8.7 8.7 双曲线双曲线1 1【复习目的】【复习目的】1.1.了解并掌握双曲线的定义了解并掌握双曲线的定义, ,了解双曲线的第二定义了解双曲线的第二定义. .2.2.掌握双曲线的规范方程掌握双曲线的规范方程. .3.3.能掌握能掌握a a、b b、c c之间的关系之间的关系, ,会由其中的两个求出第三个会由其中的两个求出第三个. .4.4.能根据能根据a a、b b、c c的值写出双曲线的规范方程的值写出双曲线的规范方程. .5.5.会运用定义法、待定系数法和数形结合等方法解题会运用定义法、待定系数法和数形结合等方法解题. .【知识回想】【知识回想】1.定义定义:平面内平面内,与定点与定点F1、F2的间隔的差的绝对值等于常数的间隔的差的绝对值等于常数(大于大于0小于小于|F1F2|)的点轨迹叫做双曲线的点轨迹叫做双曲线.定点定点F1、F2叫做双曲线的焦点叫做双曲线的焦点,两两焦点间的间隔叫做焦距焦点间的间隔叫做焦距.第二定义第二定义:平面内平面内,与一个定点的间隔和到一条定直线的间隔的比是常与一个定点的间隔和到一条定直线的间隔的比是常数数e(e1)的点的轨迹叫做双曲线的点的轨迹叫做双曲线.定点叫做双曲线的一个焦点定点叫做双曲线的一个焦点,定直线定直线叫做与该焦点对应的准线叫做与该焦点对应的准线(双曲线有两个焦点和两条准线双曲线有两个焦点和两条准线).常数常数e叫叫双曲线的离心率双曲线的离心率.【阐明】在第一定义中【阐明】在第一定义中,必需强调差的绝对值必需强调差的绝对值(记为记为2a),不但要小于不但要小于|F1F2|(记为记为2c),且要大于零且要大于零,当当2a=2c时时,轨迹是两条射线轨迹是两条射线;当当2a2c时时,轨迹不存在轨迹不存在.在第二定义中要留意点在第二定义中要留意点F不在直线不在直线l上否那么轨迹是两条相交直线上否那么轨迹是两条相交直线;假假设知双曲线的焦点和准线时设知双曲线的焦点和准线时,必需阐明能否为对应焦点和准线必需阐明能否为对应焦点和准线,否那么否那么不符合第二定义中的条件不符合第二定义中的条件.定义M为双曲线上的点|MF1|-|MF2|=2a(02a0,b0)2.双曲线的规范方程双曲线的规范方程3.双曲线规范方程的再认识双曲线规范方程的再认识(1)双曲线规范方程的方式双曲线规范方程的方式:左边是两个分式的平方差左边是两个分式的平方差,右边右边是是1.(2)双曲线的规范方程中三个参数双曲线的规范方程中三个参数a、b、c满足满足c2=a2+b2.(3)双曲线的规范方程中双曲线的规范方程中,a0、b0,但但a不一定大于不一定大于b;且当且当a=b时时,称为等轴双曲线称为等轴双曲线.(4)双曲线的规范方程中双曲线的规范方程中,假设假设x2的系数为正的系数为正,那么焦点在那么焦点在x轴上轴上;假设假设y2的系数为正的系数为正,那么焦点在那么焦点在y轴上轴上.(5)双曲线的规范方程是由三个参数双曲线的规范方程是由三个参数a、b、c及焦点位置独及焦点位置独一确定一确定,即只需知道三个参数即只需知道三个参数a、b、c的值的值,就可以写出双曲线就可以写出双曲线的规范方程的规范方程.【例题精解】【例题精解】【解】由双曲【解】由双曲线规范方程知范方程知:a=4,b=3由双曲由双曲线定定义知知:双曲双曲线的点到两焦点的的点到两焦点的间隔的差的隔的差的绝对值是是2a题中点中点P到到较远的焦点的焦点间隔隔为10,设到到较近焦点的近焦点的间隔隔为d，那么那么10-d=2a，即，即10-d=8，解得，解得d=2.另另:此此题为选择题,由双曲由双曲线定定义,到另一焦点的到另一焦点的间隔隔较小小,选项中只需中只需A小小,选A.【分析】此【分析】此题将双曲将双曲线的定的定义隐藏在藏在规范方程中范方程中.双曲双曲线的的规范方程中范方程中,各部分都以平方的方式出各部分都以平方的方式出现,且一正一且一正一负.而此而此题分母中分母中是以一次式出是以一次式出现的的,只需只需m-1、m+3异号即可异号即可.【解】由分析知【解】由分析知:(m-1)(m+3)0,解不等式得解不等式得:-3m1m的取的取值范范围是是(-3,1)【解】【解】ABF2的周的周长看作三条看作三条线段段|AB|、|AF2|、|BF2|的和的和,根据双曲根据双曲线的定的定义得得|AF2|-|AF1|=2a=6|BF2|-|BF1|=2a=6+得得|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=12即即|AF2|+|BF2|=12+(|AF1|+|BF1|)=12+12=24所以周所以周长L=|AF2|+|BF2|+|AB|=12+24=36【点【点评】利用双曲】利用双曲线的定的定义解有关双曲解有关双曲线问题是最基是最基本也是最重要的方法本也是最重要的方法,这一点要加以注重一点要加以注重.【同步训练】【同步训练】【答案】【答案】D一、选择题一、选择题1.方程方程x2-y2=-1表示表示()A.焦点在焦点在x轴的双曲线轴的双曲线B.圆圆C.两条直线两条直线 D.焦点在焦点在y轴的双曲线轴的双曲线【答案】【答案】D【答案】【答案】C【答案】【答案】B【答案】【答案】D【答案】【答案】C【答案】【答案】D【答案】【答案】C【答案】【答案】A【答案】【答案】A36-8k|-1k1