第一节 中值定理o一、罗尔中值定理一、罗尔中值定理o二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理o三、柯西中值定理三、柯西中值定理o四、小结四、小结罗尔(Rolle)定理若函数f(x)（1在闭区间a,b上连续；（2在开区间(a,b)内可导；（3在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b).则在(a,b)内至少存在一点(ab)，使f()=0.一、罗尔(Rolle)定理例如,几何解释:证注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,又例如,例1证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日(Lagrange)定理若函数f(x)（1在闭区间a,b上连续；（2在开区间(a,b)内可导.则在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得注意：拉格朗日中值公式分析1:弦AB方程为几何解释:作辅助函数证1证2 设F(x)=f(x)-f(b)-f(a)/(b-a)*x 显然，F(x)在a, b上连续，(a, b)内可导 且F(a)=F(b) 由Rolle定理，至少存在(a,b)，使得 F()=0 f()=f(b)-f(a)/(b-a)注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值定理又称有限增量定理微分中值定理）.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.推论例2证例3证由上式得柯西(Cauchy)定理若函数f(x)及F(x)（1在闭区间a,b上连续；（2在开区间(a,b)内可导；（3F(x)在(a,b)内每一点处的导数均不为0.则在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得三、柯西(Cauchy)中值定理证1作辅助函数几何解释:证2 设g(x)=f(x)-f(b)-f(a)/F(b)-F(a)*F(x) 显然，g(x)在a, b上连续，(a, b)内可导 且g(a)=g(b) 由Rolle定理，至少存在(a,b)，使得 g()=0 f()/F()=f(b)-f(a)/F(b)-F(a)例4证分析:结论可变形为四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可缺一不可.思考题解答思考题解答不满足在闭区间上连续的条件；不满足在闭区间上连续的条件；且且不满足在开区间内可微的条件；不满足在开区间内可微的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.练练 习习 题题