1前回前回数理計画法（数理計画問題）、変数、制約数理計画法（数理計画問題）、変数、制約条件、目的関数（評価関数）条件、目的関数（評価関数）線形関数線形関数定式化定式化線形計画問題定式化線形計画問題定式化EXCEL求解求解最適解、最適（目的関数）値、限界、最適解、最適（目的関数）値、限界、潜在潜在2公共経営公共経営第回内容第回内容第第1回宿題解説回宿題解説家具生産計画家具生産計画Red Brand Canners定式化例：鉄鉱石配合、農場経営問題定式化例：鉄鉱石配合、農場経営問題目標計画目標計画3 家具生産計画（宿題）家具生産計画（宿題）解答例解答例4家具生産計画：問題提示家具生産計画：問題提示a) a)切断時間余裕（）。切断時間余裕（）。b)b)製製品品A A生生産産 、 、製製品品A A利利益益 必要。必要。c)c)製製品品B B、 、 台台当当 利利益益 落落 最最大大総総利利益益。d)d)外外部部研研磨磨機機 時時間間当当 借借 、 、研研磨機借。磨機借。e)e)無理製品無理製品C C作場合、言。作場合、言。f) f)仕仕上上工工程程生生産産能能力力 時時間間追追加加 、 、最最大大利利益益。5家具生産計画：結果家具生産計画：結果6家具生産計画：質問）家具生産計画：質問）a) a)切切断断時時間間余余裕裕（ （条条件件 差差 ） ）。 。： ： 切切断断工工程程生生産産能能力力6060時時間間余余裕裕（ （余余 ） ） 示示。 。（ （余余、 、他工程生産能力先）他工程生産能力先）7家具生産計画：質問）家具生産計画：質問）b)b)製製品品A A生生産産 、 、製製品品A A利利益益 必必要要。 。： ： 製製品品A A限限界界 1010、 、1 1台台当当 利利益益 1010 増増、 、100100以上。以上。8家具生産計画：質問）家具生産計画：質問）c)c)製製品品B B、 、 台台当当 利利益益$100$100落落 最最大大総総利利益益 。 。： ： 製製品品B B 目目的的係係数数 160160許許容容内内減減少少($80)($80)範範囲囲内内、 、最最適適解解変、変、$60*55$60*55$3,300$3,300減収、最適値減収、最適値$15,500$15,500。9家具生産計画：質問）家具生産計画：質問）d)d)外外部部研研磨磨機機 時時間間当当 $20$20借借 、 、研研磨磨機機借借 。 。： ： 研研磨磨機機生生産産時時間間潜潜在在価価格格( (最最適適値値改改善善率率） ）$15/$15/時時間間、1 1時間当時間当$20$20賃貸料見合賃貸料見合10家具生産計画：質問）家具生産計画：質問）e)e)無無理理製製品品C C作作 場場合合、 、 言言。 。： ： 製製品品C C限限界界 $130$130、 、製製品品C C作作 、 、1 1単単位位当当 $130$130割割合合利利益益減減少少。 。（ （製製品品C C単単位位当当 利利益益$170$170以以上上限限 、 、製製品品C C作作得策）得策）11家具生産計画：質問）家具生産計画：質問）f) f)仕仕上上工工程程生生産産能能力力100100時時間間追追加加 、 、最最大大利利益益 。 。： ： 仕仕上上時時間間潜潜在在価価格格($12.5($12.5） ） 許許容容内内増増加加(96(96時時間間） ）、 、少少 $12.5*96$12.5*96$1,200$1,200増増加加。 。9696時時間間以以上上部部分分、 、 出出力力何言。何言。12最適（目的関数）値関数最適（目的関数）値関数家具生産計画問題仕上工程能力例家具生産計画問題仕上工程能力例（問題）他条件変、（問題）他条件変、（例：仕上工程）（例：仕上工程）変化最適（目的関数）値変化示変化最適（目的関数）値変化示最適値仕上工程生産能力144007362885012.50200001880064013鉄鉱石配合問題鉄鉱石配合問題（ （Blending Problem)鉱山鉄鉱石購入、配合使用鉱山鉄鉱石購入、配合使用配合、一定品質基準満配合、一定品質基準満必要（、元素必要（、元素A,B,C） ）最小費用配合割合決（具体的最小費用配合割合決（具体的何何ton必要情報）必要情報）種配合問題、種配合問題、発生（発生（dog food配合、配合、農薬配合、金属配合農薬配合、金属配合、） ）14鉄鉱石配合問題鉄鉱石配合問題鉱山必要鉱山必要元素元素 最小量最小量 A 10 3 8 2 5 B 90 150 75 175 100 C 45 25 20 37 30 800 400 600 500() 15鉄鉱石配合問題鉄鉱石配合問題LP定式化定式化変数変数：鉱山鉱山 配合比率配合比率 （ （0） ）目的関数目的関数：最小化当費用：最小化当費用制約条件制約条件：各元素：各元素(A-C)品質基準満足品質基準満足配合比率合計配合比率合計1Min 800T1400T2600T3500T4 (費用費用)s.t. 10T1 3T2 8T3 2T4 5 (元素元素A)90T1150T275T3175T4100 (元素元素B) 45T1 25T220T3 37T4 30 (元素元素C) T1 T2 T3 T4 1 (合計合計1) T1， T2， ， T3， ， T4 0(非負条件非負条件)16農場経営（農場経営（Buster ） 問題問題灌漑設備付灌漑設備付1,200acres農場年間計画農場年間計画wheat, alfalfa, beef生産生産2,000 acre feet（水量単位）用水割当（水量単位）用水割当beef($600/t)wheat($1.60/bushel; 50 bushel/acre)alfalfa(sell $34/t, buy $36/t; 3t/acre)技術的条件（問題文中表）技術的条件（問題文中表）最大利益（、最小費用）計画立案最大利益（、最小費用）計画立案17農場経営問題技術的農場経営問題技術的農場経営（農場経営（Buster Sod）問題技術的条件）問題技術的条件 労働機械水労働機械水 土地土地alfalfa Activity 等等($) (acre ft)(acres)(tons)1 acre wheat 8 1.5 1 1 acre alfalfa 30 2.5 11 ton of beef 40 0.1 0.05 4 18農場経営問題農場経営問題LP定式化定式化変数変数(variables)目的関数目的関数(objective function)制約条件制約条件(constraints)（決定）変数（決定）変数： ：wheat alfalfa beef生産量生産量 alfalfa販売購入量販売購入量目的関数目的関数：収益費用最大：収益費用最大制約条件制約条件：土地許容上限：土地許容上限 用水許容上限用水許容上限 alfalfa19農場経営問題変数目的関数農場経営問題変数目的関数変数変数(variables)：（単位設定一例）：（単位設定一例）W=wheat raised and sold (acres)Ar=alfalfa raised (tons)B=beef raised and sold (tons)Ab=alfalfa bought (tons)As=alfalfa sold (tons)目的関数目的関数(objective function)： ：最大化最大化 72W30/3Ar+560B36Ab+34As20農場経営問題制約条件農場経営問題制約条件制約条件制約条件土地（単位土地（単位acres） ）W+（ （1/3） ）Ar+0.05B1,200灌漑用水（単位灌漑用水（単位acre feet） ）1.5W+（ （2.5/3） ）Ar+0.1B2,000alfalfa（単位（単位tons） ）Ar+4BAb+As=0非負条件非負条件（ （Excel指定）指定）W, Ar, B, Ab, As 021Red Brand Canners解説解説22Red Brand Canners23Red Brand Canners登場人物登場人物Mitchell Gordon, 副社長副社長(Vice President)William Cooper, 財務部長財務部長(Controller)Charles Myers, 販売部長販売部長(Sales manager)Dan Tucker, 製造部長製造部長(Production manager)24Red Brand Canners原料供給製品需要原料供給製品需要Tucker製造部長製造部長, Myers 販売部長販売部長収穫量品質構成（検査部情報）収穫量品質構成（検査部情報）収穫量収穫量3,000,000 pounds (lbs)品質構成品質品質構成品質A 600,000 lbs (20%) 品質品質B 2,400,000 lbs (80%)加工品需要見通加工品需要見通（ （Myers販売部長）販売部長）缶詰缶詰(whole canned tomatoes) 十分十分、限度、限度資料需要予測資料需要予測（販売価格基販売量予測）（販売価格基販売量予測）販売価格長期販売戦略反映販売価格長期販売戦略反映25Red Brand Canners製品利益性、原料使用量製品利益性、原料使用量Cooper財務部長財務部長単位当利益：他製品単位当利益：他製品農家購入価格：農家購入価格：18 / lb資料：各加工品利益寄与度資料：各加工品利益寄与度各製品当原料使用量各製品当原料使用量26Red Brand Canners生産能力品質基準生産能力品質基準Tucker製造部長製造部長生産能力十分生産能力十分品質品質A原料限、原料限、生産生産原料製品評価原料製品評価評価値評価値010（ （10最高）最高）品質品質A（B）評価値平均）評価値平均9（ （5） ）各製品原料許容平均評価値各製品原料許容平均評価値缶詰缶詰8，6， ，0（制限；品質（制限；品質B原料生産可）原料生産可）缶詰生産原料最大缶詰生産原料最大800,000 lbs27Red Brand Canners追加原料調達可能性追加原料調達可能性Gordon副社長副社長品質品質A追加原料調達可能性追加原料調達可能性追加購入量上限：追加購入量上限：80,000 lbs追加購入単価：追加購入単価：25.5/lb28Red Brand Canners限界利益分析基判断？限界利益分析基判断？Myers販売部長販売部長今年業績見通明今年業績見通明缶詰生産訳缶詰生産訳Cooper財務部長計算、数量財務部長計算、数量考慮、数量品質考慮考慮、数量品質考慮決決資料：限界利益資料：限界利益(marginal profit)計算計算品質品質B2,000,000 lbs品質品質B400,000 lbs品質品質A144,000利益達成利益達成29Red Brand Canners限界利益基分析？限界利益基分析？Myers販売部長販売部長EXHIBIT連立方程式解、品質連立方程式解、品質A品質品質Blb当原料計算（妥当原料計算（妥当当?） ）製品缶詰製品缶詰 売価売価 $12.00 $13.50 $11.40原料費除原料費除変動費変動費 7.56 9.54 5.85 原料費原料費 4.47 3.72 3.90 限界利益限界利益 $0.03 $0.24 $1.65 30Red Brand Canners質問質問Tucker缶詰生産缶詰生産800,000 lbs抑抑?原料缶詰生産回原料缶詰生産回Cooper財務部長提案問財務部長提案問題題?Myers販売部長資料販売部長資料3計算計算?Myers販売部長論理販売部長論理問題問題?31Red Brand Canners質問（続）質問（続）Gordon副社長追加購入考副社長追加購入考想定下、最適生産計画線形計画問想定下、最適生産計画線形計画問題定式化。製品重量題定式化。製品重量(lbs)変数変数(決定変数；決定変数；decision variables)。目的関数係数単位重量目的関数係数単位重量(lb)当利当利益益()表現。表現。Gordon副社長提案原料追加購副社長提案原料追加購入考慮場合修正入考慮場合修正。32Red Brand Canners質問解答例質問解答例(1)Tucker缶詰生産缶詰生産800,000 lbs抑抑?品質基準品質基準A原料原料a600,000(lbs)缶詰品質基準缶詰品質基準9a (ab) 5b (ab) 8 、b品質品質B原料原料上不等式，上不等式， 9a5b8 (ab)等価等価品質基準等式連立方程式解、品質基準等式連立方程式解、a600,000， ，b200,000，800,000 lbs33Red Brand Canners質問解答例質問解答例(2)原料缶詰生産回原料缶詰生産回Cooper財務部長提案問題財務部長提案問題?品質基準満、品質基準満、缶詰生産原料缶詰生産原料800,000lbs限度限度。仮、缶詰限度一杯生産。仮、缶詰限度一杯生産場合（品質基準制約，残原料場合（品質基準制約，残原料2,200,000lbs；一方，；一方，需要需要2,000,000lbs）利益（計算）利益（計算10136000，比較）最適計画，比較）最適計画利益利益13609000低低34Red Brand Canners質問解答例質問解答例(3)Myers販売部長資料販売部長資料3計算計算?Myers販売部長論理問題販売部長論理問題?品質品質B原料原料2,000,000lbs割振割振、（、（Myers計算）一番、需計算）一番、需要制約、以上作売要制約、以上作売、価格品質評価値比例命、価格品質評価値比例命題論拠疑題論拠疑1000000*0.24/202000000*1.65/25144,000(，marginal profit，当当$0.24， ，$1.65lb当換算）当換算）、利益、利益$144,000上計算、原上計算、原料費一部考慮料費一部考慮方式原料費正評価方式原料費正評価35各自各自検討順序検討順序変数設定変数設定制約条件設定制約条件設定目的関数設定目的関数設定36最適生産計画最適生産計画線形計画問題定式化線形計画問題定式化(1)追加購入考場合追加購入考場合変数（単位重量：変数（単位重量：lb） ）WA(WB)：品質：品質A(品質品質B)原料原料缶詰生産量缶詰生産量JA(JB) ：品質：品質A(品質品質B)原料原料生産量生産量PA(PB) ：品質：品質A(品質品質B)原料原料生産量生産量目的関数（単位）目的関数（単位）総利益最大化総利益最大化37最適生産計画最適生産計画線形計画問題定式化線形計画問題定式化(2)追加購入考場合追加購入考場合制約条件制約条件原料使用量原料使用量原料供給量原料供給量以下以下製品生産量製品生産量予測需要量予測需要量以下以下各製品（缶詰、）各製品（缶詰、）投投入原料品質基準入原料品質基準満足満足制約条件数式化準備制約条件数式化準備原料使用量原料使用量原料供給量原料供給量製品生産量製品生産量 予測需要量予測需要量 缶詰（）缶詰（）投入原料平投入原料平均評価値均評価値 8 (6)（非線形制約（非線形制約注意）注意）38最適生産計画最適生産計画線形計画問題定式化線形計画問題定式化(3)追加購入考場合追加購入考場合目的関数目的関数各自、考。幻惑情報各自、考。幻惑情報、情報使考、情報使考。：購入費用、一括払（定数）：購入費用、一括払（定数）考。各製品対目的関数係数考。各製品対目的関数係数、原料費除売値変動費、原料費除売値変動費考。、単位（考。、単位（per case, per pound）注意。）注意。39最適生産計画最適生産計画線形計画問題定式化線形計画問題定式化(4)追加購入考場合追加購入考場合制約条件制約条件各自、考。（制約比較的簡単）各自、考。（制約比較的簡単）、品質基準制約、品質基準制約書、非線形制約、書、非線形制約、文句言。文句言文句言。文句言分母払分母払整理上整理上線形制約線形制約。40Red Brand Canners質問解答例質問解答例(4) Gordon副社長追加購入考想定下、最適生産副社長追加購入考想定下、最適生産計画線形計画問題定式化。製品重量計画線形計画問題定式化。製品重量(lbs)変数変数(決定変数；決定変数；decision variables)。目的関数係数単位重量。目的関数係数単位重量(lb)当利益当利益()表現。表現。森戸計算、最適値、森戸計算、最適値、13,609,000。結果出力省略結果出力省略41最適生産計画最適生産計画線形計画問題定式化線形計画問題定式化(5)追加購入考慮追加購入考慮場合場合目的関数（単位）目的関数（単位）各自考。同様考各自考。同様考。制約条件制約条件考。考。42目標計画法目標計画法複数評価尺度（多目的）問題一対処法複数評価尺度（多目的）問題一対処法43線形計画定式化（）線形計画定式化（）最大化最大化制約制約（万円）：粗利益（万円）：粗利益（時間）：工程（時間）：工程（時間）：工程（時間）：工程44実行可能領域利益最大化実行可能領域利益最大化600300300450最適解0工程2制約工程1制約実行可能領域実行可能領域45線形計画定式化（）線形計画定式化（）最大化最大化制約制約（万円）：粗利益（万円）：粗利益（時間）：工程（時間）：工程（時間）：工程（時間）：工程（個）（個） ：製品：製品Q販売量販売量（個）（個） ：製品：製品R販売量販売量46実行可能領域存在場実行可能領域存在場合合6003003004500工程1制約製品Q販売目標製品R販売目標工程2制約47目標計画法定式化目標計画法定式化制約制約G1（粗利益目標）（粗利益目標）G2（製品（製品Q販売目標）販売目標）G3（製品（製品R販売目標）販売目標）T1（工程制約）（工程制約）T2（工程制約）（工程制約）最小化最小化（関数）（関数）48付順方式結果付順方式結果49目標計画目標計画一般複数評価尺度考慮一般複数評価尺度考慮評価尺度、目標値差評価尺度、目標値差制約条件表現制約条件表現目標値差重付和最小化目標値差重付和最小化（目標近）（目標近）他、通常制約条件（目標計画、他、通常制約条件（目標計画、制約呼）通常数制約呼）通常数理計画問題同理計画問題同50目標計画法図解目標計画法図解6003003004500工程1制約工程2制約製品R販売目標（G）450利益目標（G）製品Q販売目標（G）ABCED51p決方：付順方式決方：付順方式G G 優先順位。優先順位。優先順位高順、大数優先順位高順、大数与。各値差十分大与。各値差十分大設定。設定。例、順位例、順位G1G2G3場合場合、p1=100, p2=1, p3=0.01。52p決方：加重方式決方：加重方式G G 各目標重付各目標重付行。行。各重要性比例値。各重要性比例値。重要大値。重要大値。53第回宿題第回宿題宿題農場経営問題（数理計画問題宿題農場経営問題（数理計画問題集（集（1）問題）問題2）解、質問）解、質問 答。答。宿題宿題Excel問題解問題解Red Brand Canners質問質問4,5答答。