预习：预习：2-9,2-10,3-1,3-2作业：作业：2.82-7 2-7 圣圣维南原理南原理问题的提出：问题的提出：PPP 求解弹性力学问题时，使应力分量、求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足形变分量、位移分量完全满足8个根本方个根本方程相对容易，但要使边境条件完全满足，程相对容易，但要使边境条件完全满足，往往很困难。往往很困难。 如下图，其力的作用点处的边境条件如下图，其力的作用点处的边境条件无法列写。无法列写。1. 静力等效的概念静力等效的概念 两个力系，假设它们的主矢量、主矩相等，那么两个力两个力系，假设它们的主矢量、主矩相等，那么两个力系为静力等效能系。系为静力等效能系。 2.圣维南原理圣维南原理(Saint-Venant Principle)原理：原理：假设把物体的一小部分边境上的面力，变换为分布假设把物体的一小部分边境上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，那么近处的应力分布将有不同但静力等效的面力，那么近处的应力分布将有显著改动，而远处所受的影响可忽略不计。显著改动，而远处所受的影响可忽略不计。PPPP/2P/2要点：要点：要点：要点： 小部分小部分边境次要境次要边境；境； 静力等效；静力等效； 影响范影响范围限于近限于近处，远处不受影响；不受影响； 3.圣维南原理的运用圣维南原理的运用对复杂的力边境，用静力等效的分布面力替代。对复杂的力边境，用静力等效的分布面力替代。本卷须知：本卷须知：(1) 必需满足静力等效条件；必需满足静力等效条件；(2) 只能在次要边境上用圣维南原理，在主要边境上不能运用。只能在次要边境上用圣维南原理，在主要边境上不能运用。如：如：AB主要边境主要边境P次要边境次要边境 假设物体的一小部分边境上的面力是一个平衡力假设物体的一小部分边境上的面力是一个平衡力系主矢量和主矩都等于零，那么，这个面力就只系主矢量和主矩都等于零，那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。例子：例子：书上的。书上的。例例图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边境条件。边境条件。例例图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边境条件。边境条件。左侧面：左侧面：右侧面：右侧面：上端面：上端面： 为次要边境，可由圣维南原理求解。为次要边境，可由圣维南原理求解。y方向力等效：对对O点的力矩等效：点的力矩等效：x方向力等效：留意：留意：必需按正向假设！必需按正向假设！例例图示示竖柱，柱，试写出其写出其边境条件。境条件。例例图示竖柱，试写出其边境条件。图示竖柱，试写出其边境条件。左侧面：左侧面：右侧面：右侧面：上侧面：上侧面：次要边境，可用圣维南次要边境，可用圣维南原理列写边境条件：原理列写边境条件：y方向力等效；x方向力等效；力矩等效。力矩等效。2-8 2-8 按位移求解平面按位移求解平面问题1.弹性力学平面性力学平面问题的根本方程的根本方程1平衡方程：平衡方程：2-22几何方程：几何方程：2-93物理方程：物理方程：2-154边境条件：边境条件：12 2.弹性力学性力学问题的求解方法的求解方法1按位移求解位移法、按位移求解位移法、刚度法度法以以u、v 为根本未知函数，将平衡方程和根本未知函数，将平衡方程和边境条件都用境条件都用u、v 表示，并求出表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出，再由几何方程、物理方程求出应力与形力与形变分量。分量。2按按应力求解力法，柔度法力求解力法，柔度法以以应力分量力分量 为根本未知函数，将一切方程都用根本未知函数，将一切方程都用应力分量力分量表示，并求出表示，并求出应力分量力分量 ；再由几何方程、物理方程求出形；再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。分量与位移。3混合求解混合求解以部分位移分量以部分位移分量 和部分和部分应力分量力分量 为根本未知函数，并求根本未知函数，并求出出这些未知量，再求出其他未知量。些未知量，再求出其他未知量。3. 按位移求解平面按位移求解平面问题的根本方程的根本方程1将平衡方程用位移表示将平衡方程用位移表示由由应变表示的物理方程表示的物理方程将几何方程代入，有将几何方程代入，有2-16a将式将式(a)代入平衡方程，化代入平衡方程，化简有有2-18 用位移表示的平衡微分方程2将将边境条件用位移表示境条件用位移表示位移位移边境条件：境条件：应力力边境条件：境条件：a将式将式a代入，得代入，得2-212-17 用位移表示的用位移表示的应力力边境条件境条件3按位移求解平面按位移求解平面问题的根本方程的根本方程1平衡方程：平衡方程：2-202边境条件：境条件：位移位移边境条件：境条件：2-17应力力边境条件：境条件：2-21阐明：明：1对平面平面应变问题，只需将式中的，只需将式中的E、作相交作相交换即可。即可。2普通不用于解析求解，作普通不用于解析求解，作为数数值求解的根本方程。求解的根本方程。三、例题三、例题见教案见教案