北北 师师 大大 八八 年年 级级 数数 学学 ( ( 上上 ) ) 1、你能证明它们吗、你能证明它们吗(1)北北北北 师师师师 大大大大 九九九九 年年年年 级级级级 数数数数 学学学学 ( ( 上上上上 ) ) 9/20/202411. 1.两直线被第三条直线所截两直线被第三条直线所截两直线被第三条直线所截两直线被第三条直线所截, ,如果同位角相等如果同位角相等如果同位角相等如果同位角相等, ,那么这两条直线平行那么这两条直线平行那么这两条直线平行那么这两条直线平行; ;2. 2.两条平行线被第三条直线所截两条平行线被第三条直线所截两条平行线被第三条直线所截两条平行线被第三条直线所截, ,同位角相等同位角相等同位角相等同位角相等; ;3. 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等两边夹角对应相等的两个三角形全等两边夹角对应相等的两个三角形全等两边夹角对应相等的两个三角形全等; ;4. 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; ;5. 5.三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等; ;6. 6.全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等, ,对应角相等对应角相等对应角相等对应角相等. .公理、定理公理、定理 与与 证明证明【公理公理公理公理】【证明证明证明证明】【定理定理定理定理】公认的真命题称为公理公认的真命题称为公理公认的真命题称为公理公认的真命题称为公理( (axiomaxiom). ).经过证明的真命题称为定理经过证明的真命题称为定理经过证明的真命题称为定理经过证明的真命题称为定理(theorem).(theorem).(theorem).(theorem).除了公理外除了公理外除了公理外除了公理外, , , ,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实其它真命题的正确性都通过推理的方法证实其它真命题的正确性都通过推理的方法证实其它真命题的正确性都通过推理的方法证实. . . .推理的过程称为证明推理的过程称为证明推理的过程称为证明推理的过程称为证明. . . .本套教材选用如下命题作为公理 :9/20/20242几何的三种语言、平行线的判定几何的三种语言、平行线的判定abc21abc12abc12公理、定理及由它们直接推出来的结论公理、定理及由它们直接推出来的结论公理、定理及由它们直接推出来的结论公理、定理及由它们直接推出来的结论( ( ( (推论推论推论推论),),),),以后可以直接运用以后可以直接运用以后可以直接运用以后可以直接运用. . . . 【公理公理公理公理】同位角相等同位角相等同位角相等同位角相等, , , ,两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行. . . . 1=1=2, 2, a ab b. .【判定定理判定定理判定定理判定定理 1 1 】内错角相等内错角相等内错角相等内错角相等, , , ,两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行. . . . 1=1=2, 2, a ab b. .【判定定理判定定理判定定理判定定理 2 2 】同旁内角互补同旁内角互补同旁内角互补同旁内角互补, , , ,两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行. . . .1+1+2=1802=180 , , a ab b. .9/20/20243几何的三种语言、平行线的性质几何的三种语言、平行线的性质【公理公理公理公理】两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行, , , ,同位角相等同位角相等同位角相等同位角相等. . . .abc21abc12abc12 a ab b, , 1=1=2. 2. a ab b, , 1=1=2. 2.【性质定理性质定理性质定理性质定理 1 1 】两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行, , , ,内错角相等内错角相等内错角相等内错角相等. . . .【性质定理性质定理性质定理性质定理 2 2 】两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行, , , ,同旁内角互补同旁内角互补同旁内角互补同旁内角互补. . . . a ab b, , 1+1+2=1802=180 . .公理、定理及由它们直接推出来的结论公理、定理及由它们直接推出来的结论公理、定理及由它们直接推出来的结论公理、定理及由它们直接推出来的结论( ( ( (推论推论推论推论),),),),以后可以直接运用以后可以直接运用以后可以直接运用以后可以直接运用. . . . 9/20/20244几何的三种语言、几何的三种语言、三角形内角和定理三角形内角和定理ABCABC中中中中, ,A+A+B+B+C=C=180180o o. . A+A+B+B+C=C=180180o o 的几种变形的几种变形的几种变形的几种变形: :w w A=A=180180o o (B+B+C).C).w w B=B=180180o o (A+A+C).C).w w C=C=180180o o (A+A+B).B).w w A+A+B=B=180180o o C.C.w w B+B+C=C=180180o o A.A.w w A+A+C=C=180180o o B.B.A AB BC C【三角形内角和定理三角形内角和定理三角形内角和定理三角形内角和定理】三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180180o o. .公理、定理及由它们直接推出来的结论公理、定理及由它们直接推出来的结论公理、定理及由它们直接推出来的结论公理、定理及由它们直接推出来的结论( ( ( (推论推论推论推论),),),),以后可以直接运用以后可以直接运用以后可以直接运用以后可以直接运用. . . . 9/20/20245几何的三种语言、关注三角形的外角几何的三种语言、关注三角形的外角 ABCABC中中中中: : 1. 1.1=1=2+2+3;3;2. 2.112, 2,113. 3.A AB BC CD D1 12 23 34 4【三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论】【推论推论推论推论1 1】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. .三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. .直角三角形的两锐角互余直角三角形的两锐角互余直角三角形的两锐角互余直角三角形的两锐角互余. .【推论推论推论推论2 2】【推论推论推论推论3 3】公理、定理及由它们直接推出来的结论公理、定理及由它们直接推出来的结论公理、定理及由它们直接推出来的结论公理、定理及由它们直接推出来的结论( ( ( (推论推论推论推论),),),),以后可以直接运用以后可以直接运用以后可以直接运用以后可以直接运用. . . . 9/20/20246有关三角形全等的一些结论有关三角形全等的一些结论【公理公理公理公理】三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等 . . . .(SSS)(SSS)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等两边及其夹角对应相等的两个三角形全等两边及其夹角对应相等的两个三角形全等两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 . . . .两角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 . . . .全等三角形的确对应边、对应角相等全等三角形的确对应边、对应角相等全等三角形的确对应边、对应角相等全等三角形的确对应边、对应角相等. . . .两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等 . . . .(SAS)(SAS)(ASA)(ASA)(AAS)(AAS)【公理公理公理公理】【公理公理公理公理】【推论推论推论推论】【公理公理公理公理】运用上述公理和已经证明的定理及其推论，运用上述公理和已经证明的定理及其推论，运用上述公理和已经证明的定理及其推论，运用上述公理和已经证明的定理及其推论，我们还可以证明有关三角形的一些其它的结论。我们还可以证明有关三角形的一些其它的结论。我们还可以证明有关三角形的一些其它的结论。我们还可以证明有关三角形的一些其它的结论。9/20/20247驶向胜利的彼岸驶向胜利的彼岸驶向胜利的彼岸驶向胜利的彼岸学好几何的标志是会学好几何的标志是会“证明证明”证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤: :(1)(1)(1)(1)理解题意理解题意理解题意理解题意: : : :分清命题的条件分清命题的条件分清命题的条件分清命题的条件( ( ( (已知已知已知已知),),),),结论结论结论结论( ( ( (求证求证求证求证););););(2)(2)(2)(2)根据题意根据题意根据题意根据题意, , , ,画出图形画出图形画出图形画出图形; ; ; ;(3)(3)(3)(3)结合图形结合图形结合图形结合图形, , , ,用符号语言用符号语言用符号语言用符号语言 写出写出写出写出“已知已知已知已知”和和和和“求证求证求证求证”; ; ; ;(4)(4)(4)(4)分析题意分析题意分析题意分析题意, , , ,探索证明思路探索证明思路探索证明思路探索证明思路 (5)(5)(5)(5)依据思路依据思路依据思路依据思路, , , ,运用数学符号和数学语言运用数学符号和数学语言运用数学符号和数学语言运用数学符号和数学语言 条理清晰地写出证明过程条理清晰地写出证明过程条理清晰地写出证明过程条理清晰地写出证明过程; ; ; ;(6)(6)(6)(6)检查表达过程是否正确检查表达过程是否正确检查表达过程是否正确检查表达过程是否正确, , , ,完善完善完善完善. . . .( ( ( (由由由由“ “因因因因” ”导导导导“ “果果果果” ”, , , ,执执执执“ “果果果果” ”索索索索“ “因因因因” ”.);.);.);.);9/20/20248等腰三角形的性质等腰三角形的性质的的验证与与证明明议一议议一议(1) (1) 你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？(2) (2) (2) (2) 你能动手来证明这些结论吗吗你能动手来证明这些结论吗吗你能动手来证明这些结论吗吗你能动手来证明这些结论吗吗？ABC底边底边底边底边腰腰腰腰腰腰腰腰顶角底角底角底角底角底角底角底角底角等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等. .简称简称简称简称: :等边对等角等边对等角等边对等角等边对等角. . . .等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的性质验证方法验证方法验证方法验证方法用折纸重叠法用折纸重叠法用折纸重叠法用折纸重叠法. .ABC以底边的中线为折痕以底边的中线为折痕以底边的中线为折痕以底边的中线为折痕9/20/20249“等边对等角等边对等角”由由实验到到论证议一议议一议(1) (1) 你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？(2) (2) 你能动手来证明这些结论吗吗你能动手来证明这些结论吗吗你能动手来证明这些结论吗吗你能动手来证明这些结论吗吗？ABC(3) (3) 你能利用已有的公理和定理你能利用已有的公理和定理你能利用已有的公理和定理你能利用已有的公理和定理 来证明来证明来证明来证明“ “等边对等角等边对等角等边对等角等边对等角” ”这一结论吗这一结论吗这一结论吗这一结论吗 ？A把折好的纸打开把折好的纸打开把折好的纸打开把折好的纸打开BC不难发现折痕两旁的的两个三角形全等。不难发现折痕两旁的的两个三角形全等。不难发现折痕两旁的的两个三角形全等。不难发现折痕两旁的的两个三角形全等。由此实验得到启发由此实验得到启发由此实验得到启发由此实验得到启发折痕就是折痕就是折痕就是折痕就是我们用于证明时要我们用于证明时要我们用于证明时要我们用于证明时要添加添加添加添加的的的的辅助线辅助线辅助线辅助线。做一做你现在能证明你现在能证明你现在能证明你现在能证明“ “等边对等角等边对等角等边对等角等边对等角” ”这一结论吗？这一结论吗？这一结论吗？这一结论吗？注意注意注意注意千万不要忘记书写的基本格式千万不要忘记书写的基本格式千万不要忘记书写的基本格式千万不要忘记书写的基本格式写写写写“ “已知已知已知已知” ”、“ “求证求证求证求证” ”、“ “证明证明证明证明” ”。9/20/202410等腰三角形的等腰三角形的 “三线合一三线合一”ABCCBA想一想想一想想一想想一想在上述问题中，折痕在上述问题中，折痕在上述问题中，折痕在上述问题中，折痕ADADD是等腰三角形是等腰三角形是等腰三角形是等腰三角形ABCABC的怎样的线？的怎样的线？的怎样的线？的怎样的线？线段线段线段线段ADAD的还具有怎样的性质？的还具有怎样的性质？的还具有怎样的性质？的还具有怎样的性质？D为什么？为什么？为什么？为什么？由此你能得到什么结论？由此你能得到什么结论？由此你能得到什么结论？由此你能得到什么结论？等腰三角形顶角的平分线、底边上等腰三角形顶角的平分线、底边上等腰三角形顶角的平分线、底边上等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。的中线、底边上的高互相重合。的中线、底边上的高互相重合。的中线、底边上的高互相重合。 “ “等边对等角等边对等角等边对等角等边对等角” ”定理定理定理定理 的的的的推论：推论：推论：推论：线段线段线段线段ADAD是是是是BCBC边的中线、边的中线、边的中线、边的中线、BACBAC的平分线、的平分线、的平分线、的平分线、边边边边BCBC上的高。上的高。上的高。上的高。9/20/202411随堂练习随堂练习 学好数学的诀窍学好数学的诀窍1 1、证明：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于证明：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于证明：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于证明：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于6060 。做题做题随堂练习随堂练习随堂练习随堂练习P42 2、如图，如图，如图，如图，ABDABD中，中，中，中，C C是是是是BDBD上的一点，且上的一点，且上的一点，且上的一点，且ACACBDBD。AC=BC=CDAC=BC=CD。 (1) (1) 求证：求证：求证：求证： ABDABD是等腰三角形是等腰三角形是等腰三角形是等腰三角形; ; (2) (2) 求求求求BADBAD的度数的度数的度数的度数. .ABCD9/20/202412作业1 1、2 2 。1 1 你能证明它们吗你能证明它们吗你能证明它们吗你能证明它们吗P 5习习习习 题题题题 1.11.19/20/202413