有限元方法与应用有限元方法与应用温度场温度场有限元有限元分析分析张有为张有为 工程力学工程力学系系内容概要内容概要热传导问题概述热传导问题概述热传导问题基本方程热传导问题基本方程稳态稳态热传导分析有限元列式热传导分析有限元列式瞬态热传导瞬态热传导分析有限元列式分析有限元列式平面稳态热传导分析实例平面稳态热传导分析实例热传导问题概述热传导问题概述热传导问题概述热传导问题概述FSW演示演示Laser演示演示热传导问题概述热传导问题概述热传导基本方程热传导基本方程在在分分析析工工程程问问题题时时，经经常常要要了了解解工工件件内内部部的的温温度度分分布布情情况况，例例如如发发动动机机的的工工作作温温度度、金金属属工工件件在在热热处处理理过过程程中中的的温温度度变变化化、流流体体温温度度分分布布等等。物物体体内内部部的的温温度度分分布布取取决决于于物物体体内内部部的的热热量量交交换换，以以及及物物体体与与外外部部介介质质之之间间的的热热量量交交换换，一一般般认认为为是是与与时时间间相相关关的的。在在一一般般三三维维问问题题中中，瞬瞬态态温温度度场场的的场场变变量量 在在直直角角坐坐标标中中应应满满足足下下述述热热传传导导（Fourier热传导热传导）微分方程）微分方程导热系数导热系数物体内部的物体内部的热源密度热源密度比热容比热容密度密度升温需要的热量升温需要的热量由由x, y, z方向传入的热量方向传入的热量内部热源产生的热量内部热源产生的热量温度场问题（热传导）基本方程温度场问题（热传导）基本方程热传导基本方程热传导基本方程（1）给定物体边界上的温度，称为第一类边界条件）给定物体边界上的温度，称为第一类边界条件热流密度热流密度对流换热系数对流换热系数热传导问题的边界条件热传导问题的边界条件 域的域的 边界条件边界条件在在 边界上边界上在在 边界上边界上在在 边界上边界上（2）给定物体边界上的流量（输入或输出），称为第二类边界条件）给定物体边界上的流量（输入或输出），称为第二类边界条件（3）给定物体边界上的对流换热，称为第三类边界条件）给定物体边界上的对流换热，称为第三类边界条件当当q=0时为绝热边界条件时为绝热边界条件热传导基本方程热传导基本方程当在一个方向上，例如当在一个方向上，例如z方向温度变化为零时，瞬态温度场微分方程就退方向温度变化为零时，瞬态温度场微分方程就退化为二维问题的热传导微分方程化为二维问题的热传导微分方程(在在 内内) 这时场变量不再是这时场变量不再是z的函数。场变量同时应满足的边界条件是的函数。场变量同时应满足的边界条件是二维热传导问题基本方程及边界条件二维热传导问题基本方程及边界条件热传导基本方程热传导基本方程对于轴对称问题，在柱坐标中场函数应满足的微分方程是对于轴对称问题，在柱坐标中场函数应满足的微分方程是(在在 内内)边界条件是边界条件是轴对称热传导问题基本方程及边界条件轴对称热传导问题基本方程及边界条件热传导基本方程热传导基本方程瞬态热传导问题分析的初始条件瞬态热传导问题分析的初始条件 (当当t=0)瞬瞬态态热热传传导导方方程程的的解解即即为为满满足足控控制制方方程程、初初始始及及边边界界条条件件的的场场函函数数 ，其其应应是是坐标和时间的函数坐标和时间的函数。初始条件及三维稳态热传导问题基本方程初始条件及三维稳态热传导问题基本方程如如果果边边界界上上 及及内内部部的的Q不不随随时时间间变变化化，则则经经过过一一定定时时间间的的热热交交换换后后，物物体体内内个个点点温温度度也也将将不不再再随随时时间间变变化化，即即 ，这这时时瞬瞬态态热热传传导导方方程程就就退退化为稳态热传导方程。三维问题的稳态热传导方程化为稳态热传导方程。三维问题的稳态热传导方程为为稳态热传导问题基本方程稳态热传导问题基本方程热传导基本方程热传导基本方程二维问题的稳态热传导方程为二维问题的稳态热传导方程为轴对称问题的稳态热传导方程为轴对称问题的稳态热传导方程为 (在在 内内) (在在 内内) 二维及轴对称稳态热传导问题基本方程二维及轴对称稳态热传导问题基本方程稳态热传导分析有限元列式稳态热传导分析有限元列式稳态热传导问题的变分原理（考虑各向同性）稳态热传导问题的变分原理（考虑各向同性）加权残量法加权残量法在在 边界上边界上在在 边界上边界上在在 边界上边界上稳态热传导分析有限元列式稳态热传导分析有限元列式分部积分分部积分稳态热传导分析有限元列式稳态热传导分析有限元列式分部积分分部积分稳态热传导分析有限元列式稳态热传导分析有限元列式稳态热传导问题的变分原理（考虑各向同性）稳态热传导问题的变分原理（考虑各向同性）由上式得出稳态热传导问题的变分原理如下由上式得出稳态热传导问题的变分原理如下是插值函数，它是是插值函数，它是 型插值函数，它亦具有性质型插值函数，它亦具有性质 稳态热传导稳态热传导分析有限元列式分析有限元列式将将空空间间域域 离离散散为为有有限限个个单单元元体体，在在典典型型单单元元内内各各点点的的温温度度 可可以以近近似似的的用用单单元的节点温度元的节点温度 插值得到插值得到温度插值温度插值稳态热传导稳态热传导分析有限元列式分析有限元列式离散控制方程离散控制方程K热传导热传导矩阵，矩阵，P温度载荷列阵温度载荷列阵稳态稳态热传导热传导分析有限元列式分析有限元列式矩阵矩阵K和和P的元素分别表示如下的元素分别表示如下 改写成单元集成的形式改写成单元集成的形式瞬态热传导瞬态热传导分析有限元列式分析有限元列式瞬瞬态态温温度度场场与与稳稳态态温温度度场场主主要要的的差差别别是是瞬瞬态态温温度度场场的的场场函函数数温温度度不不仅仅是是空空间间域域的的函函数数，而而且且还还是是时时间间域域的的函函数数。但但是是时时间间和和空空间间两两种种域域并并不不耦耦合，因此建立有限元格式时可以采用部分离散的方法。合，因此建立有限元格式时可以采用部分离散的方法。将将空空间间域域离离散散为为有有限限个个单单元元体体，在在典典型型单单元元内内温温度度仍仍可可以以近近似似的的用用节节点点温度插值得到，但要注意此时节点温度是时间的函数，即温度插值得到，但要注意此时节点温度是时间的函数，即瞬态热传导分析的插值形式瞬态热传导分析的插值形式瞬态热传导分析有限元列式瞬态热传导分析有限元列式等效积分形式等效积分形式瞬态热传导分析有限元列式瞬态热传导分析有限元列式代入上式并对代入上式并对W内的积分进行分部内的积分进行分部积分积分可得可得令（伽辽金形式）令（伽辽金形式）瞬态热传导分析有限元列式瞬态热传导分析有限元列式由离散格式由离散格式则瞬态热传导问题离散方程则瞬态热传导问题离散方程C C热容热容热容热容矩阵矩阵矩阵矩阵平面稳态热传导平面稳态热传导问题实例问题实例假定单元上的温度呈线性变化，单元内任一点假定单元上的温度呈线性变化，单元内任一点(x, y)的温的温度可表示度可表示为为解方程可以解方程可以得到得到三角形单元三角形单元平面稳态热传导问题实例平面稳态热传导问题实例记记三角形三角形ijm的面积的面积第一行、第二行、第三行各第一行、第二行、第三行各元素的代数余子式元素的代数余子式代入热传导矩阵，得到代入热传导矩阵，得到平面稳态热传导问题实例平面稳态热传导问题实例平面平面稳态稳态问题实例问题实例平面稳态热传导问题实例平面稳态热传导问题实例平面稳态热传导问题实例平面稳态热传导问题实例取取k=2平面稳态热传导问题实例平面稳态热传导问题实例平面稳态热传导问题实例平面稳态热传导问题实例代入后代入后得到得到平面稳态热传导问题实例平面稳态热传导问题实例采用采用ABAQUS进行算例进行算例验证验证操作演示操作演示平面稳态热传导平面稳态热传导问题实例问题实例操作演示操作演示