3.9 定积分的物理应用定积分的物理应用一、变力作功问题一、变力作功问题中有一个不变的力中有一个不变的力 作用在这物体上，且这作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离物体移动了距离 时，力时，力 对物体所作的功对物体所作的功就不能直接使用此公式，而采用就不能直接使用此公式，而采用“微元法微元法”思想思想.为为 由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程 如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，如果物体在运动的过程中所受的力是变化的， 设将设将位移的方向取为坐标轴的方向，又力是位移位移的方向取为坐标轴的方向，又力是位移的的连续函数连续函数F(x)，其中其中x 是质点的坐标，在力的是质点的坐标，在力的作用下，质点从点作用下，质点从点a移至点移至点b，求力求力F(x)所作所作的功的功.oabxxx+dxF（x）分析：分析：用用微微元法，在元法，在a,b上任一个小区间上任一个小区间x, x+dx,对于小区间对于小区间x, x+dx，可，可近似地视该近似地视该 小段上的质点小段上的质点位移受位移受力力不变，都是不变，都是F(x). 于是于是功微元功微元为：为：功微元功微元为：为：从而质点从点从而质点从点a移至点移至点b时时，力力F（x）所作的功为：所作的功为：oabxxx+dxF(x)解解功元素功元素所求功为所求功为如果要考虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处解解建立坐标系如图建立坐标系如图例例2 一圆柱形蓄水池高一圆柱形蓄水池高为为5米，底半径为米，底半径为3米，池米，池内盛满了水内盛满了水.问要把池内的问要把池内的水全部吸出，需作多少功？水全部吸出，需作多少功？ 这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为功元素为功元素为(千焦千焦)解解 设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为例例3 3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入第一次锤击时将铁钉击入1 1厘米，若每次锤击厘米，若每次锤击所作的功相等，问第所作的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入次锤击时又将铁钉击入多少？多少？次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为设设 次击入的总深度为次击入的总深度为厘米厘米依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等次击入的总深度为次击入的总深度为第第 次击入的深度为次击入的深度为例例4 4解解如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系.于是对半圆上任一点于是对半圆上任一点,有有故所求速度为故所求速度为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为例例5 有一长度为有一长度为l、线密度为、线密度为r r的均匀细棒，的均匀细棒，在其中垂线上距棒在其中垂线上距棒a单位处有一质量为单位处有一质量为m的质点的质点M，计算该棒对质点，计算该棒对质点M的引力的引力解解 建立坐标系如图建立坐标系如图将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为二、引力二、引力小段与质点的距离为小段与质点的距离为引力引力水平方向的分力元素水平方向的分力元素由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为解解 圆弧上点的角度变化范围为：圆弧上点的角度变化范围为：将将上的上的小区间小区间近似看作上点，它对点近似看作上点，它对点P引力引力的的大小为：大小为：由于引力不但有大小，而且有方向，应当把引力由于引力不但有大小，而且有方向，应当把引力向两向两坐标轴作分解。由对称性，整个引力在坐标轴作分解。由对称性，整个引力在y轴方向轴方向上的上的分力为零。该小段圆弧分力为零。该小段圆弧对质点对质点P的引力在的引力在x轴轴方向上方向上的的分力即引力微元为：分力即引力微元为：因此，整个引力在因此，整个引力在x轴方向的分力为：轴方向的分力为：例例 7 将直角边各为将直角边各为a及及a2的直角三角形薄板的直角三角形薄板垂直地浸入水中，斜边朝下，直角边的边长与水垂直地浸入水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力长，求薄板所受的侧压力解解 建立坐标系如图建立坐标系如图面积微元面积微元三、水压力三、水压力例例8 8解解如图建立坐标系如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为