第二节第二节 互斥事件互斥事件有一个发生的概率有一个发生的概率一、基本知识概要：一、基本知识概要： 1 1、互斥事件互斥事件：如果事件：如果事件A A与与B B不能同时发生不能同时发生（即（即A A发生发生B B必不发生或者必不发生或者B B发生发生A A必不发生）必不发生），那么称事件，那么称事件A A，B B为互斥事件（或称互不为互斥事件（或称互不相容事件）。如果事件相容事件）。如果事件A A1 1，A A2 2， 中任中任何两个都是互斥事件，那么称事件何两个都是互斥事件，那么称事件A A1 1，A A2 2，AnAn彼此互斥。彼此互斥。 一、基本知识概要：一、基本知识概要： 互斥事件的概率加法公式互斥事件的概率加法公式：如果事件：如果事件A A，B B互斥，那么互斥，那么P P（A+BA+B）=P=P（A A）+P+P（B B）；）； 如果事件如果事件A A1 1，A A2 2， 彼此互斥，则彼此互斥，则P P（A A1 1 + + A A2 2 + + + + ）=P=P（A A1 1）+P+P（A A2 2）+ +P+P（ ）；）； 一、基本知识概要：一、基本知识概要： 2 2、对立事件对立事件：如果事件：如果事件A A与与B B不能同时发生，不能同时发生，且事件且事件A A与与B B必有一个发生，则称事件必有一个发生，则称事件A A与与B B互为对立事件，事件互为对立事件，事件A A 的对立事件通常记的对立事件通常记作作 。 对立事件对立事件A A与与 的概率和等于的概率和等于1 1，即：，即：P P（A A）+P+P（ ）=P=P（A+ A+ ）=1=1； 一、基本知识概要：一、基本知识概要： 注：对立事件是针对两个事件来说的，一注：对立事件是针对两个事件来说的，一般地说，两个事件对立是这两个事件互斥般地说，两个事件对立是这两个事件互斥的充分条件，但不是必要条件。的充分条件，但不是必要条件。 3 3、事件的和事件事件的和事件：对于事件：对于事件A A与与B B，如果事如果事件件A A发生或事件发生或事件B B发生，也即发生，也即A A，B B中有一个中有一个发生称为事件发生称为事件A A与与B B的和事件。记作：的和事件。记作：A+BA+B， 此时此时P P（A+BA+B）=P=P（A A）+P+P（B B） ； 一、基本知识概要：一、基本知识概要： 4 4、从集合的角度来理解互斥事件，对立事从集合的角度来理解互斥事件，对立事件及互斥事件的概率加法公式件及互斥事件的概率加法公式： 设事件设事件A A与与B B它们所含的结果组成的集合分别它们所含的结果组成的集合分别是是A A，B B。若事件若事件A A与与B B互斥，即集合互斥，即集合，若事件，若事件A A与与B B对立，即集合对立，即集合 且且 ，也即：，也即： 或或 ，对互斥，对互斥事件事件A+BA+B（即事件即事件A A发生或事件发生或事件B B发生）即可理发生）即可理解为集合解为集合 。 一、基本知识概要：一、基本知识概要： 有等可能事件的概率公式知：有等可能事件的概率公式知： = + =P（A）+P（B） 二、重点难点二、重点难点 ： 互斥事件的概念和互斥事件的概率加法公互斥事件的概念和互斥事件的概率加法公式是重点；互斥事件、对立事件的概念及式是重点；互斥事件、对立事件的概念及二者的联系与区别及应用是难点。二者的联系与区别及应用是难点。 四、特别注意：四、特别注意： 互斥事件、对立事件的区别。互斥事件、对立事件的区别。 三、思维方式三、思维方式 ： 在求某些稍复杂的事件的概率时通常有两在求某些稍复杂的事件的概率时通常有两种方法：一是将所求事件的概率分化成一种方法：一是将所求事件的概率分化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求出此事件的对立事件的概率，即用逆向思出此事件的对立事件的概率，即用逆向思维法。正难则反的思想。维法。正难则反的思想。 五、例题：五、例题： 例例1 1： 从装有从装有2 2个红球和个红球和2 2个白球的口个白球的口袋内任取袋内任取2 2个球，那么互斥而不对立的两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（个事件是（ ） A.A.至少有至少有1 1个白球，都是白球个白球，都是白球B.B.至少有至少有1 1个白球，至少有个白球，至少有1 1个红球个红球C.C.恰有恰有1 1个白球，恰有个白球，恰有2 2个白球个白球D.D.至少有至少有1 1个白球，都是红球个白球，都是红球五、例题：五、例题： 例例1 1： 在所有的两未数（在所有的两未数（10991099）中，）中，任取一个数，则这个数能被任取一个数，则这个数能被2 2或或3 3整除的整除的概率是（概率是（ ）A B C D A B C D 从编号为从编号为1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，9 9，1010的十个球中，任取的十个球中，任取5 5个球，则这个球，则这5 5个个球的编号之和为奇数的概率是球的编号之和为奇数的概率是 （）（） 五、例题：五、例题： 例例1 1： 88个篮球队中有个篮球队中有2 2个强队，先任个强队，先任意将这意将这8 8个队分成两个组（每组个队分成两个组（每组4 4个队）个队）进行比赛，则这两个强队被分在一个组进行比赛，则这两个强队被分在一个组内的概率是内的概率是 ； 思维点拨思维点拨：正确理解互斥事件：正确理解互斥事件 、对立事、对立事件的概念。件的概念。 五、例题：五、例题： 例例2 2：（：（1 1）今有标号为）今有标号为1 1，2 2，3 3，4 4，5 5的五的五封信，另有同样标号的五个信封，现将五封信，另有同样标号的五个信封，现将五封信任意地装入五个信封，每个信封装入封信任意地装入五个信封，每个信封装入一封信，试求至少有两封信配对的概率一封信，试求至少有两封信配对的概率 。 思维点拨思维点拨：运用互斥事件的概率加法公式：运用互斥事件的概率加法公式解题时，解题时， 首先要分清事件是否互斥，同首先要分清事件是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏。做到不重不漏。 五、例题：五、例题： 例例3 3：（：（20042004年合肥模拟试题）在袋中装年合肥模拟试题）在袋中装2020个小球，其中彩球有个红色、个小球，其中彩球有个红色、5 5个蓝色、个蓝色、1010个黄色，其余为白球。个黄色，其余为白球。求：求： （1 1）如果从袋中取出如果从袋中取出3 3个都是相同颜色彩球个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是（无白色）的概率是 ，那么，袋中，那么，袋中的红球共有几个？的红球共有几个？ 五、例题：五、例题： （2 2）根据（根据（1 1）中的结论，计算从袋中任取）中的结论，计算从袋中任取3 3个小球至少有一个是红球的概率。个小球至少有一个是红球的概率。 思维点拨思维点拨：在求用：在求用“至少至少”表达的事件的表达的事件的概率时，先求其对立事件的概率往往比较概率时，先求其对立事件的概率往往比较简便简便 五、例题：五、例题： 练习练习：变式：袋中有：变式：袋中有5 5个白球，个白球，3 3个黑球，个黑球，从中任意摸出从中任意摸出4 4个，求下列事件发生的概个，求下列事件发生的概率：率： （1 1）摸出）摸出2 2个或个或3 3个白球；个白球；（2 2）至少摸出）至少摸出1 1个白球；个白球； （3 3）至少摸出）至少摸出1 1个黑球。个黑球。 五、例题：五、例题： 例例4 4：9 9个国家乒乓球队中有个国家乒乓球队中有3 3个亚洲国家个亚洲国家队，抽签分成甲、乙、丙三组（每组队，抽签分成甲、乙、丙三组（每组3 3队）队）进行比赛，试求：进行比赛，试求： （1 1）三个组各有一个亚洲队的概率；）三个组各有一个亚洲队的概率； （2 2）至少有两个亚洲队分在同一组的）至少有两个亚洲队分在同一组的概率。概率。 五、例题：五、例题： 思维点拨思维点拨：要能正确熟练地掌握排列、：要能正确熟练地掌握排列、组合的有关计算。组合的有关计算。 五、例题：五、例题： 例例5 5、从一副、从一副5252张的扑克牌中任取张的扑克牌中任取4 4张，求张，求其中至少有两张牌的花色相同的概率。其中至少有两张牌的花色相同的概率。 思维点拨思维点拨：直接计算符合条件的事件个数：直接计算符合条件的事件个数较繁时，可间接地先计算对立事件的个数，较繁时，可间接地先计算对立事件的个数，求得对立事件的概率，再求出符合条件的求得对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率。事件的概率。 六、课堂小结六、课堂小结 1 1互斥事件不一定是对立事件、对立事件互斥事件不一定是对立事件、对立事件一定是互斥事件。在求用一定是互斥事件。在求用“至少至少”表达的表达的事件的概率时，先求其对立事件的概率往事件的概率时，先求其对立事件的概率往往比较简便。往比较简便。2 2把一个复杂事件分解成几个彼此互斥的把一个复杂事件分解成几个彼此互斥的事件时，要做到不重复不遗漏。事件时，要做到不重复不遗漏。六、课堂小结六、课堂小结 3 3互斥事件的概率加法公式互斥事件的概率加法公式利用互斥事件的概率加法公式来求概率，利用互斥事件的概率加法公式来求概率，首先要确定事件彼此互斥，然后求出事件首先要确定事件彼此互斥，然后求出事件分别发生的概率，再求其和。在具体计算分别发生的概率，再求其和。在具体计算中，利用中，利用 或或 常可常可使概率的计算简化。使概率的计算简化。