位移法的典型方程 一、无侧移刚架的计算一、无侧移刚架的计算qPLLL/2L/2EI= 常数ABCDE1、构造在荷、构造在荷载作用下的位移和作用下的位移和变形是独一确定的，特形是独一确定的，特别的的 A， B是独一确定的；是独一确定的；2、构造内力是独一确定的。、构造内力是独一确定的。 1位移法变量位移法变量3、求解思绪：、求解思绪：“先修正，后复原先修正，后复原 2附加附加2个个刚臂，使臂，使结点不能点不能转动-各杆弯矩不能相互各杆弯矩不能相互传送送R1PR2PMP图PL/8qL2/12R1P，R2P怎样求？PqR1PR2PPL/8qL2/12MP图R1 R2 +假假设令令R1= - R1P、R2= - R2P3 3如何消掉附加的刚臂约束？如何消掉附加的刚臂约束？叠加后附加叠加后附加刚臂的臂的约束没了，束没了， 叠加后内力就是原构造的内力叠加后内力就是原构造的内力4 4如何作如何作R1R1，R2R2作用下得弯矩图？作用下得弯矩图？R1 R2 与力法与力法类似，依然运用叠加法：似，依然运用叠加法：问题是：是：每种情况下两个每种情况下两个刚结点都点都发生生转动，相互关相互关联，无法作出弯矩，无法作出弯矩图。R1R2+=假假设在在B B处附加附加刚臂，臂，在在A A结点施加力矩使得点施加力矩使得A A结点点转角角为AA反之，假反之，假设在在A A处附加附加刚臂，臂，在在B B结点施加力矩使得点施加力矩使得B B结点点转角角为BB假假设叠加叠加这两种情况：两种情况：1 1结点点A A的的转角角为AA，结点点B B的的转角角为BB2R1 R2 PqR1PR2PPL/8qL2/12MP图 +这就是位移法方程，解出就是位移法方程，解出AA，BBR1 R2 5 5ri jri j的求法的求法求r11,r12的研讨对象求r21,r22的研讨对象PqR1PR2PPL/8qL2/12MP图R1 R2 +6 6弯矩图的作法弯矩图的作法PqR1PR2PPL/8qL2/12MP图+A+B即qEI=常数，杆长均为LqL2/12RP=qL2/12位移法思绪位移法思绪rr = 8i4i2i3iir4i3iiqL2/12RP=qL2/12即可消掉附加刚臂的约束即可消掉附加刚臂的约束4i2i3iirqL2/12RP=qL2/12qL2/24qL2/32qL2/96rqL2/48qL2/12RP=qL2/12qL2/24qL2/32qL2/96rqL2/48qL2/32qL2/965qL2/48qL2/24qEI=常数，杆长均为LR1PR2P-R1P-R2PAB叠加原理R1PR2P-R1P-R2Pr11Ar22B叠加原理A ？B ？r21Ar12BR1PR2Pr11Ar22Br21Ar12B3 3种情况叠加自然种情况叠加自然满足位移条件足位移条件即，即，结点点转角角为AA，BB假设令，假设令，那么，那么，结点平衡条件也就点平衡条件也就满足了足了即，消掉了附加即，消掉了附加约束。束。R1PR2PMP图r11r21r22r12二、有侧移刚架的弯矩图作法二、有侧移刚架的弯矩图作法PABCDE 1位移法位移法变量：量：B ，CH 2为使构造各杆在荷使构造各杆在荷载作用下的弯矩不相互作用下的弯矩不相互传送，送，需施加两种需施加两种约束。束。变形图BCH附加支杆附加支杆附加刚臂附加刚臂BPADE附加刚臂附加刚臂 和和 附加支杆附加支杆-先作修正先作修正PABCDEVBEVADPR2PR1P求求R2P的研讨对的研讨对象象R1P000求求R1P的研讨对的研讨对象象PABCDER1R2MP图R2PR1PBPADE+=3 3如何消掉附加的约束？如何消掉附加的约束？假假设令令R1= - R1P、R2= - R2P依然运用叠加法依然运用叠加法 继续运用叠加法继续运用叠加法 R1R2=+同同样的的问题是：是：每种情况下两个每种情况下两个结点都点都发生位移，相生位移，相互关互关联，无法作出弯矩，无法作出弯矩图。假假设在在C C处附加支杆，附加支杆，在在B B结点施加力矩使得点施加力矩使得B B结点点转角角为BB反之，假反之，假设在在B B处附加附加刚臂，臂，在在C C结点施加力使得点施加力使得C C结点程度位移点程度位移为CHCH叠加叠加这两种情况：两种情况：a a力的叠加力的叠加b b位移的叠加位移的叠加 叠加后，叠加后，B B结点的点的转角角为BB，C C结点的程度位移点的程度位移为CHCH满足以下方程，就消去了施加的满足以下方程，就消去了施加的2个约束个约束MP图R2PR1PBPADER1R2+ 4 4ri jri j的求法的求法3i4i3i2i3i/L6i/L6i/L求r11,r12的研讨对象求r21,r22的研讨对象MP图R1PR2PP5弯矩图的作法弯矩图的作法+3i4i3i2iB+3i/L6i/L6i/LCH三、小结三、小结 超静定构造超静定构造确定位移法变量确定位移法变量刚结点转角，结点线位移刚结点转角，结点线位移 附加刚臂和支杆约束附加刚臂和支杆约束各杆弯矩不相互传送各杆弯矩不相互传送结点没有位移发生结点没有位移发生确定约束力确定约束力RiP在结点处反作用约束力在结点处反作用约束力 RiP分分别作构造在作构造在-RiP作用下作用下的弯矩的弯矩图，i=1,2,作各杆在各自荷载作各杆在各自荷载作用下得弯矩图作用下得弯矩图MP图图Mi 图图“修正正程修正正程叠叠加加后后约约束束消消除除 等价等价“复原复原过程程四、位移法的典型方程四、位移法的典型方程这就是位移法的典型方程。就是位移法的典型方程。五、位移法的计步骤五、位移法的计步骤1. 确定位移法确定位移法变量量2. 作作MP图，求出，求出R1P、R2P六、位移法计算应留意的问题六、位移法计算应留意的问题1. 位移法位移法过程中，判程中，判别一个杆件有无弯矩的方法是：一个杆件有无弯矩的方法是： 1该杆有无杆端杆有无杆端转角角 2该杆有无杆端相杆有无杆端相对侧移移 3该杆上有无荷杆上有无荷载作用作用2. 各各图中中R1P，r11，r12 的方向的方向应坚持一致画持一致画出出 R2P，r21，r22的方向的方向应坚持一致画持一致画出出3. r11，r22 均均为大于零的大于零的值，即施加的，即施加的单位力与位力与发 生位移的方向生位移的方向协调一致。一致。七、计算举例七、计算举例 例题18 kN/mABCDE4m2m4mEI=常数16 kN16 kNm等效体系及变形图解：解：1位移法位移法变量：量：C和和CH 2附加附加约束作束作MP图，并，并求求R1P ，R2P 0R1P=8 kNm8 kNmR2P=0R1P=8 kNm16 kNm8 kNmMP16 kN16 kNmBCDER2P=0VBDVCE例题例题1结点弯矩为什么逆时针画结点弯矩为什么逆时针画剪力为什么总是顺时针画剪力为什么总是顺时针画阐明：阐明：BC杆受两个荷载作用：均布荷载及集中力偶矩，杆受两个荷载作用：均布荷载及集中力偶矩， 其弯矩图作法如下：其弯矩图作法如下：BC16kNmBC16kNm8kNm16kNm均布荷载作用均布荷载作用B端力矩作用端力矩作用叠加即得叠加即得BCBC杆的弯矩杆的弯矩图。BDBD杆杆及及CECE杆杆没没有有弯弯矩矩是是由由于于它它没没有有杆杆端端转角角、没没有有杆杆端端相相对侧移、没有荷移、没有荷载。BDBD、CECE杆杆没没有有杆杆端端剪剪力力，故故，取取BCBC杆杆程程度度方方向向力力的的平平衡衡可可得得R2P=0R2P=0例题1例题1r11Br22掌握掌握变形形图，有助于画出弯矩，有助于画出弯矩图取结点取结点C为研讨对象：为研讨对象：取取BC杆为研讨对象：杆为研讨对象：他能他能验算算吗 ？r21r113i4i2ir22r123i/L6i/L6i/LBC4位移法方程5作M图2.090.702.7816 8 3i3i/L6i/L4i例题1例题2求作弯矩图，求作弯矩图，EI=常数，各杆长常数，各杆长L=6m 变形图19 kNABCDE解：解：1. 位移法位移法变量：量：B，AH 2.附加附加约束作束作MP图， 并求并求R1P，R2P R2P19 kNR1PR1P=0 ，R2P= 19 kN计算举例例题23i3i4i2ir11r21r22r126i/L6i/L3i/L分分别取取结点点B的弯矩平衡，得：的弯矩平衡，得：r11=10i ，r12= 6i/L分分别取横梁取横梁为研研讨对象，得：象，得：r21= 6i/L，r22=15i/L2VCEVBDr21，r22计算举例例题25. 作作M图图18183648303i3i4i2ir11r21r22r126i/L6i/L3i/LR2P19 kNR1P计算举例计算举例例题3CDEFGqqLL/2LLLL例例3求作弯矩图，求作弯矩图，EI=常数。常数。等效构造qL2/8qL/2qqL计算举例例题3解：解：1. 位移法位移法变量：量：B，CH 2.附加附加约束束刚臂和支杆作臂和支杆作MP图，并求，并求R1P、R2PCqL2/8qL2/16qL2/8R1PR2PMP图图R1P= qL2/16R2P= qL掌握掌握变形形图，有助于画出弯矩，有助于画出弯矩图r11r21r12r224i4i2i3i3i2ir11r213i/L6i/L6i/L6i/Lr12r22取取结点点B的弯矩平衡，得：的弯矩平衡，得：r11=14i ，r12= 0取横梁取横梁为研研讨对象，得：象，得：r21= 0，r22=27i/L2计算举例例题35. 作M图1/81/93/224121/224单位：qL22kN/m6kN4m4m4m例题4343R1PR2P r113i4i2ir214i2i4i2ir22r12计算举例例题5求作弯矩图，求作弯矩图，EI=常数。常数。ABCDEF6m6m6mPPR1PR2PMPR1P=0，R2P= P解：解：1. 位移法位移法变量：量：C，DH 2.附加附加约束束刚臂和支杆作臂和支杆作MP图，并求，并求R1P、R2P掌握掌握变形形图，有助于画出弯矩，有助于画出弯矩图r11r21r12r224i2i3i3ir11r216i/L6i/L3i/L3i/Lr12r22取取结点点C的弯矩平衡，得：的弯矩平衡，得：r11=10i ，r12= 3i/L取横梁取横梁CD为研研讨对象，得：象，得：r21= 3i/L ，r22=18i/L2VCAVCEVDFr225. 作M图1.89P1.05P1.69P0.32PP求延续梁的弯矩图。EI=常数。2m4m60 kN55 kNmABC2m解：解：1. 位移法位移法变量：量：B 2.附加附加约束束刚臂作臂作MP图，并求，并求R1P 3PL/16R1P60 kN55kNm55R1P0例题6例题例题6r113i3i3i3ir114. 解位移法方程解位移法方程5. 作作M图图50562.5作弯矩图作弯矩图例题7EI=常数ABCDLLLP解：解：1位移法位移法变量：量：2个，个，2作作MP图,并求并求R1P、R2PABCDPR1PR1PR2PR1P=0R2P= - P2212211121.3rrrrMM，求作r11r21r12r22CDr11r214i2ii3iCDr12r226i/L6i/Lr11=8i，r21= -6i/L，r22=12i/L2r11,，r12r22，r21并求解并求解写出位移法方程写出位移法方程,4)ABCDPR1PR1PR2PCDr11r214i2ii3iCDr12r226i/L6i/LAD3PL/52PL/5PL/103PL/10