2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系2.1 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系生生活活数数学学地铁线条与柱子线条地铁线条与柱子线条水流线条与桥面线条水流线条与桥面线条相交直线相交直线（有一个公共点）（有一个公共点）平行直线平行直线（无公共点）（无公共点）立交桥中立交桥中, 两条路线两条路线复习回顾复习回顾两路相交两路相交立交桥立交桥既不平行又不相交既不平行又不相交不同在不同在 任何任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。一个平面内的两条直线叫做异面直线。概念定义概念定义异面直线的定义异面直线的定义异面直线的画法：异面直线的画法：为了体现不共面的特点采用为了体现不共面的特点采用平面衬托法平面衬托法异面直线的判定定理异面直线的判定定理连结平面内一点和平面外一点的直线，和这个平连结平面内一点和平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线面内不经过此点的直线是异面直线知识延伸知识延伸证明：证明：点点点点直线直线直线直线异面异面想一想想一想, ,做一做：做一做：1.1.已知已知M M、N N分别是长方体的棱分别是长方体的棱C C1 1D D1 1与与CCCC1 1上的上的点，那么点，那么MNMN与与ABAB所在的直线所在的直线是异面直线是异面直线吗吗？2.下图是一个正方体的展开图，如果将它下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这这四条线段所在直线是异面直线的有几对？四条线段所在直线是异面直线的有几对？想一想想一想, ,做一做：做一做：HGFEDCBA三对三对AB与与CDAB与与GHEF与与GHa与与b是是相交相交直线直线a与与b是是平行平行直线直线a与与b是是异面异面直线直线abM答：答：不一定不一定：它们可能异面，可能相交，它们可能异面，可能相交， 也可能平行。也可能平行。 分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？abab合作探究合作探究空间两条直线的位置关系有且只有三种空间两条直线的位置关系有且只有三种平行平行相交相交异面异面位置关系位置关系公共点个数公共点个数是否共面是否共面没有没有只有一个只有一个没有没有共面共面不共面不共面共面共面空间中两条直线的位置关系空间中两条直线的位置关系2 2、在同一平面内，同平行于一条直线的两、在同一平面内，同平行于一条直线的两条直线有什么位置关系？条直线有什么位置关系？互相平行互相平行提出问题：空间中的两条直线呢？提出问题：空间中的两条直线呢？问题问题2：没有公共点的直线一定平行吗？没有公共点的直线一定平行吗？问题问题3：没有公共点的两直线一定在同没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？一平面内吗？2.2.空间两平行直线空间两平行直线提出问题：在同一平面内，如果两条直线提出问题：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？相平行。在空间中，是否有类似的规律？平行平行吗?中中,观察察：如如图2.1.2-5,长方体方体与与那么那么DD AABB AA公理公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行于同一条直线的两条直线互相平行。平行。公理公理4 4实质上是说实质上是说平行具有传递性平行具有传递性，在平面、空间，在平面、空间这个性质都适用。这个性质都适用。公理公理4 4作用：作用：判断空间两条直线平行的依据。判断空间两条直线平行的依据。abcbac符号表示：符号表示：设空间中的三条直线分别为设空间中的三条直线分别为a,b,c,若若想一想想一想:空间中空间中,如果两条直线都与第三条直如果两条直线都与第三条直线垂直线垂直,是否也有类似的规律是否也有类似的规律?例题示范例题示范例例1： 在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，E，F，G，H分分别是别是AB，BC，CD，DA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形。是平行四边形。分析：分析： 欲证欲证EFGH是一个平行四边形是一个平行四边形只只需需证证EHFG且且EHFGE，F，G，H分别是各边中点分别是各边中点连结连结BD,只只需需证证：EH BD且且EH BDFG BD且且FG BDAB DEFGHC例题示范例题示范例例1： 在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，E，F，G，H分分别是别是AB，BC，CD，DA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形。是平行四边形。AB DEFGHC EH是是ABD的中位线的中位线 EH BD且且EH = BD同理，同理，FG BD且且FG = BDEH FG且且EH =FGEFGH是一个平行四边形是一个平行四边形证明：证明：连结连结BD变式一：变式一： 在例在例2中，如果再加上条件中，如果再加上条件AC=BD，那，那么四边形么四边形EFGH是什么图形是什么图形?EHFGABCD分析：分析：在例题在例题2的基础上的基础上我们只需要证明平行四我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。边形的两条邻边相等。菱形菱形3.3.等角定理等角定理提出问题提出问题: :在平面上在平面上, ,我们容易证明我们容易证明“如果一个角如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补角相等或互补”。在空间中。在空间中, ,结论是否仍然成立呢结论是否仍然成立呢? ?观察思考：如图观察思考：如图,ADC,ADC与与ADCADC、ADCADC与与ABCABC的两边分别对应平行，这两组角的大小的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？关系如何？3.3.等角定理等角定理定理：定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。么这两个角相等或互补。3.3.等角定理等角定理定理：定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。么这两个角相等或互补。定理的推论定理的推论: :如果两条相交直线和另两条相如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行交直线分别平行, ,那么这两条直线所成的锐那么这两条直线所成的锐角角( (或直角或直角) )相等相等. .4.4.异面直线所成的角异面直线所成的角如图，已知两条异面直线如图，已知两条异面直线a a，b b，经过空间任一，经过空间任一点点O O作直线作直线aaaa，bbbb，我们把，我们把aa与与bb所成所成的锐角（或直角）叫做异面直线的锐角（或直角）叫做异面直线a a，b b所成的角所成的角（或夹角）。（或夹角）。为了简便，点为了简便，点O O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线取在直线b b上，然后经过点上，然后经过点O O作直线作直线aaaa，aa和和b b所成的所成的锐角（或直角）就是异面直线锐角（或直角）就是异面直线a a与与b b所成的角。所成的角。想一想想一想:a:a与与bb所成角的大小与点所成角的大小与点O O的位置有关吗的位置有关吗? ?4.4.异面直线所成的角异面直线所成的角如果两条异面直线所成的角为直角，如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作就说两条直线互相垂直，记作abab。异面直线所成的角异面直线所成的角 已知两条异面直线已知两条异面直线a、b，在空间任取一点，在空间任取一点O，作，作aa，bb ， a与与b所成的所成的锐角或直角锐角或直角，叫做异面直线，叫做异面直线a、b所成的角所成的角(或叫做或叫做夹角夹角) babOa思考：思考：异面直线所成角的范围是异面直线所成角的范围是空间直线与直线之间的位置关系空间直线与直线之间的位置关系2.1.25.5.异面直线的判定定异面直线的判定定理理异面直线定理：异面直线定理：连结平面内一连结平面内一点与平面外一点的直线，和这点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是个平面内不经过此点的直线是异面直线异面直线与与是异面直线是异面直线例题示范例题示范例例2 2、如图，已知正方体、如图，已知正方体ABCDABCDABCDABCD中。中。（1 1）哪些棱所在直线与直线）哪些棱所在直线与直线BABA是异面直线？是异面直线？（2 2）直线）直线BABA和和CCCC的夹角是多少？的夹角是多少？（3 3）哪些棱所在的直线与直线）哪些棱所在的直线与直线AAAA垂直？垂直？解：（解：（1 1）由异面直线的判）由异面直线的判定方法可知，与直线定方法可知，与直线成异面直线的有直线成异面直线的有直线，例题示范例题示范例例2 2、如图，已知正方体、如图，已知正方体ABCDABCDABCDABCD中。中。（1 1）哪些棱所在直线与直线）哪些棱所在直线与直线BABA是异面直线？是异面直线？（2 2）直线）直线BABA和和CCCC的夹角是多少？的夹角是多少？（3 3）哪些棱所在的直线与直线）哪些棱所在的直线与直线AAAA垂直？垂直？解：（解：（2 2）由）由 可知，可知， 等于异面直线等于异面直线与与 的夹角的夹角, ,所以异面直线所以异面直线 与与 的夹角为的夹角为45450 0 。 (3)直线直线与直线与直线都垂直都垂直.例例3:3:如图，如图， 是平面是平面外的一点外的一点分别是分别是的重心，的重心，求证：求证：。证明：连结证明：连结 分别交分别交 于于 , ,连结连结 , , G,HG,H分别是分别是ABC,ACDABC,ACD的重心的重心,M,N,M,N分别是分别是BC,CDBC,CD的中点的中点, , MN/BD,MN/BD,又又 GH/MN,GH/MN,由公理由公理4 4知知GH/BD. GH/BD. 练习反馈：练习反馈：1. 1. 判断判断: :（1 1）平行于同一直线的两条直线平行）平行于同一直线的两条直线平行. .（ ）（2 2）垂直于同一直线的两条直线平行）垂直于同一直线的两条直线平行. .（ ）（3 3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行直线平行. .（ ）（4 4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条有两条. .（ ）（5 5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（行，那么这两个角相等（ ）（6 6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. .（）课堂小结：课堂小结：这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论相交、异面），平行公理和等角定理及其推论异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念；异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念；证明两直线异面的一般方法是证明两直线异面的一般方法是“反证法反证法”或或“判判定定理定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作作证证算算答答”