数学准备知识数学准备知识 数学和物理学是紧密相关的，在一个领域的发现导致了在另一个领域内的进步。如经典力学与微积分、矢量，统计物理与概率论，量子力学与算符理论等。较早地掌握一些高等数学知识，对于物理学的一些根本概念和规律的深入理解是大有益处的。一、微积分初步思想方法！ 恩格斯指出：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅说明状态，并且也说明过程：运动。 三国时期魏人刘徽公元263年总结前人成果，提出了“割圆术，他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，那么与圆周合体而无所失矣。正六，十二，二 十四直到正192边形“无限细分，无限求和思想方法。 保存到现在的河北赵州石拱桥是隋代李春公元581-618 局部可以“以直代曲的根本思想。物理学中的几个实例变速直线运动的速度瞬时速度 当物体作等速直线运动时，它在任何时刻的速度为 S为t时间物体所经过的路程，但物体所作的运动往往是变速的，而上述公式只能反映物体在一段时间内经过某段路程的平均速度，不能反映物体在某一时刻的速度。现在我们就来讨论如何精确地刻划物体作变速直线运动在任一时刻的速度以及它的计算方法。年所设计的，这座跨度达37m的大石拱桥是用一条条长方形长石砌成的。一段段直的条石却砌成了一整条弧形曲线的拱圈。先讨论自由落体运动设物体从O点开始下落，经过时间t0落到M0点，当时间由t0t0+t时，物体由M0点落到M点。两端除以t，得物体在t时间内的平均速度：M0MS0OS显然，这个平均速度 是随 的变化而变化的。在很小的一段时间 内，物体运动的快慢变化不大，可以近似地看作是等速的。因此当 很小时，可用 来近似地描述物体在 时刻的运动快慢，可以想象， 越小，这种描述的精确性就越好，假设 时， 的极限存在，那么这个极限值就叫做物体在 时刻的速度，用 表示当然，可以用同样的方法来讨论一般变速直线运动的速度，设物体作变速直线运动，其运动方程为2瞬时加速度3 一般来说，瞬时速度或瞬时速率v也是t的函数：v=v(t)在许多实际问题中，只有速度或速率的概念还不够，我们还需要知道速度随时间变化的快慢，即需要建立“加速度的概念，举例来说，对于匀变速直线运动对于一般的变速运动， 也是与 有关的，这时为了反映出某一时刻速度变化的快慢，必须引入瞬时加速度的概念3热容比热4 下面是在压力一定的条件下，对单位质量的物质来讨论的定压热容，设物质原来的温度是T0，当温度发生变化时，就要吸收或放出热量，5 应当是T的函数6 当温度从 时，吸收热量为 那么 就是该物质在 这一温度范围内，温度每升高一度平均所吸收的热量，即物质在此温度范围内的平均热容 ，当 时， 就转化为该物质在温度 的热容一般来说，同样的物质在温度不同时其热容也是不同的，亦即 是T的函数。上面几例都是当自变量的增量趋近于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限。在自然科学和工程技术问题中，还有许多其它的量具有这种数学形式。如果抽去这些问题的实际意义，抓住它们在数量关系上的共性，就得出函数导数的定义。假设函数 在区间a,b内的每点都可导，就说函数 在区间a,b内可导，这时，函数 对于每一个 ，都有一个确定的导数值与之对应，这就构成了x的一个新函数，这个新的函数叫做 对x的导函数。记为：显然，函数 在点 的导数 就是导函数 在点x=x0的函数值，即有了导数的定义后，前面几式可写成：导数的运算Page409例1： 的导数，例2： 的导数导数的几何意义：先看割线MN的斜率 ， 当 时N沿曲线趋向点M。OMNT1 曲边梯形的面积 曲边梯形是指在直角坐标里由连续曲线 与三条直线 所围成的图形。而割线MN就绕着点M转动，极限位置MT，直线MT是M点的切线，因此， 在点x的导数 的几何意义就是： 曲线 在点 处的切线的斜率即， 是切线的倾斜角。从几个实际问题出发，引出定积分的概念，然后讨论它的几何意义。O思想：整体分割一组垂直于x轴直线 小矩形面积近似表达小曲边梯形的面积求和得整体近似值。当分割无限细密时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值。1任取分点：把曲边梯形的底a,b分成n个小区间小区间 的长度记为第 个小曲边梯形的面积记为2在第 个小曲边梯形的底 上任取一点 它所对应的值是3把n个小矩形面积相加得和式即4分割越细， 就越接近于曲边梯形的面积A，当最大的小区间长度越近于零，即 时，和式 的极限就是A，即可见，曲边梯形的面积是一个和式的极限。2变速直线运动的路程3设一物体沿直线运动，速度 是时间区间a,b上t4的连续函数，且 ，求这物体在这段时间内所经过路5程。对于匀速直线运动：路程=速度时间，现在速度是变量。6因此，所示路程S不能直接求，因在很短的一段时间里速度的7变化很小，近似于等速，仿照前例来计算路程S。1任取分点：234当 时，和式 的极限就是路程S的精确值，即可见，变速直线运动的路程也是一个和式的极限。变力的功 当力与物体移动方向一致时，物体由位置 移到 的过程中，恒力F作功为 假设力F是随位置变化的，即F是S的函数：F=FS那么Sa=S0S1S2Sn=SbF 在上述例子中，虽然所计算的量具有不同的实际意义，前者是几何量，后者是物理量，假设抽去它们的实际意义，可以看出计算这些量的思想方法和步骤是相同的。 为了求整体量F，先把这个整体分割成n个局部量 ，在每一个小的局部上，以“直代“曲，或以“不变代“变，求得每个局部量的近似值 ，然后把这些值累加起来，就得到整体量的近似值，当把整体越分越细时，整体量的近似值也越来越接近于它的精确值。定义：设函数 在区间a,b上有定义，任取分点将区间a,b分成n个小区间 ，其长度为在每个小区间上 任取一点如果不管对区间a,b采取何种分法及 如何选取，当最大小区间的长度趋于零，和式极限存在，那么此极限值叫做函数 在区间a,b上的定积分。记作即a,b积分区间积分号；被积函数；被积表达式；积分变量； 积分的下限与上限。根据定义，以上几式可写作为：和式极限直接求往往非常麻烦，可用牛顿莱布尼兹公式去求。通过不定积分计算定积分！定积分的几何意义：在不同的实际问题中，积分 可以有完全不同的实际意义，但在几何图形上，它都表示由曲线 x轴及直线x=a,x=b所围成的曲边梯形的面积。OxyA3A1A2a cdbxyab 总之，定积分的几何意义就是它的数值在几何上都可用曲边梯形面积的代数和来表示。二、矢量二、矢量1 矢量及其解析表示 物理学中有各种物理量，像质量、密度、能量、温度、功等，在选定单位后仅需用一个数字来表示其大小，这类物理量叫做标量；而像位移、速度、加速度、动量、力等，除数量的大小外还具有一定的方向，这类物理量叫做矢量。严格地说，作为一个矢量，还必须遵从一定的合成法那么与随坐标变换的法那么。 通常手写时用字母上加箭头如 来表示一个矢量，印刷中那么常用黑体字如A。在作图时，用一个加箭头的线段来代表矢量，线段的长度正比于矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。 用直角坐标系来描述空间和表示其中的矢量，是最根本的方法。n维的直角坐标系有n个相互垂直的坐标轴。我们先从二维空间说起。 如下图，在平面上取二维直角坐标系xOy，在平面某点P上有矢量A，其大小为A，与x轴的夹角为 ，那么它在x、y轴上的投影分别为 分别称为矢量A的x分量和y分量。应注意，一个矢量的分量是代数量，即其值是可正可负的。分别沿坐标轴Ox和Oy取单位矢量即长度为1的矢量 和 ，那么有这里 、 称为坐标系的基矢。当坐标系及其基矢选定后，数列 可以把矢量A的全部特征确定下来，所以我们也可以说矢量是个按一定顺序AAPxyO排列的数列，如数列2，1代表 的矢量，数列0，5代表 的矢量，等等。矢量大小的平方等于它的分量的平方和：如下图为三维空间里的直角坐标系，这里有三个相互垂直的坐标轴Ox、Oy和Oz，在空间某点P上的矢量A大小为A，方向与Ox、Oy、Oz轴的夹角分别为 、 、 ，那么它在Ox、Oy、 Oz轴上的投影，即x、y、z三个分量，分别为这里 称为这矢量的方向余弦。因为方向余弦满足以下恒等式：xyz三个数中只有两个是独立的，它们把矢量的方向唯一地确定下来。 通常用 、 、 来代表三维直角坐标系的基矢。在三维的情况下，正交基矢有左手和右手两种系统。设想基矢 沿小于180的角度转向基矢 。如图a所示将右手的四指弯曲，代表上述旋转方向，那么伸直的姆指向基矢 。如此规定的正交基矢系统称为右手系统。假设用左手代替上述操作过程所规定的正交基矢系统如图b，那么是左手系统。我们按照国际惯例，一律采用右手系统。a.右手系b.左手系有了正交基矢，矢量可以写成解析形式：三维的矢量要用长度为3的数列 来表示，如1，3，0、2，0，1等。与二维的情况类似，我们有2 矢量的加减法 从上面我们看到，一个n维的矢量要看成是一个长度为n的有序数列 。从这种意义上说，标量是个一维的矢量。把标量的加减运算推广到矢量，我们有从矢量的叠加图不难看出，上述运算解析运算与通常矢量合成的平行四边形法那么几何运算是一致的。OA+BBAPAxBxAx+BxAyByAy +By3 矢量的标积 设A和B是两个任意矢量，它们的标积常用 表示，故又称点乘的解析定义为如下标量：由此定义不难看出，点乘是服从交换律和分配律的： 交换律 分配律 下面看点乘的几何意义。把A、B两矢量的起点O叠在一起，二者决定一个平面，取此平面为直角坐标系的xy面，从而 。令A、B与Ox轴的夹角分别为 、那么 标积 即式中 为两矢量之间的夹角。上式可看作是标积的几何定义。从这个定义可立即看出： 1 2 3假设 ，那么 ； 4假设 ，那么 。 在物理学中标积的典型例子是功。4、矢量的矢积设A和B是两个任意矢量，它们的矢积常用AB 表示，故又称叉乘的解析定义为如下矢量：xyBA由此定义不难看出，点乘是服从反交换律和分配律的：反交换律 分配律 下面看叉乘的几何意义。同前，把A、B两矢量的起点O叠在一起，二者决定一个平面，取此平面为直角坐标系的xy面，从而 。令A、B与Ox轴的夹角分别为 、 ， 那么 ，矢积式中 为两矢量之间的夹角。当 时， 沿 的正方向；当 时， 沿 的负方向。由于我们采用的是右手坐标系，C的指向可用如图a所示的右手定那么来判断：设想矢量A沿小于180的角度转向矢量B。将右手的四指弯曲，代表上述旋转方向，那么伸直的姆指指向它们的矢积C。a.右手系b 上式可看作是矢积的几何意义：矢量A、B的矢积 的数值 ，正好是由A、B为边组成的平行四边形的面积如图b；C的方向与A和B组成的平面垂直，其指向上由述右手定那么来规定。从这个定义可立即看出： 1 2 3假设 ，那么 4假设 ，那么 在物理学中矢积的典型例子有角动量、力矩等。5、矢量的三重积 物理学中经常遇到矢量的三重积。最常见的三重积有以下两个。 1三重标积 这三重积是个标量。不难验证，此三重积的解析表达式为：从几何上看，因 是以B和C边组成平行四边形的面积，矢积 的方向沿其法线，故而再与A点乘，相当于再乘上A在法线上的投影。亦即，这三重积的绝对值等于以A、B、C三矢量为棱组成的平行六面体的体积，其正负号与三矢量的循环次序有关。由于计算平行六面体的体积与取哪一面为底无关，点乘又是可交换的，所A、B、C三矢量的轮换，以及 和 的位置对调，都不影响此三重积的计算结果。唯一要注意的是三矢量的循环次序不能变，否那么差一个负号。概括起来写成公式，我们有从解析表达式来看上式的成立，就更显然了。 最后提请注意：在A、B、C三个矢量中有任意两个平行或反平时时，三重标积为0。 2三重矢积 这三重积是个矢量。矢积 与B、C组成的平面垂直直，而A与它的矢积又回到平面内。故矢量 与B、C共面。从而前者是后面二者的线性组合：用矢量的解析表达式可以直接验证，亦即存在以下恒等式：这是有关这三重积最重要的恒等式。6 矢量导数：矢量函数其中 、 、 是 的标量函数。仍为一矢量，其方向即为当 时 的极限方向。即为 矢端曲线的切线且指向与时间增加相对应的方向，大小或模那么等于即可按标量函数的求导运算求得！