三角形中，等角对等边）（在一个三角形中，等角对等边） 例例2 2：上午：上午10 10 时，一条船从时，一条船从A A处出发以处出发以2020海里每小时的速度向正北航行，中海里每小时的速度向正北航行，中午午1212时到达时到达B B处，从处，从A A、B B望灯塔望灯塔C C，测，测得得NAC=40NAC=40， NBC=80 NBC=80求从求从B B处处到灯塔到灯塔C C的距离的距离解：解：NBC=A+CNBC=A+CC=80- 40= 40 C=80- 40= 40 BA=BC BA=BC（等角对等边）（等角对等边）AB=20AB=20（12-1012-10）=40=40BC=40BC=40答：答：B B处到达灯塔处到达灯塔C40C40海里海里ABN80804040C1 1、已知等腰三角形的两边分别是、已知等腰三角形的两边分别是4 4和和6 6，则它，则它的周长是（的周长是（ ）（A A）14 14 （B B）15 15 （C C）16 16 （D D）1414或或16162、等腰三角形的周长是、等腰三角形的周长是30，一边长是，一边长是12，则，则另两边长是另两边长是_判断下列语句是否正确。判断下列语句是否正确。（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（ ）（2）有一个角是）有一个角是60的等腰三角形，其它两个的等腰三角形，其它两个 内角也为内角也为60. （ ）（3）等腰三角形的底角都是锐角）等腰三角形的底角都是锐角. （ ）（4）钝角三角形不可能是等腰三角形）钝角三角形不可能是等腰三角形 . （ ）1、等腰三角形的周长为、等腰三角形的周长为18，其中一条边是，其中一条边是8，求另外两条边长。求另外两条边长。2、等腰三角形中有一个角为、等腰三角形中有一个角为40，求其余各，求其余各角的度数。角的度数。3、已知、已知a、b、c是是 ABC的三边的长，且的三边的长，且 a a2 2+2ab=c+2ab=c2 2+2bc+2bc，则，则 ABC是是 三角形。三角形。4、如图，在六边形、如图，在六边形ABCDEF中，各内角都中，各内角都为为120 ，且，且AB=2，BC=3，CD=5，DE=4，求六边形求六边形ABCDEF的周长。的周长。ABCDEF例例1、在、在 ABC中，中，AB=AC，BD=DC，DE AB，DF AC，垂足为，垂足为E、F，那，那么么DE与与DF相等吗？试说明理由。相等吗？试说明理由。ABCDEF例例2、 在在 ABC中中AB=AC，D，E，F，分别为分别为AB，BC，AC上的点且上的点且BD=CE， DEF=B， 试说明试说明 DEF是等腰三是等腰三角形角形ABCDEF如图，AB=AC，BD平分ABCABC，CDCD平分平分ACBACB。问：。问：（1 1）图中有几个等腰三角形？）图中有几个等腰三角形？ ABCD（2）若过D作EF BC则图中有几个等腰三角形？图中有几个等腰三角形？ EF（3）线段）线段EF与线段与线段BE，CF有何数量关系？有何数量关系？（4）若过）若过ABCABC的一个内角和一个外角平分的一个内角和一个外角平分线的交点作这两个角的公共边的平行线，线的交点作这两个角的公共边的平行线，如图，如图，EFEF与与BEBE，CFCF三者有何数量关系？三者有何数量关系？（5）若过）若过ABCABC的两个外角平分线的交点作的两个外角平分线的交点作这两个角的公共边的平行线，这两个角的公共边的平行线，如图，如图，EFEF与与BEBE，CFCF三者有何数量关系？三者有何数量关系？ABCDEFEABCFD在在ABC中，中，AB=AC若过其中一个顶点若过其中一个顶点的一条直线，将的一条直线，将ABC分成两个等腰三角形，分成两个等腰三角形，求求ABC各内角的度数各内角的度数考考你考考你思维的思维的缜密性缜密性例例6 .如图如图2-8-1,中，中，AB=AC，D为为AB上一点，上一点，E为为AC延长线上一点，且延长线上一点，且BD=CE，DE交交BC于于G请说明请说明DG=EG的理由的理由.n n思路思路思路思路 因为因为因为因为GDBGDB和和和和GECGEC不全等，所以考虑不全等，所以考虑不全等，所以考虑不全等，所以考虑在在在在GDBGDB内作出一个与内作出一个与内作出一个与内作出一个与GECGEC全等的三角形。全等的三角形。全等的三角形。全等的三角形。说明说明 本题易明显得出本题易明显得出DG和和EG所在的所在的DBG和和ECG不全等，不全等，故要构造三角形的全等，本题故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过的另一种证法是过E作作EFBD，交，交BC的延长线于的延长线于F，证明，证明DBGEFG，同学们不妨，同学们不妨试一试。试一试。例例7. 如图如图2-8-6，在，在ABC中，中，AB=AC=CB，AE=CD， AD、BE相交于相交于P，BQAD于于Q. 请说明请说明BP=2PQ的理由的理由.n n思路思路思路思路 在在在在RtRtBPQBPQ中，本题的结论等价于证明中，本题的结论等价于证明中，本题的结论等价于证明中，本题的结论等价于证明PBQ=30 PBQ=30 证明证明 AB=CA，BAE=ACD=60，AE=CD，BAEACDABE=CADBPQ=ABE+BAP=CAD+BAP=60又又BQADPBQ=30BP=2PQ例例8：如图、在：如图、在ABC中，中，D，E在在直线直线BC上，且上，且AB=BC=AC=CE=BD，求求EAC的度数。的度数。探索：如图、在探索：如图、在ABC中，中，D，E在直线在直线BC上，且上，且AB=AC=CE=BD，DAE=100，求，求EAC的度数。的度数。2. 2.等腰三角形顶角为等腰三角形顶角为等腰三角形顶角为等腰三角形顶角为3636，底角为，底角为，底角为，底角为_。3. 3.等腰三角形顶角和一个底角之和为等腰三角形顶角和一个底角之和为等腰三角形顶角和一个底角之和为等腰三角形顶角和一个底角之和为100100，则顶角，则顶角，则顶角，则顶角度数为度数为度数为度数为_。4. 4.等腰三角形两个角之比为等腰三角形两个角之比为等腰三角形两个角之比为等腰三角形两个角之比为4:14:1，则顶角为，则顶角为，则顶角为，则顶角为_，底角为，底角为，底角为，底角为_。5. 5.等腰三角形两边长为等腰三角形两边长为等腰三角形两边长为等腰三角形两边长为4 4、6 6，这个三角形周长为，这个三角形周长为，这个三角形周长为，这个三角形周长为_。6. 6.已知已知已知已知ABCABC中中中中AB=ACAB=AC，ABAB垂直平分线交垂直平分线交垂直平分线交垂直平分线交ACAC于于于于E E，交，交，交，交ABAB于于于于D D，连结，连结，连结，连结BEBE，若，若，若，若A=50A=50，EBC=_EBC=_。7. 7.ABCABC中，中，中，中，AB=ACAB=AC，ADADBCBC于于于于D D，若，若，若，若ABCABC的的的的周长为周长为周长为周长为5050，ABDABD的周长为的周长为的周长为的周长为4040，则，则，则，则AD=_AD=_。8. 8.若等腰三角形顶角为若等腰三角形顶角为若等腰三角形顶角为若等腰三角形顶角为n n度，则腰上的高与底边的夹度，则腰上的高与底边的夹度，则腰上的高与底边的夹度，则腰上的高与底边的夹角为角为角为角为_。9.9.如图，线段如图，线段ODOD的一个端点的一个端点O O在直线在直线a a上，以上，以ODOD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线线a a上，这样的等腰三角形能画多少个上，这样的等腰三角形能画多少个? ?a1509.已知等腰三角形一腰上的中线将三角已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成：两部分，已知三角形形周长分成：两部分，已知三角形底边长为，求腰长？底边长为，求腰长？解：如图，令解：如图，令CDx，则，则ADx，AB2x底边底边BC5BCCD5x ABAD3x(5+x)：3x2:1或或3x：(5+x)=2:11010、如图，、如图，D D是正是正ABCABC边边ACAC上的中点，上的中点，E E是是BCBC延长线上一点，且延长线上一点，且CE=CDCE=CD，诬蔑说明，诬蔑说明BD=DEBD=DE的理由的理由. .AB C ED3 3、如图，在、如图，在RtRtABC中，中，ACB=90=900 0， CAB的平分线的平分线AD交交BC于于D，AB边上的高线边上的高线CE交交AB于于E，交，交AD于于F，求，求证：证：CD=CFBACED