介电常数与对称性介电常数与对称性各向异性介电常数与对称性的关系1LB介电对称描写电介质的性质以及遵循的电学规律常用描写电介质的性质以及遵循的电学规律常用三个矢量和两个系数，即极化强度三个矢量和两个系数，即极化强度P P，电场，电场强度强度E E，电位移，电位移D D和极化率和极化率，介电常数，介电常数。 2LB介电对称极化强度极化强度P P 在外电场的作用下，电介质要产生极化。极化强度就是反映电介质的极化强度的物理量，通常用符号P P 表示。极化强度与电偶极矩的关系：在电介质内选取某体积元V，没有外电场作用时，电介质不产生极化，这时体积元V内所有原子（或分子）的电偶极矩的p p分量等于零；在电场作用下，由于电介质要产生极化，这时体积元V内的电偶极矩的矢量和p p不等于零。3LB介电对称极化强度P P的定义为：即极化强度为单位体积内的电偶极矩的矢量和。 4LB介电对称极化强度与极化电荷的关系 电介质极化后在它的表面上要出现极化电荷（即束缚电荷）。极化电荷的数量与极化程度有关，就是说与极化强度有关。设极化电荷面密度为，则有：Pn 为极化强度在表面元的法线方向的分量。上)式说明电介质的极化电荷面电荷密度在数值上等于极化强度在该面上的法线方向的分量。5LB介电对称各向同性介质中各向同性介质中P P、D D和和E E之间的关系之间的关系 对于各向同性的电介质，实验上发现当介质中电场不是很大时，极化强度P P与电场E E成正比，并且方向相同，即：式中比例系数称为介质的极化率。 6LB介电对称电位移D D与电场E E、极化强度P P之间的关系为： 或式中，0=1/（36109）8.8510-12（法/米），称为真空介电常数或真空极化率；称为介电常数，它们之间的关系为： 或7LB介电对称各向异性介质中各向异性介质中P P、D D和和E E之间的关系之间的关系 一般晶体都是各向异性的电介质。对于各向异性的电介质实验上发现，P P、D D、E E之间的方向彼此不同，如图所示，但关系D D=0E E+P P式仍然成立；和与P P、D D、E E的分量方向有关，不是标量而是张量了。 8LB介电对称图图2-8 2-8 充满各向异性介质的平行板电容器充满各向异性介质的平行板电容器 9LB介电对称P P与与E E的关系的关系 为了得到各向异性介质中极化强度分量（Px、Py、Pz）与电场强度分量（Ex、Ey、Ez）之间的关系式，进行如下实验。当介质在x方向受到电场Ex的作用时，不仅在x方向出现极化强度Px(1)，而且在y方向和z方向也出现极化强度分量Py(1)和Pz(1)，它们与Ex的关系为： 10LB介电对称同理，在介质的y、z方向，分别受到电场Ey或Ez的作用时，产生的极化强度分量为 ： 11LB介电对称当介质受到任意电场E E（Ex、Ey、Ez）的作用时，介质中产生的极化强度P P（Px、Py、Pz）与E E之间的关系为： 12LB介电对称上式表示各向异性介质中的极化强度分量与电场强度分量之间的关系。实验上还发现，对于所有的介质都存在12=21，13=31和23=32，即独立的极化率系数只有六个。于是上式可改写为：13LB介电对称极化率的物理意义式中极化率11=（Px/Ex）Ey,Ez，为当y、z方向电场分量Ey、Ez保持不变时，由于沿x方向电场分量Ex的变化所引起的x方向极化强度Px的变化与Ex变化之比。或者说，当Ey、Ez保持不变时，Ex改变一个单位时（即Ex =1时）所引起Px的变化就等于11。极化率12=（Px/Ey）Ez,Ex，为当z、x方向电场分量Ez、Ex保持不变时，Ey改变一个单位时（即Ex =1时）所引起Px的变化。其它极化率的意义与11、12类似，极化率的大小由材料的介电性质所决定。 14LB介电对称It is a tensor, not a vector由此可见，对于各向异性介质沿x 方向的极化强度分量Px不仅与x方向的电场Ex有关，而且与y、z方向电场分量Ey、Ez有关，或者说Px与Ex、Ey、Ez之间存在线性关系。同理，Py、Pz也分别与Ex、Ey、Ez之间存在线性关系。描写电介质材料介电性质的极化率，有六个独立分量（ 1111、 1212、 1313、 2323、 2222、 3333）。就是说电介质材料的极化率，即不是标量，也不是矢量，而是二级对称张量，它与E E 、P P的方向有关。 15LB介电对称为了方便，我们规定x、y、z方向为1、2、3方向，于是（Px、Py、Pz）就可写成（P1、P2、P3），（Ex、Ey、Ez）就可写成（E1、E2、E3）。上式可简化为 :或：16LB介电对称矩阵形式矩阵形式 17LB介电对称D与E的关系 同理，电介质材料中的电位移分量（Dx、Dy、Dz）与电场强度分量（Ex、Ey、Ez）之间的关系可以写为： 或简写成：18LB介电对称式中介电常数11=（Dx/Ex）Ey、Ez，为当Ey、Ez保持不变时，Ex改变一个单位时所引起Dx的变化。介电常数12=（Dx/Ey）Ez、Ex，为当Ez、Ex保持不变时，Ey改变一个单位时所引起Dx的变化。其它介电常数的意义与11、12的类似，介电常数的大小由材料的介电性决定 19LB介电对称D D与与P P、E E之间的关系之间的关系 各向异性电介质材料沿x方向的电位移分量Dx不仅与x方向的电场Ex有关，而且与y、z方向电场分量Ey、Ez有关。或者说Dx与Ex、Ey、Ez之间存在线性关系。同理，Dy、Dz也分别与Ex、Ey、Ez之间存在线性关系。描写各向异性电介质材料的介电性质需要六个独立的介电常数，因此各向异性电介质材料的介电常数也是二级对称张量。20LB介电对称介电常数mn与极化率mn之间的关系在x 方向上的分量：21LB介电对称同理可得：写成矩阵形式为：22LB介电对称对于各向同性的电介质，P P、E E之间的关系与D D、E E之间的关系也可以写成矩阵形式：23LB介电对称小结 （1）不论是各向同性的电介质，还是各向异性电介质，关系式D D=0E E+P P都是成立的。（2）对于各向同性的线性电介质材料，D D、E E、P P的方向相同，并有D D=E E，P P=E E；与是标量，与，D D、E E、P P的分量方向无关。与之间的关系为：=0+。（3）对于各向异性电介质材料，D D、E E、P P的方向彼此不同，并有24LB介电对称各向异性电介质的介电常数与对称性各向异性电介质的介电常数与对称性 描写完全各向同性介质，只要一个介电常数，描写完全各向异性介质，需要六个独立的介电常数。独立的介电常数的个数与材料的对称性有关，而且一般情况下独立的介电常数的个数是界于一个和六个之间。 25LB介电对称下面主要介绍如何根据不同晶类的对称性，来确定它的独立介电常数。在32种点群中，有21个没有对称中心，这21种点群中有20种点群具有压电效应。这20种具有压电效应的晶体，它们的介电常数、弹性常数和压电常数的数目在下表中。26LB介电对称具有压电效应的晶类的各种独立常数的数目具有压电效应的晶类的各种独立常数的数目 表2-1具有压电效应的晶类的各种独立常数的数目晶系晶系点群点群独立常数的数目独立常数的数目晶系晶系点群点群独立常数的数目独立常数的数目介电介电弹性弹性压电压电介电介电弹性弹性压电压电三斜三斜1 16 621211818三角三角3 32 27 76 6单斜单斜m m4 4131310103m3m2 26 64 42 24 413138 832322 26 62 2正交正交mm2mm23 39 95 5六角六角6 62 25 54 42222223 39 93 32 25 52 2四方四方4 42 27 74 46mm6mm2 25 53 32 27 74 46m26m22 25 51 14mm4mm2 26 63 36226222 25 51 1m2m22 26 62 2立方立方23231 13 31 14224222 26 61 13m3m1 13 31 1压电陶瓷压电陶瓷2 25 53 327LB介电对称从表中可以看出，属于三斜晶系的晶体结构对称性最低，是完全各向异性晶体，它的独立的介电常数、弹性常数、压电常数的数目最多；其次是属于单斜晶系的晶体，对称性也较低；属于立方晶系的晶体，对称性最高，接近于各向同性晶体，它的独立介电常数、弹性常数、压电常数的数目最少，其次是六角晶系，对称性也较高。 28LB介电对称晶体的独立介电常数的数目晶体的独立介电常数的数目 现在介绍如何根据不同晶类的对称性，来确定它的独立的介电常数。因为不同的晶类的对称性不一样，或者说各向异性的程度不一样，其独立的介电常数数目就会不一样。完全各向异性体的独立介电常数有六个，完全各向同性体的独立介电常数只有一个，而且有压电效应的晶体的对称性是介于完全各向异性体和完全各向同性体之间，可以预料它们的独立介电常数的数目是在一到六之间。 29LB介电对称例如，氯酸钠NaClO3和溴酸钠NaBrO3晶体，是立方晶系23点群的压电晶体；碲化镉CdTe和硒化锌ZnSe晶体是属于立方晶系3m点群的压电晶体。这些晶体的独立介电常数只有一个。又如，属于四方晶系4mm点群的钛酸钡BaTiO3晶体，属于三方晶系32点群的-石英晶体和3m点群的LiNbO3晶体等都是介于完全各向异性体和完全各向同性体之间的晶体，这些晶体的独立介电常数只有二个。 30LB介电对称现在以具有z轴是四次轴的晶体为例，说明晶体对称性与介电常数之间的关系。所谓z轴是四次轴，即表示当晶体绕z轴转90、180、270后，晶体的性质保持不变，各个介电常数也mn保持不变。当晶体绕z轴转90后，晶体的x轴与y轴重合，若晶体绕z轴转270后，则晶体的y轴与x轴重合，这表明，当x轴与y轴互换后，晶体的介电常数应保持不变，即要求11 =22。但是x轴、y轴 与z轴不能互换，即11 33。至于其它介电常数，可通过下述方法确定。 31LB介电对称4-fold rotation4-fold rotation32LB介电对称设晶体受到沿z方向的电场Ez的作用时，在x、y 轴方向的电位移分量为：当晶体绕z轴转90后，在新坐标系中电位移分量为：33LB介电对称因 为 z轴 转 90后 ， xy， y -x，zz，固有Dx=Dy，Dy=-Dx：比较可得：因为z轴为四次轴，晶体绕z轴转90后，晶体的介电常数应保持不变，这就要求： 34LB介电对称一方面要求： 另一方面又要求：可见下式只有才能同时满足 用类似方法还可以证明 ：35LB介电对称最后得到具有z轴是四次旋转轴的晶体的介电常数的矩阵形式为：独立的介电常数只有11和33两个。钛酸钡、钛酸铅等压电晶体的z轴都是四次旋转轴，它们的介电常数与上式相同。 36LB介电对称坐标变换法坐标变换法利用矢量和张量的坐标变换可以严格证明上面的过程。注意点群的对称操作与坐标轴的关系。原坐标系：新坐标系：具有对称性的意义：37LB介电对称坐标系的变换：或：电场的变换：电位移的变换：38LB介电对称仍以4点群为例说明。变换矩阵为：具有对称性的意义：39LB介电对称40LB介电对称对称性要求4点群介电常数的形式41LB介电对称足标代换法足标代换法 还可以采用“足标代换法”来确定晶体的独立介电常数。设转动前，晶体的坐标为o-xyz，绕z轴转90后，晶体的坐标为o-xyz，见图2-10。新旧坐标轴之间的关系为： xy，y-x，zz用（1、2、3）来代表（x、y、z）有： 12，2-1，33 于是有：1122，2211，3333，12-21，1323，23-13 42LB介电对称与介电常数联系即得：11=22，22=11， 33=33， 12=-21， 13=23，23=-13因为z轴是四次旋转轴，晶体绕z轴转90后，介电常数应保持不变，即：11=11，22=22，33=33，12=12，13=13，23=23比较上述两式结果，可见只有11=22，12=12以及12=13=13=23=0时，两者才完全一致。 43LB介电对称得具有z轴是四次旋转轴的晶体的介电常数矩阵形式为 这个结果与坐标变换所得结果完全相同。44LB介电对称足标代换法足标代换法一般过程一般过程点群分析：例如点群4：只有一个4度旋转轴，而且沿c轴，即z轴方向。足标变化：绕z轴旋转90后 ，xy,y -x,z z,用（1 2 3） 代表 （x y z）1 2, 2 -1,3 345LB介电对称1 2, 2 -1,3 3旋转后性质保持不变（对称性的要求）再进行其它的旋转操作不改变介电常数矩阵的形式46LB介电对称足标代换法足标代换法例例2 2：mm2mm2点群点群铌酸钡钠（Ba2NaNb5O15）晶体，镓酸锂（LiGaO3）晶体都是属于正交晶系mm2点群的晶体。它们的z轴是二次轴，x面、y面是对称面。现在根据它们的对称性质用足标代换法来确定独立的介电常数。 47LB介电对称图 210 mm2中的第一个m 48LB介电对称因为晶体的x面是对称面，固有x-x、y y、z z，即：1-1、22、33， 49LB介电对称图 211 mm2中的2 50LB介电对称因为晶体的z轴是二次轴，当晶体绕z轴转180后，有x” -x、y” -y、z” z，即：1-1、2-2、33， 另一个镜面操作不再改变矩阵的形式51LB介电对称于是得到mm2点群晶体的介电常数的矩阵形式为： 独立介电常数为11、22、33三个。52LB介电对称足标代换法足标代换法局限性局限性只适用于三个晶轴互相垂直的晶系：正交晶系，四方晶系和立方晶系。不能应用于其它晶系：三斜晶系，单斜晶系，三角晶系，六角晶系。坐标变换法可以应用于确定任何晶系的独立的介电常数的数目。53LB介电对称七大晶系的介电常数七大晶系的介电常数 三斜晶系 单斜晶系 54LB介电对称正交晶系 四方、三方和六方晶系 55LB介电对称立方晶系 压电陶瓷的介电常数 56LB介电对称压电陶瓷的介电常数压电陶瓷的介电常数 未经过极化工序处理的压电陶瓷是各向同性的多晶体；经过极化工序处理的压电陶瓷，沿极化轴方向的物理性质就与非极化轴方向的物理性质不一样了，所以是一个各向异性的多晶体。通常选z轴为极化轴，因为极化处理后，对x轴和y轴之间并没有造成什么差别，所以通过z轴并与x轴、y轴垂直的平面，都是对称面；或者说与xy平面垂直的面都是对称面。57LB介电对称压电陶瓷的介电常数压电陶瓷的介电常数 压电陶瓷的对称性与六角晶系中6mm点群对称性相近，两者独立介电常数的数目相同。因为压电陶瓷的xy平面是各向同性的，x轴与y轴互换时，介电常数应保持不变，这就要求：11=22，12=0；又x、y与z轴之间不能互换，固有：11=2233，可通过绕z轴转180后介电常数应保持不变，证明13=23=0。 58LB介电对称小结 summaryIsotropicandanisotropicofdielectrictensor.Indexexchangemethodfordeterminationofthedielectrictensor.Independentnumberofdielectricconstantsofsevensystems;59LB介电对称