第六章 不定积分 两个方面 数学上很多方面都存在逆运算： 1、加减乘除开方乘方求导？2、实际问题： 相反的问题：已知瞬时速度V=V（t）求运动规律：这就是求微商运算的反问题。 前面，已知质点的运动规律S=S（t） ， 求瞬间的速度V=V（t），只需将S=S（t）对t求微商就可以了。第一节 不定积分的概念 一、原函数一、原函数定义定义 1例例1 问题一问题一存在性：存在性：哪些函数一定存在原函数？哪些函数一定存在原函数？问题二问题二唯一性：唯一性： 由定义，显然不唯一，由定义，显然不唯一， 且有：若且有：若F（x）为为 f（x）的一个原函数，）的一个原函数， 则对任意常数则对任意常数C，F（x）+C也是也是f（x）的一个原函数。）的一个原函数。这也说明，这也说明， 若若f（x）存在一个原函数，）存在一个原函数，则其必有无穷多个原函数。则其必有无穷多个原函数。问题三问题三若若F（x）为）为f（x）的一个原函数，）的一个原函数，F（x）+C 是否所有的原函数？是否所有的原函数？即：是否即：是否f（x）的每一个原函数都具有）的每一个原函数都具有F（x）+C的形式？的形式？回答：下面的定理：回答：下面的定理：定理定理若 F (x) 是 f (x) 在区间 I 内的一个原函数，则 F (x) +C 是 f (x) 的全体原函数，其中 C 是任意常数。证明：Lagrange中值定理的推论。 根据原函数的这种结果，引入定义。 例2 这里没有注明x的变化范围，通常都理解为使等式成立的x的全体。 不定积分不是一个函数，而是一族函数，在几何上他是一族曲线，称为积分曲线，只要画出其中的一条，其它曲线可通过平移而得到。 定义6.2 f (x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分，记为 从而 ,若F (x)为f (x)在I上的一个原函数，则有 , C为任意常数 二、不定积分的概念注意 由定义知：由定义知：或或或或1 1）求不定积分运算与微分（微商）运算是互逆的。）求不定积分运算与微分（微商）运算是互逆的。2 2）根据基本初等函数的导数公式表，可以得到基）根据基本初等函数的导数公式表，可以得到基 本积分公式表：本积分公式表：三、基本积分公式表三、基本积分公式表注注意意 强调1 1、背熟、背熟2 2、积分常数不、积分常数不能丢能丢 四、不定积分的运算法则四、不定积分的运算法则微商运算法则不定积分的运算法则 （线形运算法则） 1、2、证明：说明一下法则的体系（极限求导 定理例3. 求 解: 例4. 求解: 例5. 求解： 例6. 求 解： 前面给出了基本积分表和分部积分的性质，但所能计算的积分非常有限，且不能总用定义求。 例：第二节 换元积分法与分部积分法一. 换元积分法 先看例子： 求 公式表中只有 比较两积分：凑一个因子2一般情况： （凑微分法或第一换元法）（凑微分法或第一换元法） 设设 具有原函数具有原函数 , 即即 可导可导, 记记 ，则有，则有 证明：与复合函数的微分法则对应证明：与复合函数的微分法则对应 例：例：定理定理求求 解解:例例1求求解：解： 例例3例例2 求 解解:例例4. 求求解法解法2:由例由例2得，得，增加例例5 求 解法1：由例3得解法2：增加有些积分不能直接凑出微分.而是选择变量替换 （第二换元法）（第二换元法） 设可导，且又设则 证：定理定理例9 求 （a0） 令,则其中例例10 求求 解：设解：设 则则 于是于是 作辅助三角形作辅助三角形 得到得到 因此：原式因此：原式 其中其中 总结上面几例，我们利用三角公式，总结上面几例，我们利用三角公式，对一些无理式作了如下代换：对一些无理式作了如下代换：，令，令 对于对于，令，令对于对于，令，令目的在于消去根号，因为它们比较典型，目的在于消去根号，因为它们比较典型，故特别称之为三角代换。故特别称之为三角代换。 对于对于由乘积的微商公式：故这个公式称为分部积分公式。 或关键：适当选取 和 ，使 容易求 。2 2分部积分法分部积分法例13选 幂函数与指数函数乘积的积分总结： 幂函数与正（余）弦函数乘积的积分例14例15总结：选 有时分部积分后会遇到原来的不定积分。注意加c 例17 求 解： 原式= 所以 例18 解：原式= 移项即得求例20 解： 下面求两种方法 求： 类似的方法2 从出发分部积分 类似的 前面介绍了两种重要的积分方法，利用它们可以求出许多初等函数的不定积分。但是要灵活地运用这些方法，它不象求导数那样简单和易掌握。另外，任一初等函数总可按一定的步骤求得它的导函数，且导函数还是初等函数。而求初等函数的积分不仅无一定的步骤可循，更有所不同的是初等函数的原函数有可能不再是初等函数，这时我们也说积分积不出来。 总结：一些特殊类型的函数的积分：一些特殊类型的函数的积分：1. 有理函数的积分： 若真分式之和。因此有理函数的 积分只需讨论真分式的积分： 有理函数不是真分式， 用多项式除法可将其写成一个多项式与一个多项式的积分和有理真分式的积分思路：把被积函数（真分式）分解为简单分式的和。 两个多项式的商称为有理函数,即变量和常数经有限次四则运算得到的式子。所以归纳为简单分式的积分： 都可以分解为有限个简单分式的和。每个真分式根据代数基本定理，1、 简单分式有四种（两类） （1）（2）（3）（4）其 中 代数基本定理代数基本定理:代数基本定理Fundamental Theorem of Algebra是指：对于复数域，每个次数不少于1的复系数多项式在复数域中至少有一根。由此推出，一个n次复系数多项式在复数域內有且只有n个根，重根按重数计算。因此，任意次数的实系数多项式在实数域都能够分解成因此，任意次数的实系数多项式在实数域都能够分解成一次和二次因式的乘积一次和二次因式的乘积 则有分解式：则有分解式：下面逐个求不定积分：（1）（2）（3）要求只需求即可下面求 （4）,只需求即可.其 中 而解：设，A，B，C是待定系数。比较两端同次幂的系数得线性方程组 解得： 例21求方法1:(比较系数法)下面介绍两种确定待定系数的方法。 在等式右边通分后,令等式两边的分子相等得方法2：（取特殊值法）在等式两边同乘以后令，得等式两边同乘以后，令得令得将A，C的值代入，即得于是2. 三角函数有理式的积分：三角函数有理式的积分： 变换 称为万能公式例例24. 求求解：解：例例26. 求求解法一：解法一：解法二：解法二：解法三：解法三：利用万能公式利用万能公式,例例27. 求求解：解：此外，还可以利用其它技巧此外，还可以利用其它技巧:例例29. 求求解法一：利用万能公式解法一：利用万能公式解法二：解法二：3. 某些无理函数的积分： （1）例例30. 求求解：解：3. 某些无理函数的积分： （2）转化为三角函数有理式的积分 当 时，例例32. 求求解法一：解法一：解法二：解法二：习 题例例1. 求解解:原式例例2. 求解解 :原式分部积分例例3. 求解解: 取说明说明: 此法特别适用于如下类型的积分: 例例4. 求解解: 设则因连续 , 得记作得利用 补充题例例1. 1.设 解解: :为的原函数,且求由题设则故即, 因此故又例例2. 求解解: 令则原式原式例例3. 求解解: 令比较同类项系数, 故 原式说明说明: 此技巧适用于形为的积分.例例4. 求不定积分解解: 原式 作业P163页：1.(1),(4),(5),(7),(16),(17),(18);2.P187页：1.(2),(3),(4),(6),(14),(15),(16),(29);2.(6),(7),(8),(9),(10),3;5;7.