5.1 不定积分的概念及性质 5.1.1不定积分的概念5.1.3不定积分的几何意义5.1.2基本积分公式5.1.4不定积分的实际意义5.1.5 不定积分的性质5.1.1不定积分的概念 如何寻求一个可导函数，使其导函数等于已知函数这是积分学的基本问题之一定义5.1 设 在区间 上有定义，如果存在一个可导函数使对任一 都有 或 那么称 为 在区间 上的一个原函数原函数 例如， 是 在 内的一个原函数 是 在 内的一个原函数 问题1关于原函数，下面讨论解决两个问题： 函数满足什么条件，能保证它的原函数存在? 这问题将在下章中具体讨论，这里先介绍一个结论 定理5.1（原函数存在定理） 若函数 在区间 上连续，则在区间 上存在一个可导函数 使得对任一 都有 简而言之，连续函数一定有原函数于是，初等函数在其定义区间内都有原函数 问题2若函数 是 的一个原函数，则 还有没有其他原函数?若有，他们和 有什么关系? 回答如下： 首先，若函数有一个原函数，则它就有无限多个原函数 其次，两个原函数只差一个常数 因此，这一讨论揭示了全体原函数的结构，即当 为任意常数时，函数族 正是 的全体原函数所组成的集合 由此引入不定积分的概念 定义5.2 函数 的全体原函数称为 的不定积分不定积分， 记为 由不定积分的定义及前面的讨论可知， 简写为 所以所以 因为因为例5.1 求求 解所以所以 因为因为例5.2 求求 解5.1.2基本积分公式 从不定积分的定义，可知有以下重要结论： (1) 或 (2) 或 结论表明不定积分运算（简称积分运算）与导数（微分）运算是互逆运算，当相继作这两种运算时，或相互抵消后还原，或抵消后只差一常数 可以由基本初等函数的导数公式得到常用的基本积分公式，建议自己证明出来先把被积函数化为幂函数形式，再利用公式先把被积函数化为幂函数形式，再利用公式 例5.3 求求 解 先先对对被被积积函函数数稍稍作作变变形形，化化为为指指数数函函数数形形式式，再利用公式再利用公式 例5.4 求求 解5.1.3不定积分的几何意义 设所求曲线方程为设所求曲线方程为 ，其上任一点，其上任一点 处切线的斜率为处切线的斜率为 例5.5 设设曲曲线线过过点点 ，且且其其上上任任一一点点处处切切线线的的斜率是该点横坐标的两倍，求此曲线的方程斜率是该点横坐标的两倍，求此曲线的方程 解从而从而 由由 ，得，得 ，因此所求曲线方程为因此所求曲线方程为 5.1.4不定积分的实际意义 根根据据边边际际成成本本的的含含义义，有有 ，所所以以 例5.6 某工厂生产一种产品，已知其边际成本某工厂生产一种产品，已知其边际成本解由由 ，代入得，代入得 所以成本函数所以成本函数 其其中中 （件件）为为该该产产品品的的产产量量，若若当当产产量量 时时，成本成本 元，求成本函数元，求成本函数 5.1.5 不定积分的性质 性质5.1 性质5.2 若 及 有原函数，则 若 有原函数，则 证 只示范性质5.1的证明，因为 所以根据不定积分的定义可知性质5.1成立 将被积函数变形为代数和的形式，再分项积分将被积函数变形为代数和的形式，再分项积分 例5.7 求求 解 被被积积函函数数是是多多项项式式之之商商，先先利利用用多多项项式式除除法法，进进行分拆，得行分拆，得 例5.8 求求 解再分项积分再分项积分 利利用用三三角角恒恒等等式式 把把被被积积函函数数变形后，再分项积分变形后，再分项积分 例5.9 求求 解 利用三角函数的半角公式把余弦平方的次数降低 例5.10 求求 解被积函数变形被积函数变形 例5.11 求求 解故故