第七章第七章 函数矩阵与矩阵微分方程函数矩阵与矩阵微分方程 函数矩阵函数矩阵定义：定义： 以实变量以实变量 的函数为元素的矩阵的函数为元素的矩阵 称为函数矩阵，其中所有的元素称为函数矩阵，其中所有的元素都是定义在闭区间都是定义在闭区间 上的实函数。上的实函数。函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，乘法，转置等几种运算，并且运算法则完全乘法，转置等几种运算，并且运算法则完全相同。相同。例：例：已知已知计算计算定义：定义：设设 为一个为一个 阶函数矩阵，如果阶函数矩阵，如果存在存在 阶函数矩阵阶函数矩阵 使得对于任何使得对于任何 都有都有那么我们称那么我们称 在区间在区间 上是上是可逆的可逆的。称称 是是 的逆矩阵，一般记为的逆矩阵，一般记为例例 ：已知已知，那么，那么 在区间在区间 上是可逆的，其上是可逆的，其逆为逆为函数矩阵可逆的充分必要条件函数矩阵可逆的充分必要条件定理定理 : 阶矩阵阶矩阵 在区间在区间 上可逆上可逆的充分必要条件是的充分必要条件是 在在 上处处不上处处不为零，并且为零，并且，其中，其中 为矩阵为矩阵 的伴随矩阵。的伴随矩阵。定义：定义：区间区间 上的上的 型矩阵函数不型矩阵函数不恒等于零的子式的最高阶数称为恒等于零的子式的最高阶数称为 的的秩秩。特别地，设特别地，设 为区间为区间 上的上的 阶矩阵阶矩阵函数，如果函数，如果 的秩为的秩为 ，则称，则称 一个一个满秩矩阵满秩矩阵。注意：对于阶矩阵函数而言，满秩与可逆不注意：对于阶矩阵函数而言，满秩与可逆不是等价的。即：可逆的一定是满秩的，但是是等价的。即：可逆的一定是满秩的，但是满秩的却不一定是可逆的。满秩的却不一定是可逆的。例例 ：已知已知那么那么 。于是。于是 在任何区间在任何区间 上的秩都是上的秩都是2。即。即 是满秩的。但是满秩的。但是是 在在 上是否可逆，完全依赖于上是否可逆，完全依赖于 的取值。当区间的取值。当区间 包含有原点时，包含有原点时， 在在 上有零点，从而上有零点，从而 是不是不可逆的可逆的 。函数矩阵对纯量的导数和积分函数矩阵对纯量的导数和积分 定义：定义：如果如果 的所有各元的所有各元素素 在在 处有极限，即处有极限，即 其中其中 为固定常数。则称为固定常数。则称 在在 处处有有极限极限，且记为，且记为其中其中如果如果 的各元素的各元素 在在 处连续，处连续，即即则称则称 在在 处处连续连续，且记为，且记为其中其中容易验证下面的等式是成立的：容易验证下面的等式是成立的：设设则则定义：定义：如果如果 的所有各元素的所有各元素 在点在点 处处(或在区间或在区间 上上)可导，便称此函数矩阵可导，便称此函数矩阵 在点在点 处处(或在区间或在区间 上上)可导可导，并且记为并且记为函数矩阵的导数运算有下列性质：函数矩阵的导数运算有下列性质：(1) 是常数矩阵的充分必要条件是是常数矩阵的充分必要条件是(2) 设设均可导，则均可导，则 (3)设设 是是 的纯量函数，的纯量函数， 是函数矩是函数矩阵，阵， 与与 均可导，则均可导，则特别地，当特别地，当 是常数是常数 时有时有(4) 设设 均可导，且均可导，且 与与 是是可乘的，则可乘的，则因为矩阵没有交换律，所以因为矩阵没有交换律，所以(5) 如果如果 与与 均可导，则均可导，则(6) 设设 为矩阵函数，为矩阵函数， 是是 的纯量的纯量函数函数， 与与 均可导，则均可导，则定义：定义： 如果函数矩阵如果函数矩阵 的的所有各元素所有各元素 在在 上可积，则称上可积，则称 在在 上上可积可积，且且函数矩阵的定积分具有如下性质：函数矩阵的定积分具有如下性质：例例 1 ：已知函数矩阵已知函数矩阵试计算试计算证明：证明：由于由于 ，所以，所以下面求下面求 。由伴随矩阵公式可得。由伴随矩阵公式可得 再求再求例例 2 ：已知函数矩阵已知函数矩阵试求试求例例 3 ：已知函数矩阵已知函数矩阵试求试求证明：证明：同样可以求得同样可以求得例例 4 ：已知函数矩阵已知函数矩阵试计算试计算函数向量的线性相关性函数向量的线性相关性定义：定义：设有定义在区间设有定义在区间 上的上的 个连续的个连续的函数向量函数向量如果存在一组不全为零的常实数如果存在一组不全为零的常实数使得对于所有的使得对于所有的 等式等式成立，我们称，在成立，我们称，在 上上 线性相关线性相关。否则就说否则就说 线性无关。线性无关。即如果只有在即如果只有在 等式才成等式才成立，那么就说立，那么就说 线性无关线性无关。定义：定义：设设 是是 个定义个定义在区间在区间 上的连续函数向量上的连续函数向量记记以以 为元素的常数矩阵为元素的常数矩阵称为称为 的的Gram矩阵矩阵， 称为称为Gram行列式行列式。定理：定理：定义在区间定义在区间 上的连续函数向量上的连续函数向量 线性无关的充要条件线性无关的充要条件是它的是它的Gram矩阵为满秩矩阵。矩阵为满秩矩阵。 例例 ： 设设则则于是于是 的的Gram矩阵为矩阵为所以所以故当故当 时，时， 在在 上是线性无关的。上是线性无关的。定义：定义： 设设 是是 个定义在区间个定义在区间 上的上的 有有 阶导数的函数向量，记阶导数的函数向量，记那么称矩阵那么称矩阵是是 的的Wronski矩阵。矩阵。其中其中 分别是分别是 的一阶，二阶，的一阶，二阶， 阶导数矩阵。阶导数矩阵。定理：定理： 设设 是是 的的Wronski矩阵。如果在区间矩阵。如果在区间 上的某个点上的某个点 ，常数矩阵，常数矩阵 的秩等于的秩等于 ，则，则向量向量 在在 上线性上线性无关。无关。例例 ： 设设则则因为因为 的秩为的秩为2，所以，所以 与与 线性线性无关。无关。 函数矩阵在微分方程中的应用函数矩阵在微分方程中的应用形如形如的线性微分方程组在引进函数矩阵与函数的线性微分方程组在引进函数矩阵与函数向量以后可以表示成如下形式向量以后可以表示成如下形式其中其中上述方程组的初始条件为上述方程组的初始条件为可以表示成可以表示成定理：定理：设设 是一个是一个 阶常数矩阵，则微分阶常数矩阵，则微分方程组方程组满足初始条件满足初始条件 的解为的解为定理：定理：设设 是一个是一个 阶常数矩阵，则微分方阶常数矩阵，则微分方程组程组满足初始条件满足初始条件 的解为的解为例例 1 ：设设求微分方程组求微分方程组 满足初始条满足初始条件件 的解。的解。解：解：首先计算出矩阵函数首先计算出矩阵函数由前面的定理可知微分方程组由前面的定理可知微分方程组满足初始条件满足初始条件 的解为的解为例例 2 ：设设求微分方程组求微分方程组 满足初始满足初始条件条件 的解。的解。解：解：由上述定理可知满足所给初始条件的微由上述定理可知满足所给初始条件的微分方程组解为分方程组解为由上面的例题可知由上面的例题可知而而所以有所以有故有故有第八章第八章 广义逆矩阵广义逆矩阵定理：定理：设设 是数域是数域 上一个上一个 矩阵，则矩矩阵，则矩阵方程阵方程总是有解。如果总是有解。如果 ，并且，并且其中其中 与与 分别是分别是 阶、阶、 阶可逆矩阵，则矩阶可逆矩阵，则矩阵方程阵方程(1)的一般解的一般解(通解通解)为为(1)(2)其中其中 分别是任意分别是任意 矩阵。矩阵。证明：把形如证明：把形如(3)的矩阵以及的矩阵以及(2)式代入矩阵方程式代入矩阵方程(1)，得到：，得到：(3)所以形如所以形如(3)的每一个矩阵都是矩阵方程的每一个矩阵都是矩阵方程(1)的解。的解。 为了说明为了说明(3)是矩阵方程是矩阵方程(1)的通解，现在任的通解，现在任取取(1)的一个解的一个解 ，则由，则由(1)和和(2)得得因为因为 可逆，所以从上式得可逆，所以从上式得(4)把矩阵把矩阵 分块，设分块，设代入代入(4)式得式得即即(5)由此得出，由此得出， ，代入，代入(5)式便得出式便得出这证明了矩阵方程这证明了矩阵方程(1)得任意一个解都能表示成得任意一个解都能表示成(3)的形式，所以公式的形式，所以公式(3)是矩阵方程是矩阵方程(1)的通解。的通解。定义：定义：设设 是一个是一个 矩阵，矩阵方程矩阵，矩阵方程 的通解称为的通解称为 的的广义逆矩阵广义逆矩阵，简称，简称为为 的的广义逆广义逆。我们用记号。我们用记号 表示表示 的一的一个广义逆。个广义逆。定理定理(非齐次线性方程组的相容性定理非齐次线性方程组的相容性定理)：非齐：非齐次线性方程组次线性方程组 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是证明：必要性。设证明：必要性。设 有解有解 ，则，则 。因为。因为 ，所以，所以充分性。设充分性。设 ，则取，则取 得得所以所以 是是 的解。的解。定理定理(非齐次线性方程组解的结构定理非齐次线性方程组解的结构定理)：设非齐：设非齐次线性方程组次线性方程组 有解，则它的一般解有解，则它的一般解(通通解）为解）为其中其中 是是 的任意一个广义逆。的任意一个广义逆。证明：任取证明：任取 的一个广义逆的一个广义逆 ，我们来证，我们来证 是方程组是方程组 的解：的解：已知已知 有解，根据前一个定理得：有解，根据前一个定理得：这表明这表明 是是 的一个解。的一个解。反之，对于反之，对于 的任意一个解的任意一个解 ，我们要，我们要证存在证存在 的一个广义逆的一个广义逆 ，使得，使得 。设。设 是是 矩阵，它的秩为矩阵，它的秩为 ，且，且其中其中 与与 分别是分别是 阶、阶、 阶可逆矩阵。由于阶可逆矩阵。由于 的广义逆具有形式的广义逆具有形式(3)，因此我们要找矩阵，因此我们要找矩阵 ，使，使即即先分析先分析 与与 之间的关系。由已知之间的关系。由已知 ，因此我们有，因此我们有分别把分别把 分块，设分块，设(6)则则(6)式成为式成为所以所以 ，因为，因为 ，所以，所以 ，从而，从而 。设。设 ，且设，且设 。 取取则则于是于是从而只要取从而只要取则则定理定理(齐次线性方程组解的结构定理齐次线性方程组解的结构定理)：数域：数域 上上 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 的通解为的通解为其中其中 是是 的任意给定的一个广义逆，的任意给定的一个广义逆， 取遍取遍 中任意列向量。中任意列向量。证明：任取证明：任取 ，我们有，我们有所以所以 是方程组是方程组 的的解。解。反之，设反之，设 是方程组是方程组 的解，要证存在的解，要证存在 ，使得，使得 。取。取 我们有我们有所以所以 是方程组是方程组 的通解。的通解。利用上述定理，可以得到非齐次线性方程组的利用上述定理，可以得到非齐次线性方程组的另一种形式的通解。另一种形式的通解。推论推论：设数域：设数域 是是 元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组 有解，则它的通解为有解，则它的通解为其中其中 是是 的任意给定的一个广义逆，的任意给定的一个广义逆， 取取遍遍 中任意列向量。中任意列向量。证明：我们已经知道证明：我们已经知道 是非齐次线性方程是非齐次线性方程组组 的一个解，又知道的一个解，又知道 是导出组是导出组 的通解，所以的通解，所以 是是 的通的通解。解。伪逆矩阵伪逆矩阵定义定义：设：设 ，若，若 ，且同时有，且同时有则称则称 是是 的的伪逆矩阵伪逆矩阵。上述条件称为。上述条件称为Moore Penrose 方程。方程。例例： 设设 ，那么，那么 设设 ，那么，那么设设 ，其中，其中 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则如果如果 是一个可逆矩阵，那么是一个可逆矩阵，那么下面我们讨论伪逆矩阵的求法下面我们讨论伪逆矩阵的求法定理定理：设：设 是是 的一个满的一个满秩分解，则秩分解，则是是 的伪逆矩阵。的伪逆矩阵。例例 1 ：设：设求求 。解：利用满秩分解公式可得解：利用满秩分解公式可得从而从而 的伪逆矩阵是的伪逆矩阵是例例 2 ：设：设求求 。解：由满秩分解公式可得解：由满秩分解公式可得于是其伪逆矩阵为于是其伪逆矩阵为推论推论：若：若 ，则，则若若 ，则，则定理定理：伪逆矩阵：伪逆矩阵 唯一。唯一。证明：设证明：设 都是都是 的伪逆矩阵，则的伪逆矩阵，则根据此定理知根据此定理知，若，若 ，则，则 。定理定理：设：设 ，则，则证明：容易验证证明：容易验证(1)，(2)，现在只证，现在只证(3)。设设 是是 的满秩分解，则的满秩分解，则 的满的满秩分解可以写成秩分解可以写成其中其中 是列满秩，是列满秩， 为行满秩，故由式为行满秩，故由式 得得因此因此同理可证：同理可证：例：例：设设 ，则，则 是正定或半正定是正定或半正定Hermite矩阵，故存在矩阵，故存在 ，使得，使得证明证明解：因为解：因为不妨设不妨设则则其中其中故故于是于是令令由由 ，知，知因此由因此由得得例：例：已知已知求求 。解：解： 的特征值的特征值的特征向量为的特征向量为 的特征向量为的特征向量为故故代入代入 得：得： 练习练习 1 ：已知已知求其奇异值分解与求其奇异值分解与 。练习练习 2 ：设：设求求 。答案答案： （1）奇异值分解式为）奇异值分解式为（2）其伪逆矩阵为）其伪逆矩阵为不相容线性方程组不相容线性方程组 的解的解定义定义：设：设 ， ，如果，如果 维向量维向量 对于任何一个对于任何一个 维向量维向量 ，都有，都有则称则称 是方程组是方程组 的一个的一个最小二乘解最小二乘解。若若 是最小二乘解，如果对于任一个最小二乘是最小二乘解，如果对于任一个最小二乘解解 都有不等式都有不等式则称则称 是是最佳最小二乘解最佳最小二乘解。定理定理：设：设 ，则，则 是方程组是方程组 的最佳最小二乘解。的最佳最小二乘解。例例 1 ：求不相容方程组：求不相容方程组的最佳最小二乘解。的最佳最小二乘解。例例 2 ：求不相容方程组：求不相容方程组的最佳最小二乘解。的最佳最小二乘解。