1987-20211 1第三局部第三局部 一元函数积分学一元函数积分学2（02.2）已知已知 的一个原函数为的一个原函数为 ，则，则【解】【解】3 3(00.1)【解】【解】4 4(98.2)【解】【解】5 5（09）计算不定积分计算不定积分【解】【解】令令原式原式6设设 求求(02.5)【解】【解】7 7，已知，已知 ，试求，试求即即 ，将代人得，将代人得则则求导得求导得(99.6) 设设 为为 的原函数，且当的原函数，且当 时，时，【解】【解】8 8(07.3) 如图，设如图，设 则下列结论正确的则下列结论正确的是是 【 】【解】【解】由定积分的几何意义由定积分的几何意义比较四式比较四式 ，应选，应选A0均为半圆均为半圆9【解】【解】 ， 即即 设设又又 的定义域为的定义域为（09）使不等式使不等式 的的 的范围是【的范围是【 】由于由于 故故() () () ()选选A因此因此易犯错误：易犯错误：两边求导两边求导10（09）设函数设函数 在在 的图形为的图形为则则 的图形为的图形为ABDC选选D11(A) 曲边梯形曲边梯形ABOD面积面积 (B) 梯形梯形ABOD面积面积(08.2) 曲线段方程为曲线段方程为函数在区间函数在区间 上有上有连续导数，则定积分连续导数，则定积分【 】(C) 曲边三角形曲边三角形ACD面积面积 (D) 三角形三角形ACD面积面积【解】【解】其中其中 是矩形面积，是矩形面积， 是曲边梯形面积，是曲边梯形面积，故故 是曲边三角形面积是曲边三角形面积. 应选应选 (C) ？12(05.19) 设设 在上的导数连续，且在上的导数连续，且证明：对任何的证明：对任何的 ，有，有令令即即【证明】【证明】1313因为因为 ，则由定积分的性质，则由定积分的性质当当 时，有时，有选选设函数设函数 与与 在在 上连续，且上连续，且( 06)则对任何则对任何 ，有，有【解】【解】1414选其他情况可举反例其他情况可举反例.若若 是单调增函数，原函数是单调增函数，原函数 不是单调增函数不是单调增函数(99.1)设设 是连续函数，是连续函数， 是是 的原函数，则的原函数，则()当是奇函数时，必是偶函数当是奇函数时，必是偶函数()当是周期函数时，必是周期函数当是周期函数时，必是周期函数(B)当当 是是 偶函数时，必是奇函数偶函数时，必是奇函数()当是单调增函数时，必是单调增函数当是单调增函数时，必是单调增函数【解】【解】若若 是偶函数，原函数不是奇函数；是偶函数，原函数不是奇函数；若是周期函数，原函数不是周期函数；若是周期函数，原函数不是周期函数；1515设函数设函数 在在 上连续，则上连续，则 是函数是函数(08.1)(A) 跳跃间断点跳跃间断点 (B) 可去间断点可去间断点(C) 无穷间断点无穷间断点 (D) 振荡间断点振荡间断点的的【 】【解】【解】由于由于故应选故应选B16令令所以，所以， 是偶函数是偶函数.选选设函数设函数 连续，则在下列变上限定积分定义的连续，则在下列变上限定积分定义的(02.2)函数中，必为偶函数的是函数中，必为偶函数的是【 】【解】【解】1717() 无界无界() 递减递减() 不连续不连续() 连续连续选选在在 处连续，所以处连续，所以 在内连续在内连续.设设 ，其中，其中(01.2)则在区间则在区间 内内【 】【解】【解】1818()同阶但不等价无穷小同阶但不等价无穷小()等价无穷小等价无穷小因为因为 是是 的高阶无穷小，则的高阶无穷小，则所以，所以， 是是 的高阶无穷小的高阶无穷小.选选设设 在点在点 的某邻域内连续，且当的某邻域内连续，且当(97.1)时，是时，是 的高阶无穷小，则当的高阶无穷小，则当时，时， 是是 的的()低阶无穷小低阶无穷小()高阶无穷小高阶无穷小【解】【解】1919()在在 处可导，且处可导，且即即选选所以，在所以，在 连续，但在连续，但在 不可导不可导()在在 处不连续处不连续设设 ， ，则，则( 04)【 】()在在 连续，但在连续，但在 处不可导处不可导()在在 可导，但不一定可导，但不一定【解】【解】2020试证：（试证：（1）若为偶函数，则也是偶函数若为偶函数，则也是偶函数若为偶函数，则若为偶函数，则即，也是偶函数即，也是偶函数.设函数设函数 在在 内连续内连续,且且(97.8)（2）若为单调不增，则单调不减）若为单调不增，则单调不减.【解】【解】 因为因为21212因为因为 单调不增，则单调不增，则当当 时，时， ，得，得 不增，不增，当当 时，时， ，得，得 不减，不减，所以所以 ，即，即 不减不减.2222求极限求极限(02.3)【解】【解】 原式原式2323【解】【解】如图，由题意知如图，由题意知两边求导得两边求导得 ，解得，解得将将 代人得代人得所求函数所求函数设设 是第一象限内连接点是第一象限内连接点 的一的一(03.7)段连续曲线，段连续曲线， 为该曲线上任意点，点为为该曲线上任意点，点为 在轴上在轴上的面积之和为的面积之和为 ，求的表达式，求的表达式.的投影，为坐标原点，若梯形的投影，为坐标原点，若梯形的面积与曲边三角形的面积与曲边三角形2424对所给等式两边对求导对所给等式两边对求导,得得将将 代人得代人得两边对求导两边对求导 ，解得，解得则则即即 ，再将，再将 代人，求出代人，求出，满足条件，满足条件 ，求求设函数设函数 在在 内连续，内连续， ，且对所有，且对所有(01.8)【解】【解】2525已知已知 连续，连续，求：求： 的值的值.令令 ，所给等式变为，所给等式变为整理得整理得两边对求导得两边对求导得令，则令，则(99.7)【解】【解】2626(A) 与与 都收敛都收敛所以，所以， 收敛，收敛， 发散发散.选下列结论中正确的是下列结论中正确的是 【 】(05.9)() 与与 都发散都发散(C) 发散发散, 收敛收敛(D) 收敛收敛, 发散发散【解】【解】2727(03.2)求积分求积分【解】【解】2828【解】【解】 令令则则两边积分两边积分(97.2)设设 ，则，则2929(04.3) 设设 ，则，则【解】【解】对称性对称性3030【解】【解】 函数函数 求积分求积分(08.10)31计算计算(00.4)【解】【解】3232(1) 证明对任意实数都有证明对任意实数都有 (2) 证明证明是周期为是周期为 2的周期函数的周期函数.【解】【解】(08.18) 设设 是周期为是周期为 2 的连续函数，的连续函数，(1)令令 则则故故33(2) 所以所以 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数.34(04.17) 设设 在在 上连续，且满足上连续，且满足 证明：证明：【证明】【证明】而而即证即证故令故令那那么么35求求 (1) 的表达式；的表达式；(2) 的最小值的最小值2令令得唯一驻点得唯一驻点，则则 是极小值点也是最小值点，最小值为是极小值点也是最小值点，最小值为(04.19) 设设 为轴与之间的面积为轴与之间的面积对任何对任何 ，为矩形，为矩形 的面积的面积如图如图【解】【解】3636证明：在证明：在 内至少存在两个不同的点内至少存在两个不同的点 ，使得，使得【解】【解】令令 ，则，则令令 ，则，则 ，应用罗尔定理，应用罗尔定理存在存在 ,有有 ,又因为又因为 则则在在 和和 上分别应用罗尔定理得上分别应用罗尔定理得(00.8)设函数设函数 在上连续，且在上连续，且3737(01) 设设 在在 上连续，在上连续，在 内可导，且满足内可导，且满足证明：至少存在一点证明：至少存在一点 ，使得，使得【解】【解】由于被积函数的导数为由于被积函数的导数为令令则则由积分中值定理由积分中值定理从而从而 在在 上满足罗尔中值定理，则存在上满足罗尔中值定理，则存在 使使而而即即38且满足且满足证明：存在证明：存在 ，使得，使得分析分析 ，即，即将换成，得将换成，得做辅助函数做辅助函数(01.8)设设 在区间在区间 上连续，在上连续，在 内可导，内可导，【解】【解】3939利用积分中值定理，去掉的积分符号，得利用积分中值定理，去掉的积分符号，得而而在上应用罗尔定理，存在在上应用罗尔定理，存在即即证毕证毕.4040闭区间上连续函数的性质，证明存在一点闭区间上连续函数的性质，证明存在一点 使得使得【解】【解】由于由于 在上连续，则由最值定理知在上连续，则由最值定理知又因为又因为 ，则，则 ，即，即由介值定理，存在由介值定理，存在 ，使得，使得即即(02.8)设函数设函数 在在 上连续，且上连续，且 ,利用利用存在在上的最大值和最小值，有存在在上的最大值和最小值，有4141(01) 已知抛物线已知抛物线 (其中其中 ) 在第一在第一 象限内与直线象限内与直线 相切，且抛物线与相切，且抛物线与 轴所围成轴所围成的平面图形的面积为的平面图形的面积为 .(1)问问 为何值时，为何值时， 达到最大达到最大(2)求出此最大值求出此最大值.【解】【解】又由已知两曲线相切又由已知两曲线相切判别式等于零，故判别式等于零，故令令经讨论为最值点经讨论为最值点此时此时42围成的平面区域，围成的平面区域， 是由抛物线是由抛物线 和直线和直线 (02) 设设 是由抛物线是由抛物线 和直线和直线 及及所所所围成的平面区域，其中所围成的平面区域，其中(1) 试求试求 绕绕 轴旋转而成的旋转体体积轴旋转而成的旋转体体积 ； 绕绕 轴轴旋转而成的旋转体体积旋转而成的旋转体体积(2) 问问 为何值时，为何值时， 取得最大值？试求此最大值？取得最大值？试求此最大值？【解】【解】为极大值点为极大值点43(2) 求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转根据的不同范围，有两种情况根据的不同范围，有两种情况(98.8) 设直线设直线 与抛物线与抛物线 所围成的图形的面所围成的图形的面,并且并且积为积为 ,它们与直线它们与直线 所围成的图形的面积为所围成的图形的面积为(1) 试确定的值，使得试确定的值，使得 达到最小，并求出最小值；达到最小，并求出最小值；体的体积体的体积.【解】【解】当当 时时得唯一驻点得唯一驻点4444当当 时时所以，当所以，当 时，时，有最小值有最小值，得单调减，得单调减则则 时最小，时最小，所以，当所以，当 时，最小时，最小，最小值为最小值为45452旋转体的体积旋转体的体积4646如图如图求曲线求曲线 所围成的平面所围成的平面(97.6)图形的面积，并求该平面图形绕轴旋转一周所得图形的面积，并求该平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积旋转体的体积.【解】【解】4747（09）设曲线设曲线 其中其中 是可导函数，且是可导函数，且已知曲线已知曲线 与直线与直线 所围成的曲所围成的曲边梯形，绕边梯形，绕 轴旋转一周所得的立体体积值是曲边梯形轴旋转一周所得的立体体积值是曲边梯形面积值的面积值的 倍，求该曲线方程。倍，求该曲线方程。【解】【解】 由已知得由已知得两边求导得两边求导得再两边求导得再两边求导得解得解得 由由*式知式知故所求曲线方程为故所求曲线方程为48第五局部第五局部 多元函数积分学多元函数积分学49(05.8) 设设而而 在在 上为减函数上为减函数其中其中 则则【 】【解】【解】应选应选 (A)5050(07.4) 设函数设函数 连续连续, 则二次积分则二次积分 等于等于 【 】【解】【解】将积分区域复原，如图将积分区域复原，如图应选应选B0交换积分次序得交换积分次序得51(06.16) 计算二重积分计算二重积分 其中是由直线其中是由直线所围成的平面区域所围成的平面区域.【解】【解】积分区域如下图积分区域如下图5252作出被积函数不为的区域作出被积函数不为的区域(03.3)设设 ，表示全平面，表示全平面，则则【解】【解】53将区域分成两部分和将区域分成两部分和由对称性知由对称性知求二重积分求二重积分 的值，其中的值，其中(01.5)线线 及及 围成的平面区域围成的平面区域.由直由直【解】【解】5454求求，其中，其中被积函数不为被积函数不为0的区域是的区域是设设(00.7)【解】【解】5555及曲线及曲线 围成的平面区域围成的平面区域.计算二重积分计算二重积分 ,其中是由直线其中是由直线(99.4)【解】【解】 积分区域如图积分区域如图5656设设 ,求求(98.5)1【解】【解】积分区域如图积分区域如图5757设是以点设是以点 和和 为顶点的为顶点的(97.8)三角形区域，求三角形区域，求【解】【解】 积分区域如图积分区域如图5858(08.11) 求二重积分求二重积分其中其中【解】【解】原式原式59(99.22) 设设 连续，且连续，且 ,积分区域图形积分区域图形对上式两边在上积分，并令对上式两边在上积分，并令得得所以所以【解】【解】应选应选 (C)其中是由其中是由 围成的区域，则围成的区域，则 等于等于6060积分区域积分区域其中其中 的计算需两次利用分部积分公式，的计算需两次利用分部积分公式，计算二重积分计算二重积分 ,其中其中(03.5)【解】【解】也可利用简单的表格计算也可利用简单的表格计算.6161求：求：设设 ，则，则两边在上积分两边在上积分则则设闭区域设闭区域 为上的连为上的连(02.6)续函数，且续函数，且【解】【解】6262计算二重积分计算二重积分 ，其中，其中(05.17)【解】【解】见下页见下页636364设函数设函数 连续，连续，(08.4)【解】【解】故应选故应选A其中区域其中区域 为图中阴影部分，则为图中阴影部分，则【 】65【解】【解】(08.11)其中其中从而从而66由对称性知由对称性知求求 ,其中其中 是是(04.16) 所围成的区域所围成的区域.【解】【解】6767(07.18) 设二元函数设二元函数【解】【解】原式原式计算计算 ，其中，其中6869（09）计算二重积分计算二重积分 其中其中【解】由【解】由原式原式70