第五章第五章 杆件的内力杆件的内力第5章 杆件的内力 返回【内容提要内容提要】 本章介绍杆件在拉压、扭转以及弯曲时的内力计算本章介绍杆件在拉压、扭转以及弯曲时的内力计算和内力图的绘制。本章内容是对杆件进行强度、刚度和和内力图的绘制。本章内容是对杆件进行强度、刚度和稳定性计算的基础。稳定性计算的基础。【学习要求学习要求】 1. 了解拉压杆的受力特点和变形特点，了解其计算了解拉压杆的受力特点和变形特点，了解其计算简图，熟练掌握轴力计算和轴力图绘制。简图，熟练掌握轴力计算和轴力图绘制。 2. 了解受扭杆的受力特点和变形特点，了解其计算了解受扭杆的受力特点和变形特点，了解其计算简图，熟练掌握扭矩计算和扭矩图绘制。简图，熟练掌握扭矩计算和扭矩图绘制。 3. 了解杆件在平面弯曲时的受力特点和变形特点，了解杆件在平面弯曲时的受力特点和变形特点，了解其计算简图，熟练掌握剪力和弯矩计算，剪力图和了解其计算简图，熟练掌握剪力和弯矩计算，剪力图和弯矩图绘制。弯矩图绘制。 4. 掌握斜梁内力图绘制。掌握斜梁内力图绘制。 第五章第五章 杆件的内力杆件的内力第5章 杆件的内力 返回51 杆件拉（压）时的内力杆件拉（压）时的内力52 杆件扭转时的内力杆件扭转时的内力53 杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力54 斜梁的内力图斜梁的内力图第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件拉（压）时的内力杆件拉（压）时的内力目录51杆件拉（压）时的内力工程实际中经常遇到承受轴向拉伸或压缩的杆件。例工程实际中经常遇到承受轴向拉伸或压缩的杆件。例如，斜拉桥中的拉索如，斜拉桥中的拉索(图图a)、钢木组合桁架中的钢拉杆、钢木组合桁架中的钢拉杆(图图b)等。等。 (a)(b)第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件拉（压）时的内力杆件拉（压）时的内力目录 承受轴向拉伸或压缩的杆件简称为承受轴向拉伸或压缩的杆件简称为拉拉(压压)杆杆。 实际拉实际拉(压压)杆的形状、加载和连接方式各不相同，但杆的形状、加载和连接方式各不相同，但都可简化成图示的计算简图。都可简化成图示的计算简图。 杆件的受力特点是：杆件的受力特点是：作用于杆件上的外力的合力作用作用于杆件上的外力的合力作用线与杆件轴线重合；杆件的主要变形是沿轴线方向的伸长线与杆件轴线重合；杆件的主要变形是沿轴线方向的伸长或缩短，同时横向尺寸也发生变化。或缩短，同时横向尺寸也发生变化。 第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件拉（压）时的内力杆件拉（压）时的内力目录X 0 FN F 0得得 F N F现要求的内力就是图现要求的内力就是图b中的合力中的合力FN。左段处于平衡状。左段处于平衡状态，列出平衡方程态，列出平衡方程由于内力由于内力FN的作用线与杆轴线重合，故的作用线与杆轴线重合，故FN称为称为轴力轴力。以以图 a 所示拉杆所示拉杆为例，例，应用截面法求其任一横截面用截面法求其任一横截面m-m上的内力。根据均匀上的内力。根据均匀连续性假性假设，横截面，横截面mm上将有上将有连续分布的内力，以后称其分布的内力，以后称其为分布分布内力内力，而把内力这一名词用来，而把内力这一名词用来代表分布内力的合力代表分布内力的合力(力或力偶力或力偶) 。第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件拉（压）时的内力杆件拉（压）时的内力目录若取右段为研究对象，同样可求得轴力若取右段为研究对象，同样可求得轴力F FN （如（如图），但其方向与用左段求出的轴力方向相反。图），但其方向与用左段求出的轴力方向相反。 为了使两种算法得到的同一截面上的轴力不仅数值相为了使两种算法得到的同一截面上的轴力不仅数值相等，符号相同，规定轴力的正负号如下：等，符号相同，规定轴力的正负号如下：当轴力的方向与当轴力的方向与横截面的外法线方向一致时，杆件受拉伸长，轴力为正；横截面的外法线方向一致时，杆件受拉伸长，轴力为正；反之，杆件受压缩短，轴力为负。反之，杆件受压缩短，轴力为负。 在计算轴力时，通常未知轴力按正向假设。在计算轴力时，通常未知轴力按正向假设。若计算结若计算结果为正，则表示轴力的实际指向与所设指向相同，轴力为果为正，则表示轴力的实际指向与所设指向相同，轴力为拉力；若计算结果为负，则表示轴力的实际指向与所设指拉力；若计算结果为负，则表示轴力的实际指向与所设指向相反，轴力为压力。向相反，轴力为压力。 第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件拉（压）时的内力杆件拉（压）时的内力目录 实际问题中，杆件所受外力较复杂，这时杆件各横截实际问题中，杆件所受外力较复杂，这时杆件各横截面上的轴力不尽相同。为了表示轴力随横截面位置的变化面上的轴力不尽相同。为了表示轴力随横截面位置的变化情况，用平行于杆轴线的坐标情况，用平行于杆轴线的坐标x表示横截面的位置，以垂表示横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐标表示相应横截面上的轴力直于杆轴线的坐标表示相应横截面上的轴力FN的数值，绘的数值，绘出轴力与横截面位置关系的图线，即为出轴力与横截面位置关系的图线，即为轴力图轴力图。 例例51 试绘制图示直杆的轴力图。已知试绘制图示直杆的轴力图。已知F1=20 kN，F2=12 kN，F3=26 kN。A第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件拉（压）时的内力杆件拉（压）时的内力目录 解解 (1)求支座反求支座反力。由杆力。由杆AD的平衡方的平衡方程程Fx=0，可求得支，可求得支座反力座反力FD=18 kN。x (2)求横截面求横截面11、22、33上的轴力。由于在横截上的轴力。由于在横截面面B和和C上作用有外力，须将杆分为上作用有外力，须将杆分为AB、BC、CD三段。三段。 应用截面法，假想地沿应用截面法，假想地沿11横截面把杆截开，取受力横截面把杆截开，取受力较简单的右段为研究对象（如图），列出平衡方程较简单的右段为研究对象（如图），列出平衡方程 Fx=0，F1FN1=0得得 FN1= F1 =20 kN第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件拉（压）时的内力杆件拉（压）时的内力目录x取取33横截面的左段为研究对象，列出平衡方程横截面的左段为研究对象，列出平衡方程 同理，取同理，取22横横截面的右段为研究对截面的右段为研究对象，列出平衡方程象，列出平衡方程 Fx=0，F1 F2FN2=0得得 FN2= F1F2=8 kN Fx=0，FN3 FD=0得得 FN3= FD= 18 kN式中，式中，FN3为负值，说明为负值，说明FN3的指向与假设的方向相反，即的指向与假设的方向相反，即FN3为压力。为压力。第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件拉（压）时的内力杆件拉（压）时的内力目录 (3)绘制轴力图。根据所求得的轴力值，绘制轴力图。绘制轴力图。根据所求得的轴力值，绘制轴力图。xxFN18 kN8 kN20 kN由图中看出由图中看出FNmax=20 kN，发生在，发生在AB段内各横截面上。段内各横截面上。 FN图图第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件拉（压）时的内力杆件拉（压）时的内力目录xxFN18 kN8 kN20 kNFN图图 对于等截面的直杆（以后简称等直杆），内力较大对于等截面的直杆（以后简称等直杆），内力较大的横截面称为的横截面称为危险截面危险截面，例如本例中，例如本例中AB段内各横截面。段内各横截面。 以后若在规定的坐标系中绘制轴力图，则坐标轴可以后若在规定的坐标系中绘制轴力图，则坐标轴可省略不画。省略不画。第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件扭转时的内力杆件扭转时的内力目录52杆件扭转时的内力 工程工程实际中有很多承受扭中有很多承受扭转的杆件。例如，的杆件。例如，钻探机的探机的钻杆杆(图a)、房屋中的、房屋中的边梁梁(图b)等。等。在两个大小相等、方向相反且作在两个大小相等、方向相反且作用平面垂直于杆件用平面垂直于杆件轴线的力偶作的力偶作用下，杆件的任意两个横截面之用下，杆件的任意两个横截面之间都都发生生绕轴线的相的相对转动，这种种变形称形称为扭扭转变形。以扭形。以扭转为主要主要变形的杆件称形的杆件称为轴轴，其，其计算算简图如如图c所示。扭所示。扭转变形用两形用两个横截面个横截面绕轴线的相的相对扭扭转角角 表示。表示。(a)(b)(c)目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件扭转时的内力杆件扭转时的内力受扭杆件的受力特点是：在杆件两端受到两个作用面垂受扭杆件的受力特点是：在杆件两端受到两个作用面垂直于杆直于杆轴线的力偶的作用，两力偶大小相等、的力偶的作用，两力偶大小相等、转向相反。向相反。 变形特点是：杆件任意两个横截面都形特点是：杆件任意两个横截面都绕杆杆轴线作相作相对转动，两横截面之，两横截面之间的相的相对角位移称角位移称为扭转角扭转角，用，用 表示。表示。 目录521 外力偶矩的计算外力偶矩的计算第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件扭转时的内力杆件扭转时的内力 工程中作用于传动轴上的外力偶矩往往不是直接给工程中作用于传动轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，而是给出轴所传递的功率和轴的转速。它们之间的出的，而是给出轴所传递的功率和轴的转速。它们之间的换算关系为换算关系为MeNm=9549 式中，式中，Me为轴所受的外力偶矩，单位为为轴所受的外力偶矩，单位为Nm；P为轴为轴传递的功率，单位为传递的功率，单位为kW；n为轴的转速，单位为为轴的转速，单位为r/min。 目录522 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件扭转时的内力杆件扭转时的内力确定了作用于轴上的外力偶确定了作用于轴上的外力偶矩之后，就可应用截面法求其横矩之后，就可应用截面法求其横截面上的内力。截面上的内力。 假想地沿假想地沿mm截面把圆轴截面把圆轴截开，取左段为研究对象。截开，取左段为研究对象。M x =0 TMe 得得 TMe 由于左端有外力偶作用，为使由于左端有外力偶作用，为使其保持平衡，其保持平衡，mm横截面上必存在横截面上必存在一个内力偶矩。它是截面上分布内一个内力偶矩。它是截面上分布内力的合力偶矩，称为力的合力偶矩，称为扭矩扭矩，用，用T来表来表示。由空间力系的平衡方程示。由空间力系的平衡方程 若取右段为研究对象，也可得到相同的结果，但扭矩若取右段为研究对象，也可得到相同的结果，但扭矩的转向相反。的转向相反。 目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件扭转时的内力杆件扭转时的内力 为了使两种算法得到的同一截面上的扭矩不仅数值相为了使两种算法得到的同一截面上的扭矩不仅数值相等，而且符号相同，对扭矩等，而且符号相同，对扭矩T的正负号规定如下：按右手的正负号规定如下：按右手螺旋法则，让四个指头与扭矩螺旋法则，让四个指头与扭矩T的转向一致，大拇指伸出的转向一致，大拇指伸出的方向的方向(即扭矩即扭矩T的方向的方向)与截面的外法线方向一致时，与截面的外法线方向一致时，T为为正正(如图如图)；反之为负。；反之为负。 目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件扭转时的内力杆件扭转时的内力 与求轴力的方法类似，用截面法计算扭矩时，与求轴力的方法类似，用截面法计算扭矩时，通常通常先假设扭矩为正先假设扭矩为正，然后根据计算结果的正负确定扭矩的实，然后根据计算结果的正负确定扭矩的实际方向。际方向。 若作用于轴上的外力偶矩多于两个，也与拉伸若作用于轴上的外力偶矩多于两个，也与拉伸(压缩压缩)问题中绘制轴力图相仿，以横坐标表示横截面的位置、纵问题中绘制轴力图相仿，以横坐标表示横截面的位置、纵坐标表示相应横截面上的扭矩，用图线来表示各横截面上坐标表示相应横截面上的扭矩，用图线来表示各横截面上扭矩沿轴线变化的情况。这样的图线称为扭矩沿轴线变化的情况。这样的图线称为扭矩图扭矩图。 目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件扭转时的内力杆件扭转时的内力 例例52 传动轴传动轴(如图如图)的转速的转速n=150r/min；A处为主动处为主动轮，输入功率轮，输入功率PA=70kW，B、C、D处为从动轮，其输出处为从动轮，其输出功率分别为功率分别为PB=30kW，PC=PD=20kW。试绘制该轴的扭矩。试绘制该轴的扭矩图。图。 目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件扭转时的内力杆件扭转时的内力解（解（1）计算外力偶矩。轴上的外力偶矩为）计算外力偶矩。轴上的外力偶矩为目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件扭转时的内力杆件扭转时的内力 应用截面法，假想地沿应用截面法，假想地沿11横截面把轴横截面把轴截开，取左段为研究对象截开，取左段为研究对象(如图如图)，为保持左，为保持左段平衡，段平衡，11横截面上的扭矩横截面上的扭矩T1为为 T1=MeB =1.91 kNm 式中，式中，T1为负值，说明为负值，说明T1的实际方的实际方向与假设的方向相反。向与假设的方向相反。 (2)计算扭矩计算扭矩 须将轴分须将轴分为为AB、AC和和CD三段，逐段三段，逐段计算扭矩。计算扭矩。 同理，取同理，取22横截面的左段为研究对象横截面的左段为研究对象(如图如图)，可求，可求得得 T2=MeAMeB=2.55 kNm D目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件扭转时的内力杆件扭转时的内力取取33横截面的右段为研究横截面的右段为研究对象对象(如图如图)，可求得，可求得 T3=MeD=1.27 kNm (3)绘制扭矩图。根据以上计算结果，绘出绘制扭矩图。根据以上计算结果，绘出扭矩图。扭矩图。xT1.91 kN m2.55 kN m1.27 kN mT图图目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件扭转时的内力杆件扭转时的内力 由图看出，最大扭矩发生在由图看出，最大扭矩发生在AC段各横截面上，其值段各横截面上，其值为为Tmax=2.55 kNm。 以后若在规定的坐标系中绘制扭矩图，则坐标轴可省以后若在规定的坐标系中绘制扭矩图，则坐标轴可省略不画。略不画。 xT1.91 kN m2.55 kN m1.27 kN mT图图目录53杆件弯曲时的内力531 平面弯曲的概念平面弯曲的概念第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力工程实际中存在大量受弯曲的杆件。例如，桥式起重工程实际中存在大量受弯曲的杆件。例如，桥式起重机的大梁机的大梁(图图a)、闸门的立柱、闸门的立柱(图图b)等。等。在通过杆轴平面内在通过杆轴平面内的外力偶作用下，或在垂直于杆轴的横向力作用下，杆的的外力偶作用下，或在垂直于杆轴的横向力作用下，杆的轴线将弯成曲线，这种变形称为弯曲变形。轴线将弯成曲线，这种变形称为弯曲变形。以弯曲为主要以弯曲为主要变形的杆件称为变形的杆件称为梁梁。目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 工程中大多数梁的横截面都有一根竖向对称轴工程中大多数梁的横截面都有一根竖向对称轴(如下如下图图)。 目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 梁的轴线与梁的横截面的竖向对称轴构成的平面，称梁的轴线与梁的横截面的竖向对称轴构成的平面，称为梁的为梁的纵向对称面纵向对称面（如图）。（如图）。如果梁的外力和外力偶都作如果梁的外力和外力偶都作用在梁的纵向对称面内，则梁的轴线将在此对称面内弯成用在梁的纵向对称面内，则梁的轴线将在此对称面内弯成一条曲线，这样的弯曲变形称为一条曲线，这样的弯曲变形称为平面弯曲平面弯曲。目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 梁的两个支座之间的部分称为梁的两个支座之间的部分称为跨跨。跨的长度称为。跨的长度称为跨长跨长或或跨度跨度。 根据支座情况，根据支座情况，单跨静定梁单跨静定梁可分为三种形式：可分为三种形式： (3)外伸梁外伸梁。一端或两端伸出支座之外的简支梁。一端或两端伸出支座之外的简支梁(图图c)。 (1)悬臂梁悬臂梁。一端固定，另一端自由的梁。一端固定，另一端自由的梁(图图a)； (2)简支梁简支梁。一端为固定铰支座，另一端为活动铰支座。一端为固定铰支座，另一端为活动铰支座的梁的梁(图图b)；目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力在平面弯曲问题中，梁上的荷载与支座反力组成一平在平面弯曲问题中，梁上的荷载与支座反力组成一平面力系，该力系有三个独立的平衡方程。悬臂梁、简支梁面力系，该力系有三个独立的平衡方程。悬臂梁、简支梁和外伸梁各自恰好有三个未知的支座反力，它们可由静力和外伸梁各自恰好有三个未知的支座反力，它们可由静力平衡方程求出。平衡方程求出。 目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力532 剪力和弯矩剪力和弯矩 确定了梁上所有荷载与支座反力后，就可进一步研究确定了梁上所有荷载与支座反力后，就可进一步研究其横截面上的内力。其横截面上的内力。 以悬臂梁以悬臂梁(图图a)为例，其上作用有载荷为例，其上作用有载荷F，由平衡方程，由平衡方程可求出固定端可求出固定端B处的支座反力为处的支座反力为FB=F，MB=Fl(图图b)。 目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 求横截面求横截面mm上的内力上的内力时，应用截面法假想地沿横时，应用截面法假想地沿横截面截面mm将梁截成两段，取将梁截成两段，取左段为研究对象左段为研究对象(如图如图)。 为保持左段平衡，作用于为保持左段平衡，作用于左段上的力除荷载左段上的力除荷载F外，在横外，在横截面截面mm上必定有内力上必定有内力FS和和M。列出平衡方程列出平衡方程 Fx=0 FFS=0 得得 FS =FMC=0 MFx=0 得得 M=FxFS和和M分别称为分别称为剪力剪力和和弯矩弯矩。 如取右段为研究对象如取右段为研究对象(如图如图)，同样可以求得，同样可以求得FS和和M，且数值与上述结果相等，只是方向相反。且数值与上述结果相等，只是方向相反。 目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 为了使两种算法得到的同一截面上的剪力和弯矩不仅为了使两种算法得到的同一截面上的剪力和弯矩不仅数值相等，而且符号相同，对剪力和弯矩的正负号作如下数值相等，而且符号相同，对剪力和弯矩的正负号作如下规定：规定：凡剪力使所取微段梁产生顺时针转动趋势的为正凡剪力使所取微段梁产生顺时针转动趋势的为正(图图a)，反之为负，反之为负(图图b)；凡弯矩使所取微段梁产生上凹下；凡弯矩使所取微段梁产生上凹下凸弯曲变形的为正凸弯曲变形的为正(图图c)，反之为负，反之为负(图图d)。 与求轴力和扭矩相类似，与求轴力和扭矩相类似，横截面上的剪力和弯矩通常横截面上的剪力和弯矩通常按正向假设按正向假设，根据计算结果的正负确定它们的实际方向。，根据计算结果的正负确定它们的实际方向。 目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 例例53 求图示简支梁横截面求图示简支梁横截面11、22、33上的上的剪力和弯矩。横截面剪力和弯矩。横截面33位于位于F2作用截面的右侧，并与其作用截面的右侧，并与其无限接近。无限接近。 解解 （1）求支座反力。）求支座反力。由梁的平衡方程求得支座由梁的平衡方程求得支座A、B处的反力为处的反力为 FA =FB =10kN 目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力（2）求横截面）求横截面11上的剪力和弯矩。上的剪力和弯矩。 假想地沿横截面假想地沿横截面11把梁截成两段，取左段梁为研究把梁截成两段，取左段梁为研究对象，并设截面上的剪力对象，并设截面上的剪力FS1和弯矩和弯矩M1均为正均为正(如如图图)。 列出平衡方程列出平衡方程得得 M1=FA 1 m =10 kN 1 m =10 kN m Fy0 FA FS1= 0 得得 FS1=FA=10 kN MO0 M1 FA 1 m =0 目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力计算结果计算结果FS1与与M1为正，表明两者的实际方向与假设为正，表明两者的实际方向与假设相同，即相同，即FS1为正剪力，为正剪力，M1为正弯矩。为正弯矩。 目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力（3）求横截面）求横截面22上的剪力和弯矩。上的剪力和弯矩。 假想地沿横截面假想地沿横截面22把梁截成两段，取截面左段梁为把梁截成两段，取截面左段梁为研究对象。研究对象。由平衡方程由平衡方程 Fy0 FA F1 FS2= 0得得 FS2= FA F1=10 kN 10 kN = 0 MO0 M2 FA 4 m +F1 2 m =0目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力得得 M2= FA 4 m F1 2 m =10 kN 4 m 10 kN 2 m=20 kN m由计算结果知，由计算结果知，M2为正弯矩。为正弯矩。目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力（ 4）求横截面）求横截面33上的剪力和弯矩。上的剪力和弯矩。 假想地沿横截面假想地沿横截面22把梁截成两段，取右段梁为研究把梁截成两段，取右段梁为研究对象。对象。 Fy0 FB FS3 = 0得得 FS3 = FB= 10 kN MO0 FB 1 m M3 =0得得 M3= FB 1 m =10 kN 1m=10 kN m由平衡方程由平衡方程 目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力计算结果计算结果FS3为负，表明为负，表明FS3的实际方向与假设相反，的实际方向与假设相反，即即FS3为负剪力。为负剪力。M3为正弯矩。为正弯矩。由上面例题的计算过程，可以总结出内力计算的如下由上面例题的计算过程，可以总结出内力计算的如下规律：规律： （1）梁任一横截面上的剪力，其数值等于该截面左边梁任一横截面上的剪力，其数值等于该截面左边（或右边）梁上所有横向外力的代数和。当横向外力与该（或右边）梁上所有横向外力的代数和。当横向外力与该截面上正号剪力的方向相反时为正，相同时为负。截面上正号剪力的方向相反时为正，相同时为负。 应该注意，当梁上的外力与梁斜交时，应先将其分解应该注意，当梁上的外力与梁斜交时，应先将其分解成横向分力和轴向分力。成横向分力和轴向分力。 （2）梁任一横截面上的弯矩，其数值等于该截面左边梁任一横截面上的弯矩，其数值等于该截面左边（或右边）梁上所有外力对该截面形心之矩的代数和。当（或右边）梁上所有外力对该截面形心之矩的代数和。当力矩与该截面上正号弯矩的转向相反时为正，相同时为负。力矩与该截面上正号弯矩的转向相反时为正，相同时为负。目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 利用上述规律，可以直接根据横截面左边或右边梁上利用上述规律，可以直接根据横截面左边或右边梁上的外力来求该截面上的剪力和弯矩，而不必列出平衡方程。的外力来求该截面上的剪力和弯矩，而不必列出平衡方程。 例例54 求图示受均布荷载作用的悬臂梁横截面求图示受均布荷载作用的悬臂梁横截面C上的上的剪力和弯矩。剪力和弯矩。qBClx目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 解解 横截面横截面C上的剪力和弯矩上的剪力和弯矩直接根据该截面右边梁上的外力直接根据该截面右边梁上的外力求得求得 FSM目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力533 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 1用内力方程法绘制剪力图和弯矩图用内力方程法绘制剪力图和弯矩图FS=FS(x) M=M(x) 以上两式分别称为梁的以上两式分别称为梁的剪力方程剪力方程和和弯矩方程弯矩方程。 由例由例54可见，梁横截面上的剪力与弯矩随截面位置可见，梁横截面上的剪力与弯矩随截面位置x而变化，它们都可表示为而变化，它们都可表示为x的函数，即的函数，即 与绘制轴力图和扭矩图一样，也可用图线表示梁的各与绘制轴力图和扭矩图一样，也可用图线表示梁的各横截面上剪力横截面上剪力FS和弯矩和弯矩M沿梁轴线变化的情况。以平行于沿梁轴线变化的情况。以平行于梁轴的横坐标梁轴的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标表示相应横表示横截面的位置，以纵坐标表示相应横截面上的剪力截面上的剪力FS或弯矩或弯矩M的数值，绘出剪力方程和弯矩方的数值，绘出剪力方程和弯矩方程的图线，这样的图线分别称为程的图线，这样的图线分别称为剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图。目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力需要指出的是，需要指出的是，在建筑工程中，绘图时将正弯矩画在在建筑工程中，绘图时将正弯矩画在x轴下方，即画在杆件弯曲时凸出的一侧（受拉一侧），轴下方，即画在杆件弯曲时凸出的一侧（受拉一侧），而且不用标注正负号。而且不用标注正负号。剪力图仍将正的剪力画在剪力图仍将正的剪力画在x轴上方轴上方。 例例55 图示简支梁受均布载荷图示简支梁受均布载荷q作用，试列出此梁作用，试列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。 解解 （1）求支座反力。取梁整体为研究对象，由平衡）求支座反力。取梁整体为研究对象，由平衡方程，得方程，得 FAFBqBAl目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力列剪力方程和弯矩方程。取列剪力方程和弯矩方程。取A点点为坐标原点，建立为坐标原点，建立x坐标轴，由坐标坐标轴，由坐标为为x的横截面以左梁上的外力列出剪的横截面以左梁上的外力列出剪力方程和弯矩方程如下：力方程和弯矩方程如下： （0xl ) （0xl） 因在支座因在支座A、B处有集中力作用，剪力在此两截面处处有集中力作用，剪力在此两截面处有突变，而且为不定值，故剪力方程的适用范围用开区间有突变，而且为不定值，故剪力方程的适用范围用开区间的符号表示；弯矩值在该两截面处没有突变，弯矩方程的的符号表示；弯矩值在该两截面处没有突变，弯矩方程的适用范围用闭区间的符号表示。适用范围用闭区间的符号表示。 qBAlFAFBx目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力（ 3）绘剪力图和弯矩图。）绘剪力图和弯矩图。 根据以上方程式，剪力图根据以上方程式，剪力图为一条直线，只要确定直线上为一条直线，只要确定直线上两个点（一般为两个端点）即两个点（一般为两个端点）即可绘出，如图可绘出，如图b所示。所示。xql/2l/2FS图图(b) 当当x=0和和x=l时，时，M均为零；下面分析一个特殊的点：均为零；下面分析一个特殊的点： 由高等数学知识可求得弯矩的极值及其所在横截面的由高等数学知识可求得弯矩的极值及其所在横截面的位置。将弯矩方程对位置。将弯矩方程对x求一阶导数，并令其等于零，有求一阶导数，并令其等于零，有 弯矩图为一条抛物线，弯矩图为一条抛物线，通常需要确定三个点才能将通常需要确定三个点才能将其大致绘出（一般为两个端其大致绘出（一般为两个端点和某一个特殊的点）。点和某一个特殊的点）。qql/2FS(a)BAlFAFBx目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力得得 将上式代入弯矩方程式，将上式代入弯矩方程式，即得最大弯矩为即得最大弯矩为 绘出梁的弯矩图如图绘出梁的弯矩图如图c所示。所示。xql/2ql/2FSl/2FS图图(b)xM(c)M图图(ql 2)/8qBAlx(a)目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力由图可见，梁跨中截面由图可见，梁跨中截面上的弯矩是极值且为全梁弯上的弯矩是极值且为全梁弯矩的最大值，矩的最大值，在该截面上，剪力在该截面上，剪力FS=0。而。而在梁的两支座截面处剪力值在梁的两支座截面处剪力值为最大，为最大， qBAlxxql/2ql/2FSl/2FS图图(a)(b)xM(c)M图图(ql 2)/8目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 例例56 图示简支梁在图示简支梁在C处受集中荷载处受集中荷载F作用，试列出作用，试列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。此梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。 解解 由梁的平衡方程，求得支座反力为由梁的平衡方程，求得支座反力为FA =，FB =目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力（0xa) （0xa） 集中力集中力F作用于作用于C点，梁在点，梁在AC和和BC两段内的剪力或弯矩两段内的剪力或弯矩不能用同一方程来表示，应分不能用同一方程来表示，应分段考虑。在段考虑。在AC段内取距左端为段内取距左端为x的任意横截面，求得此横截面上的剪力和弯矩分别为的任意横截面，求得此横截面上的剪力和弯矩分别为 同样求得同样求得CB段内的剪力方程和弯矩方程分别段内的剪力方程和弯矩方程分别为（axl )（axl）目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 根据剪力方程绘出剪根据剪力方程绘出剪力图（图力图（图b）。）。 由剪力图看出，当由剪力图看出，当ab时，时， 根据弯矩方程绘出弯根据弯矩方程绘出弯矩图（图矩图（图c）。）。 由弯矩图看出由弯矩图看出 目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 由图可见，在集中力由图可见，在集中力作用处作用处(C截面截面)，其左、，其左、右两侧横截面上弯矩相同，右两侧横截面上弯矩相同，而剪力则发生突变，突变而剪力则发生突变，突变值等于该集中力的大小。值等于该集中力的大小。目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 例例57 图示简支梁在图示简支梁在C处受一集中力偶处受一集中力偶Me作用，试作用，试列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 解解 由梁的平衡方程，求得由梁的平衡方程，求得支座反力为支座反力为 此梁在此梁在C处有集中力偶作用，分段列剪力方程和弯矩处有集中力偶作用，分段列剪力方程和弯矩方程如下：方程如下：（0xa )（0xa）AC段段CB段段（axl )（axl) 目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 根据以上方程式，可分别根据以上方程式，可分别绘出剪力图绘出剪力图(图图b)和弯矩图和弯矩图(图图c)。 在集中力偶作用处（在集中力偶作用处（C截面）截面），其左、右两侧横截面上的剪，其左、右两侧横截面上的剪力相同，而弯矩则发生突变，力相同，而弯矩则发生突变，突变值等于该集中力偶矩的大突变值等于该集中力偶矩的大小。小。 由由图可可见，当，当ba时，在，在集中力偶作用集中力偶作用处的右的右侧横截面上的弯矩横截面上的弯矩值最最大，大，目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力2.用微分关系法绘制剪力图和弯矩图用微分关系法绘制剪力图和弯矩图（1）弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系 在例在例55中，若将弯矩方程中，若将弯矩方程对x求一次求一次导数，得数，得，这恰是剪力方程，恰是剪力方程，即有即有 若再将剪力方程若再将剪力方程对x求一次求一次导数，得数，得 可以证明，如规定分布载荷集度可以证明，如规定分布载荷集度q(x)向上为正，则有向上为正，则有由上两式还可得到由上两式还可得到目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 以上三式就是弯矩、剪力与分布载荷集度之间的以上三式就是弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分微分关系关系，它们在直梁中是普遍存在的规律。，它们在直梁中是普遍存在的规律。 （2）剪力图和弯矩图的图形规律）剪力图和弯矩图的图形规律 根据上述关系，并由前述各例，可以得到剪力图与根据上述关系，并由前述各例，可以得到剪力图与弯矩图图形的一些规律，概括如下：弯矩图图形的一些规律，概括如下： 2）梁上某段受均布载荷作用梁上某段受均布载荷作用(q为常数为常数)时，此段梁时，此段梁的剪力的剪力FS为为x的一次函数，剪力图为斜直线；弯矩的一次函数，剪力图为斜直线；弯矩M则为则为x的二次函数，弯矩图为抛物线。在剪力的二次函数，弯矩图为抛物线。在剪力FS=0处，弯矩图处，弯矩图的斜率为零，此处的弯矩为极值。的斜率为零，此处的弯矩为极值。 1）梁上某段无载荷作用梁上某段无载荷作用(q=0)时，此段梁的剪力时，此段梁的剪力FS为为常数，剪力图为水平线；弯矩常数，剪力图为水平线；弯矩M则为则为x的一次函数，弯矩的一次函数，弯矩图为斜直线。图为斜直线。目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 4）在集中力偶作用处，弯矩图有突变，在集中力偶作用处，弯矩图有突变，当集中力偶当集中力偶顺时针转向时，弯矩图向下突变；当集中力偶逆时针转向顺时针转向时，弯矩图向下突变；当集中力偶逆时针转向时，弯矩图向上突变；时，弯矩图向上突变；突变值即为该处集中力偶矩的大小，突变值即为该处集中力偶矩的大小，但剪力图在此处却没有变化，故集中力偶作用处两侧弯矩但剪力图在此处却没有变化，故集中力偶作用处两侧弯矩图的斜率相同。图的斜率相同。 3）在集中力作用处，剪力图有突变，在集中力作用处，剪力图有突变，当集中力向当集中力向下时，剪力图向下突变；当集中力向上时，剪力图向上下时，剪力图向下突变；当集中力向上时，剪力图向上突变；突变；突变值即为该处集中力的大小；此时弯矩图的斜突变值即为该处集中力的大小；此时弯矩图的斜率也发生突然变化，因而弯矩图在此处有一尖角。率也发生突然变化，因而弯矩图在此处有一尖角。 为方便方便记忆，将以上剪力，将以上剪力图和弯矩和弯矩图的的图形形规律律归纳成表成表5.1目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力表表5.1 5.1 梁内力图的图形规律梁内力图的图形规律目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 （3）微分关系法微分关系法 利用上述图形规律，可不必列出剪力方程和弯矩方利用上述图形规律，可不必列出剪力方程和弯矩方程，而能更简捷地绘制梁的剪力图及弯矩图。程，而能更简捷地绘制梁的剪力图及弯矩图。这种绘制这种绘制剪力图和弯矩图的方法称为微分关系法剪力图和弯矩图的方法称为微分关系法，其步骤如下：其步骤如下： 1)分段定形分段定形。根据梁上荷载和支承情况将梁分为若。根据梁上荷载和支承情况将梁分为若干段，由各段内的荷载情况判断剪力图和弯矩图的形状；干段，由各段内的荷载情况判断剪力图和弯矩图的形状； 2)定点绘图定点绘图。求出某些特殊横截面上的剪力值和弯。求出某些特殊横截面上的剪力值和弯矩值，逐段绘制梁的剪力图和弯矩图。矩值，逐段绘制梁的剪力图和弯矩图。 目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 例例58 试绘制图示外伸梁的剪力图和弯矩图。试绘制图示外伸梁的剪力图和弯矩图。Bq = 8 kN/mF = 6 kNACDMe=4 kN m 1 m 1 m 1 m 解解 (1)求支座反力求支座反力FAFB 由梁的平衡方程，求得支座反力为由梁的平衡方程，求得支座反力为 FA=9 kN，FB=5 kN 目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 (2)绘制剪力图绘制剪力图 分段定形分段定形 根据梁所受载荷和根据梁所受载荷和支承情况，全梁可分为支承情况，全梁可分为CA、AD、DB三段。三段。 CA和和AD段：段：q=0，FS图为水平图为水平直线。直线。 DB段：段：q0且为常数，且为常数，FS图为图为斜直线，斜率为负，向右下方倾斜。斜直线，斜率为负，向右下方倾斜。 截面截面A、B、C处受集中力作用，处受集中力作用，剪力图有突变。剪力图有突变。 Bq = 8 kN/mF = 6 kNACDMe=4 kN m 1 m 1 mFAFB6 kN3 kN5 kNFS图图 1 m 求特殊横截面上的剪力值并绘图求特殊横截面上的剪力值并绘图 CA、AD段的剪力图为水段的剪力图为水平线，只须分别在此两段内确定任一横截面上的剪力值。为绘出平线，只须分别在此两段内确定任一横截面上的剪力值。为绘出DB段的剪力图，需确定段的剪力图，需确定D横截面和支座横截面和支座B左侧横截面上的剪力值。左侧横截面上的剪力值。 上述横截面上的剪力值分别为上述横截面上的剪力值分别为目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力Bq = 8 kN/mF = 6 kNACDMe=4 kN m 1 m 1 mFAFB6 kN3 kN5 kNFS图图 1 m 由图可见，由图可见，CA段的剪力绝对段的剪力绝对值最大，值最大， = 6 kN。 (3)绘制弯矩图绘制弯矩图 分段定形。全梁仍可分为三段。分段定形。全梁仍可分为三段。 CA段：段：q=0、FS0,M图为斜直图为斜直线，斜率为负，向右上方倾斜。线，斜率为负，向右上方倾斜。 AD段：段：q=0、FS0，M图为斜直图为斜直线，斜率为正，向右下方倾斜。线，斜率为正，向右下方倾斜。 DB段：段：q0、FS由正渐变至负，由正渐变至负，M图为向下凸的抛物线，斜率由正图为向下凸的抛物线，斜率由正逐渐减小至负；在逐渐减小至负；在FS=0处，处，M为极值。截面为极值。截面A、B、C处受集中力处受集中力作用，作用，M图有折角。截面图有折角。截面D处受集中力偶处受集中力偶Me作用，作用，M图有突变，突图有突变，突变值为变值为Me的大小的大小4kNm。目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 求特殊横截面上的弯矩值求特殊横截面上的弯矩值并绘图。为绘出各段梁的弯矩图，并绘图。为绘出各段梁的弯矩图，由内力计算规律，求出以下横截面由内力计算规律，求出以下横截面上的弯矩值，它们分别为上的弯矩值，它们分别为 MA = F1m=6 kNm=F2m+FA1m=3kNm=F2m+FA1m+Me=1kNmMB = MC =0 6 kN mM图图 设距支座设距支座B为为x的的E横截面上的剪横截面上的剪力为零，则有力为零，则有 qxFB=0 即即E横截面上的弯矩值为横截面上的弯矩值为ME=1.56 kNm 1.56 kN m3 kN m1 kN m0.625mBq = 8 kN/mF = 6 kNACDMe=4 kN m 1 m 1 mFAFB6 kN3 kN5 kNFS图图 1 m目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 梁的弯矩图如图所示。梁的弯矩图如图所示。由图可见，支座由图可见，支座A处横截面上处横截面上的弯矩绝对值最大。的弯矩绝对值最大。Bq = 8 kN/mF = 6 kNACDMe=4 kN m 1 m 1 mFAFB6 kN3 kN5 kNFS图图 1 m0.625m6 kN mM图图1.56 kN m3 kN m1 kN m目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 3.用区段叠加法绘制弯矩图用区段叠加法绘制弯矩图 （1）叠加原理）叠加原理 在小变形的情况下由几个外力所引起的某一参数在小变形的情况下由几个外力所引起的某一参数(支支座反力、内力、应力或位移座反力、内力、应力或位移)等于每个外力单独作用时所等于每个外力单独作用时所引起的该参数的总和引起的该参数的总和。这个结论称为。这个结论称为叠加原理叠加原理。 应该注意，应该注意，叠加原理只有在参数与外力成线性关系时叠加原理只有在参数与外力成线性关系时才能成立才能成立。目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 （2）区段叠加法）区段叠加法 在梁内取某一受均在梁内取某一受均布荷载作用的杆段布荷载作用的杆段AB(图图a)，与其静力等效的，与其静力等效的简支梁如图简支梁如图b所示，二所示，二者的弯矩图应相同。者的弯矩图应相同。FSBBqACFSAMBMABqACMBMA(b)(a)ACBMAMBMmC(c )MmC图图ACBMqC(d )MqC图图 对于简支梁，当梁端力偶对于简支梁，当梁端力偶MA和和MB单单独作用时，梁的弯矩图为一直线（图独作用时，梁的弯矩图为一直线（图c）; 当均布荷载当均布荷载q单独作用时，梁弯矩图为一抛物线单独作用时，梁弯矩图为一抛物线(图图d)。目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 利用叠加原理，利用叠加原理，图图b所示简支梁的弯矩所示简支梁的弯矩图等于图图等于图c、d所示两所示两个弯矩图的叠加（图个弯矩图的叠加（图e）。这就是区段叠加）。这就是区段叠加法。法。 ACBMAMBMC =MmC +MqC(e )M图图FSBBqACFSAMBMABqACMBMA(b)(a)ACBMAMBMmC(c )MmC图图ACBMqC(d )MqC图图目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 应用区段叠加法绘制梁的弯矩图的步骤如下：应用区段叠加法绘制梁的弯矩图的步骤如下： 分段定点分段定点。选取梁上外力不连续点（如集中力或选取梁上外力不连续点（如集中力或集中力偶的作用点、分布荷载作用的起点和终点等）作为集中力偶的作用点、分布荷载作用的起点和终点等）作为控制截面，并求出这些截面上的弯矩值，从而确定弯矩图控制截面，并求出这些截面上的弯矩值，从而确定弯矩图的控制点。的控制点。 叠加绘图叠加绘图。 如控制截面间无荷载作用时，用直线如控制截面间无荷载作用时，用直线连接两控制点即得该段的弯矩图。如控制截面间有均布荷连接两控制点即得该段的弯矩图。如控制截面间有均布荷载作用时，先用虚直线连接两控制点，然后以它为基线，载作用时，先用虚直线连接两控制点，然后以它为基线，叠加上该段在均布荷载单独作用下的相应简支梁的弯矩图，叠加上该段在均布荷载单独作用下的相应简支梁的弯矩图，即得该段的弯矩图。即得该段的弯矩图。 在实际应用中，往往是将微分关系法和区段叠加法在实际应用中，往往是将微分关系法和区段叠加法结合起来绘制梁的剪力图和弯矩图。结合起来绘制梁的剪力图和弯矩图。 目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力例例59 试绘制图示简支梁的弯矩图和剪力图。试绘制图示简支梁的弯矩图和剪力图。 解解 （1）求支座反力。）求支座反力。 由梁的平衡方程由梁的平衡方程MA=0，MB=0可求得支座反力为可求得支座反力为 FA=19 kN , FB=17 kNF20kNq=8kN/mABECD1m1m2mFA19kNFB17kN目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力 （2）绘制弯矩图。）绘制弯矩图。 把梁分成把梁分成AD和和 DB两段。两段。 选取选取A、D、B作为控制截面，作为控制截面，由内力计算规律求出这些截面上由内力计算规律求出这些截面上的弯矩值为的弯矩值为MA=0 , MB=0MD= FA 2 m20 kN1 m =18 kNmF20kNq=8kN/mABECD1m1m2mFA19kNFB17kN(a) 利用微分关系法和区段叠加利用微分关系法和区段叠加法绘出梁的弯矩图如图法绘出梁的弯矩图如图b所示。所示。ABECD1819(b)M图图(kN m)13而用虚直线连接两控制点，再叠加上相应简支梁在跨中截面单独受而用虚直线连接两控制点，再叠加上相应简支梁在跨中截面单独受集中力集中力F作用下的弯矩图。作用下的弯矩图。 在绘制在绘制AD段的弯矩图时，段的弯矩图时，可以不计算可以不计算C截面上的弯矩，截面上的弯矩，目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力杆件弯曲时的内力杆件弯曲时的内力（3）绘制剪力图。）绘制剪力图。 把梁分成把梁分成AC、CD和和 DB三段，利用微分关系法绘出梁三段，利用微分关系法绘出梁的剪力图如图的剪力图如图c所示。剪力图所示。剪力图上上A、C 和和B处有突变，突变处有突变，突变的值分别等于该处所受集中力的值分别等于该处所受集中力的大小。的大小。 ABECD19171(c)FS图图(kN)F20kNq=8kN/mABECD1m1m2mFA19kNFB17kN(a)ABECD1819(b)M图图(kN m)13目录54斜梁的内力图第五章第五章 杆件的内力杆件的内力斜梁的内力图斜梁的内力图 在建筑工程中，经常会遇到杆轴线倾斜的梁，称为在建筑工程中，经常会遇到杆轴线倾斜的梁，称为斜梁斜梁。常见的斜梁有楼梯、锯齿形楼盖和火车站雨蓬等。常见的斜梁有楼梯、锯齿形楼盖和火车站雨蓬等。计算斜梁的内力仍采用截面法，内力图的绘制和水平梁计算斜梁的内力仍采用截面法，内力图的绘制和水平梁类似。但要注意斜梁的轴线与水平方向有一个角度，由类似。但要注意斜梁的轴线与水平方向有一个角度，由此带来一些不同之处。下面举例加以说明。此带来一些不同之处。下面举例加以说明。目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力斜梁的内力图斜梁的内力图 例例510 绘制图示楼梯斜梁的内力图。已知绘制图示楼梯斜梁的内力图。已知q1、q2、l、h。目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力斜梁的内力图斜梁的内力图 解解 楼梯斜梁楼梯斜梁的荷载一般分两的荷载一般分两部分：一是沿水部分：一是沿水平方向均布的楼平方向均布的楼梯上的人群荷载梯上的人群荷载q1，二是沿楼梯，二是沿楼梯梁轴线方向均布梁轴线方向均布的楼梯的自重荷的楼梯的自重荷载载q2，如图，如图a所示。所示。 为了计算上的方便，通常将沿楼梯轴线方向均布的自为了计算上的方便，通常将沿楼梯轴线方向均布的自重荷载重荷载q2换算成沿水平方向均布的荷载换算成沿水平方向均布的荷载q0，如图，如图b所示。所示。然后再进行内力的计算和内力图的绘制。然后再进行内力的计算和内力图的绘制。目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力斜梁的内力图斜梁的内力图(1)换算荷载。换算荷载。 换算时可以根据换算时可以根据在同一微段上合力在同一微段上合力相等的原则进行。相等的原则进行。 即即 因此因此沿水平方向总的均布荷载为沿水平方向总的均布荷载为目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力斜梁的内力图斜梁的内力图（2）求支座反力）求支座反力 取斜梁为研究取斜梁为研究对象，由平衡方程对象，由平衡方程求得支座反力为求得支座反力为FAx=0目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力斜梁的内力图斜梁的内力图（3）计算任一横截面）计算任一横截面K上的内力上的内力取如图取如图c所示的所示的AK段为分离体段为分离体目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力斜梁的内力图斜梁的内力图由平衡方程可以求得内力表达式为由平衡方程可以求得内力表达式为 (4)绘制内力图。绘制内力图。 由由M(x)、FS(x)和和FN(x)的表达式，绘出内力图分别如图的表达式，绘出内力图分别如图df所示。所示。 目录第五章第五章 杆件的内力杆件的内力斜梁的内力图斜梁的内力图