材料力学第04章(弯曲内力)41 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例42 受弯杆件的简化受弯杆件的简化43 剪力和弯矩剪力和弯矩44 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图45 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系46 平面曲杆的内力图平面曲杆的内力图第四章第四章 弯曲内力弯曲内力材料力学第04章(弯曲内力)一、弯曲的概念一、弯曲的概念受力特点受力特点：杆件受垂直于轴线的外力（包括外力偶）的作用。杆件受垂直于轴线的外力（包括外力偶）的作用。梁：以梁：以弯曲变形为主要变形的构件通常称为梁。弯曲变形为主要变形的构件通常称为梁。41 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例变形特点变形特点：轴线变成了曲线。：轴线变成了曲线。F材料力学第04章(弯曲内力)工程实例工程实例材料力学第04章(弯曲内力)工程实例工程实例材料力学第04章(弯曲内力)材料力学第04章(弯曲内力)材料力学第04章(弯曲内力)材料力学第04章(弯曲内力)材料力学第04章(弯曲内力)纵向对称面纵向对称面轴线轴线C二、平面二、平面弯曲的概念弯曲的概念梁的横截面有一对称轴，外载荷作用在纵向对称面内，梁的横截面有一对称轴，外载荷作用在纵向对称面内，杆发生弯曲变形后，轴线仍然在纵向对称面内，是一条平面杆发生弯曲变形后，轴线仍然在纵向对称面内，是一条平面曲线曲线。F1F2材料力学第04章(弯曲内力)非对称弯曲非对称弯曲若梁不具有纵向对称面，或者，梁虽具有纵向对称面但若梁不具有纵向对称面，或者，梁虽具有纵向对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。C材料力学第04章(弯曲内力) 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1. 构件本身的简化构件本身的简化42 受弯杆件的简化受弯杆件的简化取梁的轴线来代替梁取梁的轴线来代替梁FalABFalAB材料力学第04章(弯曲内力)(1)固定铰支座固定铰支座 2个约束，个约束，1个自由度。个自由度。(2)可动铰支座可动铰支座 1个约束，个约束，2个自由度。个自由度。2. 支座简化支座简化(3)固定端固定端FxFyM3个约束，个约束，0个自由度。个自由度。固定铰固定铰可动铰可动铰固定铰固定铰可动铰可动铰固定端固定端材料力学第04章(弯曲内力)3. 梁的三种基本形式梁的三种基本形式(1)简支梁简支梁(2)外伸梁外伸梁(3)悬臂梁悬臂梁FABqFFABF材料力学第04章(弯曲内力)4. 载荷的简化载荷的简化MqFAB作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。集中力、集中力偶和分布载荷。5. 静定梁与超静定梁静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。的静定梁。超静定梁：由静力学方程不能求出支反力或不能求出全超静定梁：由静力学方程不能求出支反力或不能求出全 部支反力。部支反力。材料力学第04章(弯曲内力)FABqFABFFABqABF材料力学第04章(弯曲内力)已知：已知：F，a，l。解解：(1)求支座反力求支座反力43 剪力和弯矩剪力和弯矩求：距求：距A 端端x处截面上内力。处截面上内力。FABFAyFAxFBFalABbx材料力学第04章(弯曲内力)FBFAFAyC（2）求内力）求内力截面法截面法剪力剪力FS弯矩弯矩MFSMMFS取左段：取左段：ABFFBxmmFAy材料力学第04章(弯曲内力)剪力和弯距剪力和弯距的正负号规定的正负号规定FsFs剪力剪力弯距弯距顺时针顺时针为正为正下凸下凸为正为正材料力学第04章(弯曲内力)内力的正负规定内力的正负规定( (以截面左右来定）以截面左右来定）（1）剪力剪力FS: : 左上右下为正左上右下为正;反之为负。反之为负。+左上右下为正左上右下为正FSFS+FSFSFSFS材料力学第04章(弯曲内力)（2）弯矩弯矩M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。MM(+)左顺右逆为正左顺右逆为正可以装水为正可以装水为正MMMM(+)材料力学第04章(弯曲内力)MM()（2）弯矩弯矩M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。MM(+)左顺右逆为正左顺右逆为正可以装水为正可以装水为正MMMM(+)MM()MM材料力学第04章(弯曲内力)切面法切面法切切取取代代平（静力平衡方程平（静力平衡方程)Y=0 Fs+ Y方向的外力方向的外力=0 Fs=Y方向的外力方向的外力代数和代数和Fs简易法求剪力简易法求剪力Fs10kN6m4kN4kN9kN10kN4kN9kN4kNFs外力外力对切面产生对切面产生顺顺时针转动时针转动取正取正所有所有外力在剪力方向投外力在剪力方向投影的影的代数和代数和即为此即为此处处剪力剪力顺顺Fs=9-4=5kNFs=10+4-9=5kN材料力学第04章(弯曲内力)切面法切面法切切取取代代平（静力平衡方程平（静力平衡方程)M=0 M+ 外力矩外力矩=0M=外力矩外力矩代数和代数和简易法求弯矩简易法求弯矩M9kN10kN4kN9kN4kN向向上上的外力产生正的外力产生正弯矩弯矩向向下下的外力产生负的外力产生负弯矩弯矩上上MM10kN4kN4kN1221左左:M=92-41=14kN.m右右:M=94-43-101=14kN.m材料力学第04章(弯曲内力)切面法求离左边切面法求离左边4m处的内力处的内力左左: MO=0 M=-14+6=2kN.m外力偶外力偶左顺为正左顺为正简易法求弯矩简易法求弯矩M（碰到集中外力偶）（碰到集中外力偶）左顺左顺右逆右逆MM左左:M=-12=-2kN.m右右:M=14-6=-2kN.m6kN.m3m3m简易法求得简易法求得4m处的处的Fs=1kN6kN.m1kN右右: M=12=2kN.m1kN求离左边求离左边2m处的内力处的内力? ? ?材料力学第04章(弯曲内力)简易法写内力方程简易法写内力方程xXARCYA受力分析受力分析-YA9+2066=0 MC=0YA=80kN Y=0RC=40kN X=0XA=0kN材料力学第04章(弯曲内力)YA =80KNxMVFs(x) =80-20xM(x) = 80x-10x2简易法写内力方程简易法写内力方程材料力学第04章(弯曲内力)RCMV若取右侧为对象若取右侧为对象Fs(x) = -40+20(6-x)=80-20xM(x) = 40(9-x)-10(6-x)2= 80x-10x2简易法写内力方程简易法写内力方程材料力学第04章(弯曲内力)4080简易法写内力方程简易法写内力方程x如在如在BC段段取左取左:Fs(x) =80-206=-40取取左左:M(x) = 80x-206 (x-3)取取右右:Fs(x) =-40取取右右:M(x) =40(9-x)材料力学第04章(弯曲内力)求梁的指定截面内力求梁的指定截面内力注注简易法简易法 意义大意义大要求要求熟熟 准准 快快Fs顺；顺； M 上、左顺上、左顺材料力学第04章(弯曲内力)练习(写出下图的Fs、M方程）材料力学第04章(弯曲内力)练习材料力学第04章(弯曲内力)练习材料力学第04章(弯曲内力)4-4 梁的内力图梁的内力图4kN4kN222Fs=4kN M=4xkN.m Fs=0kN Fs=-4kN M=4(6-x)kN.m M=8kN.m 0-2m 4-6m 2-4m Fs(kN)M(kN.m) 844M图下侧画正图下侧画正M M图在受拉区图在受拉区 材料力学第04章(弯曲内力)4-4 梁的内力图梁的内力图Fs=12-4x kN M=12x-2x2 kN.m Fs(kN)M(kN.m)181212M图下侧画正图下侧画正M M图在受拉区图在受拉区 4kN/m6m 材料力学第04章(弯曲内力)4-4 梁的内力图梁的内力图Fs=20-10x kN M=-5(2-x)2 kN.m Fs(kN)M(kN.m)2020M图下侧画正图下侧画正M M图在受拉区图在受拉区 10kN/m2mx 材料力学第04章(弯曲内力)一、一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系取一微段取一微段dx， 进行平衡分析。进行平衡分析。q(x)q(x)M(x)+d M(x)FS(x)+dFS (x)FS(x)M(x)dxA剪力的导数等于该点处荷载剪力的导数等于该点处荷载集度的大小。集度的大小。 45 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系dxx材料力学第04章(弯曲内力)弯矩图的导数等于该点处剪力的大小。弯矩图的导数等于该点处剪力的大小。弯矩与荷载集度的关系。弯矩与荷载集度的关系。忽略高阶微量忽略高阶微量q(x)M(x)+d M(x)FS(x)+dFS (x)FS(x)M(x)dxA材料力学第04章(弯曲内力)1、若、若q=0，则，则FS=常数，常数，M是斜直线；是斜直线；2、若、若q=常数，则常数，则FS是斜直线是斜直线，M为二次抛物线；为二次抛物线；3、M的极值发生在的极值发生在FS=0的截面上。的截面上。材料力学第04章(弯曲内力)二、剪力、弯矩与外力间的关系二、剪力、弯矩与外力间的关系外外力力无外力段无外力段均布载荷段均布载荷段集中力集中力集中力偶集中力偶q=0q0q0FSFS0x斜直线斜直线增函数增函数xFSxFS降函数降函数xFSCFS1FS2FS1FS2=F向下突变向下突变xFSC无变化无变化斜直线斜直线曲线曲线有折角有折角向下突变向下突变CFxM增函数增函数xM降函数降函数xMxM MxM1M2 Mx材料力学第04章(弯曲内力)4、将微分关系转为积分关系、将微分关系转为积分关系材料力学第04章(弯曲内力)Fs、M图图简易画简易画法法1、q=0 区区Fs图图M图图V+V-2、q=c 区区Fs图图qqM图图qq 3、Fs=0M图抛物线顶点或是水平线图抛物线顶点或是水平线材料力学第04章(弯曲内力)Fs、M图图简易画简易画法法4、集中力处、集中力处 Fs图跳变图跳变P M图不跳变图不跳变5、利用、利用q、v图的面积求特定点的图的面积求特定点的F、MP集中力偶处集中力偶处mFs图不变图不变 M图跳变图跳变mF2=F1+Sq Sq q向下为负向下为负M2=M1+SFs SFs 同同Fs正负号正负号材料力学第04章(弯曲内力)简易作图法简易作图法: : 利用内力和外力的关系及利用内力和外力的关系及特殊点特殊点的内力值来作的内力值来作 图的方法。图的方法。 例例 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解解: : 特殊点特殊点: :端点、分区点（外力变化点）和驻点等。端点、分区点（外力变化点）和驻点等。aaqaqACB材料力学第04章(弯曲内力)FSxqa2qaxM根据根据及及FS图和图和M图的特征作图。图的特征作图。aaqaqACB材料力学第04章(弯曲内力)简易简易法法画画F Fs、M图图qlql/2ql/2 Fs(kN)M(kN.m)ql2/8pp/2FsMPl/4材料力学第04章(弯曲内力)简易简易法法画画Fs、M图图Pba/lMPb/lFsFCA=Pb/lFCB=Pa/lPabBCAPa/lCPPb/lPa/l材料力学第04章(弯曲内力)简易简易法法画画Fs、M图图mm/lFsMml m/lmmm/l材料力学第04章(弯曲内力)简易简易法法画画Fs、M图图ma/lMmabBCAm/lFs mb/lma/lCmmb/lMCA=ma/lMCB=mb/l材料力学第04章(弯曲内力)简易简易法法画画Fs、M图举例图举例A20 kNDCB2m4 kN/m求出求出RB=20 kNRD=8 kNFA=0 kNFs(kN)FBA=-8 kN8128MA=0 KN.mMB=SFs=-8 KN.mMD=0 KN.mM(KN.m)816 材料力学第04章(弯曲内力)简易简易法法画画Fs、M图举例图举例求出求出RA=6 kNRC=18 kNFs(kN)18MA=MC=0MBA=SFs=12 kN.mMBC=24 kN.mM(KN.m)612 A12 kNmCB6 kN/mB点点 ; Fs=0处？处？12B122424MO=24+SV=272727材料力学第04章(弯曲内力)叠加法简介+材料力学第04章(弯曲内力)叠加法简介+mAmAmBmBql2/8材料力学第04章(弯曲内力)区段叠加法6CBADB66481.5624/6=8322/8=1.5CBAD246kN23kN/m材料力学第04章(弯曲内力)一、平面刚架一、平面刚架1. 平面刚架平面刚架46 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图F1F2alABC特点：刚架各杆的内力有：特点：刚架各杆的内力有： FN 、FS、M。同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接刚性连接而组成的结构。而组成的结构。材料力学第04章(弯曲内力)2. 内力图规定内力图规定剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。画在刚架的外侧），但须注明正、负号。弯矩图：画在受拉侧，不注明正、负号。弯矩图：画在受拉侧，不注明正、负号。材料力学第04章(弯曲内力)试作图示刚架的内力图。试作图示刚架的内力图。F1F2alABC例例FSFNMxxCF1材料力学第04章(弯曲内力)F1aFN 图图FS 图图F1+F1F2alABCM 图图xFSFNMxCF1材料力学第04章(弯曲内力)F1F2alABCxF1F2aBCxFSFNMF1F2aBCxFSFNM材料力学第04章(弯曲内力)FN 图图F2+FS 图图F1+F1F1aF1a+ F2 lM 图图F1F2alABCx材料力学第04章(弯曲内力)BF1F2alABCx材料力学第04章(弯曲内力)二、曲杆二、曲杆已知：如图所示，已知：如图所示，F及及R 。试绘制。试绘制FS、M、 FN 图。图。OFRAB例例16轴线为曲线的杆件。轴线为曲线的杆件。内力情况及绘制方法与平面刚架相同。内力情况及绘制方法与平面刚架相同。材料力学第04章(弯曲内力)ORq qxAFB解：建立极坐标，解：建立极坐标，q q表示截面表示截面mm的位置。的位置。OFRqmmxABMFNFS材料力学第04章(弯曲内力)OFRq qmmxABABOM图图OO+FS图图FN图图2FRFF+材料力学第04章(弯曲内力)应用计算机分析软件绘内力图应用计算机分析软件绘内力图3m3m2m40kNAD50kN/mCB50kN/m材料力学第04章(弯曲内力)材料力学第04章(弯曲内力)材料力学第04章(弯曲内力)材料力学第04章(弯曲内力)3m4m2m1kNAD1kN/mCB8kN1m材料力学第04章(弯曲内力)材料力学第04章(弯曲内力)材料力学第04章(弯曲内力)材料力学第04章(弯曲内力)公路桥梁结构设计系统（公路桥梁结构设计系统（GQJS）材料力学第04章(弯曲内力)材料力学第04章(弯曲内力)