第八节第八节一般周期的函数的傅里叶级数一般周期的函数的傅里叶级数 一、以一、以2 l 为周期的函数的为周期的函数的傅里叶展开傅里叶展开 机动目录上页下页返回完毕二、傅里叶级数的复数形式二、傅里叶级数的复数形式 第十一章 9/20/2024阜师院数科院一、以一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开为周期的函数的傅里叶展开周期为 2l 函数 f (x)周期为 2 函数 F(z)变量代换将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式机动目录上页下页返回完毕9/20/2024阜师院数科院设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为(在 f (x) 的连续点处)其中定理定理.机动目录上页下页返回完毕9/20/2024阜师院数科院证明证明: 令令, 那么令那么所以且它满足收敛定理条件, 将它展成傅里叶级数:( 在 F(z) 的连续点处 )变成是以 2 为周期的周期函数 , 机动目录上页下页返回完毕9/20/2024阜师院数科院其中令( 在 f (x) 的 连续点处 )证毕 机动目录上页下页返回完毕9/20/2024阜师院数科院说明说明:其中(在 f (x) 的连续点处)假如 f (x) 为偶函数, 则有(在 f (x) 的连续点处)其中注注: 无论哪种情况无论哪种情况 , 在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数收敛于假如 f (x) 为奇函数, 则有 机动目录上页下页返回完毕9/20/2024阜师院数科院例例1. 交流电压交流电压经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解解: 这个半波整流函数这个半波整流函数,它在傅里叶级数.上的表达式为的周期是机动目录上页下页返回完毕9/20/2024阜师院数科院机动目录上页下页返回完毕9/20/2024阜师院数科院n 1 时机动目录上页下页返回完毕9/20/2024阜师院数科院由于半波整流函数 f ( t )直流部分说明说明:交流部分由收收敛定理可得2 k 次谐波的振幅为 k 越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f (x)了.上述级数可分解为直流部分与交流部分的和. 机动目录上页下页返回完毕9/20/2024阜师院数科院例例2. 把把展开成(1) 正弦级数; (2) 余弦级数.解解: (1) 将将 f (x) 作奇周期延拓作奇周期延拓, 则则有有在 x = 2 k 处级数收敛于何值?机动目录上页下页返回完毕9/20/2024阜师院数科院(2) 将 作偶周期延拓, 则有机动目录上页下页返回完毕9/20/2024阜师院数科院说明说明: 此式对此式对也成立,由此还可导出据此有机动目录上页下页返回完毕9/20/2024阜师院数科院当函数定义在任意有限区间上时,方法方法1令即在上展成傅里叶级数周期延拓将在代入展开式上的傅里叶级数 其傅里叶展开方法:机动目录上页下页返回完毕9/20/2024阜师院数科院方法方法2令在上展成正弦或余弦级数奇或偶式周期延拓将 代入展开式在即上的正弦或余弦级数 机动目录上页下页返回完毕9/20/2024阜师院数科院例例3. 将函数将函数展成傅里叶级数.解解: 令令设将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 理条件.由于F(z) 是奇函数, 故则它满足收敛定机动目录上页下页返回完毕9/20/2024阜师院数科院利用欧拉公式二、傅里叶级数的复数形式二、傅里叶级数的复数形式设 f (x)是周期为 2 l 的周期函数 , 那么机动目录上页下页返回完毕9/20/2024阜师院数科院注意到同理机动目录上页下页返回完毕9/20/2024阜师院数科院傅里叶级数的复数形式:因此得机动目录上页下页返回完毕9/20/2024阜师院数科院式的傅里叶级数 . 例例4. 把宽为把宽为 ,高为高为 h ,周期为周期为 T 的矩形波展成复数的矩形波展成复数形形解解: 在一个周期在一个周期它的复数形式的傅里叶系数为内矩形波的函数表达式为机动目录上页下页返回完毕9/20/2024阜师院数科院机动目录上页下页返回完毕9/20/2024阜师院数科院为正弦 级数. 内容小结内容小结1. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式(x 间断点)其中当f (x)为奇 函数时,(偶)(余弦)2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓3. 傅里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出机动目录上页下页返回完毕9/20/2024阜师院数科院思考与练习思考与练习1. 将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?答答: 易看出奇偶性及间断点易看出奇偶性及间断点, 2. 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算 ?答答: 用系数公式计算用系数公式计算如分母中出现因子nk作作业:P2561(1),:P2561(1),(3);2(2);3(3);2(2);3从而便于计算系数和写出收敛域 .必须单独计算.习题课目录上页下页返回完毕9/20/2024阜师院数科院备用题备用题期的傅立叶级数, 并由此求级数(91 考研) 解解:为偶函数,因 f (x) 偶延拓后在展开成以2为周的和.故得 机动目录上页下页返回完毕9/20/2024阜师院数科院得故机动目录上页下页返回完毕9/20/2024阜师院数科院