4.3 单孔的夫琅和费衍射单孔的夫琅和费衍射计算夫琅和费衍射问题，可以直接使用我们上次课得到的衍计算夫琅和费衍射问题，可以直接使用我们上次课得到的衍射积分公式，也可以用菲涅耳半波带法和相辐矢量分析法。射积分公式，也可以用菲涅耳半波带法和相辐矢量分析法。4.3.1 单缝的夫琅和费衍射单缝的夫琅和费衍射SCLy yx2021/3/111衍射物只在衍射物只在方向上限制入射光波，在方向上限制入射光波，在方向不受限制。方向不受限制。因此单缝衍射是一维问题因此单缝衍射是一维问题。入射光是平面波，可设入射光的复振幅为入射光是平面波，可设入射光的复振幅为1。设衍射物（单缝）的透射系数为：设衍射物（单缝）的透射系数为：则透过衍射物之后的复振幅为：则透过衍射物之后的复振幅为：代入我们上次课得到的一维孔径夫琅和费衍射积分公式即可。代入我们上次课得到的一维孔径夫琅和费衍射积分公式即可。2021/3/112其中：其中：代入上式，可得单缝夫琅和费衍射屏上的复振幅分布：代入上式，可得单缝夫琅和费衍射屏上的复振幅分布：2021/3/113单缝夫琅和费衍射屏上的辐照度分布：单缝夫琅和费衍射屏上的辐照度分布：单缝夫琅和费衍射屏上的衍射图形见教材单缝夫琅和费衍射屏上的衍射图形见教材186页图（页图（a）图（）图（b）令：令：得：得：所以中央亮斑的条纹宽度：所以中央亮斑的条纹宽度：不难得出，其他条纹的宽度是中央条纹宽度的不难得出，其他条纹的宽度是中央条纹宽度的1/2。2021/3/114 f /a0- f /a02 f /a0-2 f /a0x 1L / L0 0辐照度分布：辐照度分布：斜入射情况：斜入射情况：S2021/3/115入射光是斜入射平面波，可设入射光的复振幅为：入射光是斜入射平面波，可设入射光的复振幅为：S则透过衍射物之后的复振幅为：则透过衍射物之后的复振幅为：其傅立叶变换为：其傅立叶变换为：2021/3/116斜入射时单缝夫琅和费衍射屏上的复振幅分布：斜入射时单缝夫琅和费衍射屏上的复振幅分布：辐照度分布：辐照度分布：所以斜入射时屏上的复振幅分布不变，只是有了一个平移：所以斜入射时屏上的复振幅分布不变，只是有了一个平移：2021/3/1174.3.2 矩孔的夫琅和费衍射矩孔的夫琅和费衍射SCLy yx这是一个二维衍射问题，需要计算一个二重积分。但是对于这是一个二维衍射问题，需要计算一个二重积分。但是对于可分离变量的透射系数，可简化为分别计算两个一维积分。可分离变量的透射系数，可简化为分别计算两个一维积分。2021/3/118入射光是平面波，可设入射光的复振幅为入射光是平面波，可设入射光的复振幅为1。设衍射物（矩孔）的透射系数为：设衍射物（矩孔）的透射系数为：则透过衍射物之后的复振幅为：则透过衍射物之后的复振幅为：函数函数的傅立叶变换为：的傅立叶变换为：2021/3/119上次课得到的夫琅和费衍射积分公式：上次课得到的夫琅和费衍射积分公式：利用刚才求得的傅立叶变换结果：利用刚才求得的傅立叶变换结果：屏上的辐照度分布：屏上的辐照度分布：2021/3/1110(1) 衍射光强分布衍射光强分布对于沿对于沿x轴轴的光强度分布，的光强度分布， 因因y=0， 有有当当x=0 时时(对对应应于于原原点点)，有有主主极极大大。在在为为整整数数处处，有有极极小小值值， L=0，与这些，与这些值相应的点是暗点，值相应的点是暗点， 暗点的位置为暗点的位置为 (m=1,2,)相邻两暗点之间的间隔为：相邻两暗点之间的间隔为： 2021/3/1111 在相邻两个暗点之间有一个强度次极大，在相邻两个暗点之间有一个强度次极大， 次极大的位置由次极大的位置由下式决定下式决定: 夫朗和费矩形孔衍射在夫朗和费矩形孔衍射在y轴上的强度分布特性与轴上的强度分布特性与x轴类似。轴类似。在在x, y轴以外轴以外各点的光强度，可按各点的光强度，可按式式进行计算，进行计算，图图 给出了一些特给出了一些特征点的光强度相对值。征点的光强度相对值。 显然，显然， 尽管在尽管在xOy面内存在一些次极大面内存在一些次极大点，点， 但它们的光强度极弱。但它们的光强度极弱。 2021/3/11122021/3/1113夫朗和费矩形孔衍射图样中一些特征点的相对强度夫朗和费矩形孔衍射图样中一些特征点的相对强度 2021/3/1114 (2) 中中央央亮亮斑斑 矩矩形形孔孔衍衍射射的的光光能能量量主主要要集集中中在在中中央央亮亮斑斑处处， 其边缘在其边缘在x, y轴上的位置是轴上的位置是 中央亮斑面积为中央亮斑面积为 该该式式说说明明，中中央央亮亮斑斑面面积积与与矩矩形形孔孔面面积积成成反反比比，在在相相同同波波长长和和装置下，衍射孔愈小，中央亮斑愈大装置下，衍射孔愈小，中央亮斑愈大. 2021/3/1115 (3) 衍衍射射图图形形状状 当当孔孔径径尺尺寸寸a0=b0, 即即为为方方形形孔孔径径时时，沿沿x, y方方向向有有相相同同的的衍衍射射图图样样。当当a0b0， 即即对对于于矩矩形形孔孔径径， 其其衍衍射射图图样样沿沿x, y方方向向的的形形状状虽虽然然相相似似，但但线线度度不不同同。例例如如，a 0b0时时， 衍射图样沿衍射图样沿x轴亮斑宽度比沿轴亮斑宽度比沿y轴的亮斑宽度大。轴的亮斑宽度大。4.3.3 圆孔的夫琅和费衍射圆孔的夫琅和费衍射由于光学仪器的光瞳通常是圆形的，所以讨论圆孔衍射现象对光由于光学仪器的光瞳通常是圆形的，所以讨论圆孔衍射现象对光学仪器的应用，具有重要的实际意义。学仪器的应用，具有重要的实际意义。夫朗和费圆孔衍射的讨论方法与矩形孔衍射的讨论方法相同，只是夫朗和费圆孔衍射的讨论方法与矩形孔衍射的讨论方法相同，只是由于圆孔结构的几何对称性，采用极坐标处理更加方便。由于圆孔结构的几何对称性，采用极坐标处理更加方便。2021/3/1116SCLy yx这是一个二维衍射问题，需要计算一个二重积分。考虑到圆这是一个二维衍射问题，需要计算一个二重积分。考虑到圆孔的对称性，在极坐标系中处理比较简便。孔的对称性，在极坐标系中处理比较简便。2021/3/1117设圆孔上任一点的位置坐标为设圆孔上任一点的位置坐标为、，与相应的直角坐标，与相应的直角坐标x, y的关系为：的关系为：=cos=sin 类似地，观察屏上任一点的位置坐标类似地，观察屏上任一点的位置坐标r、与相应的直角与相应的直角坐标的关系为坐标的关系为 2021/3/1118由此，屏上光场复振幅，由此，屏上光场复振幅， 在经过坐标变换后为在经过坐标变换后为 ：是衍射角。是衍射角。设衍射物（圆孔）的透射系数为：设衍射物（圆孔）的透射系数为：是是圆圆孔的半径。孔的半径。2021/3/1119入射光是平面波，可设入射光的复振幅为入射光是平面波，可设入射光的复振幅为1。则透过衍射物之后的复振幅为：则透过衍射物之后的复振幅为：代入后：代入后：根据零阶贝塞尔函数的积分表示式根据零阶贝塞尔函数的积分表示式 ：2021/3/1120可将上式变换为可将上式变换为 ：这里已利用了这里已利用了J0(x)为偶函数的性质。再由贝塞尔函数的性质为偶函数的性质。再由贝塞尔函数的性质: 式中，式中，J1(x)为一阶贝塞尔函数，可得为一阶贝塞尔函数，可得: 2021/3/1121屏上的辐照度分布：屏上的辐照度分布：可以证明，可以证明，x0时，时， 屏上中心点辐照度：屏上中心点辐照度：令：令： 则：则： 2021/3/1122基于此式，可以得到夫朗和费圆孔衍射的如下特点：基于此式，可以得到夫朗和费圆孔衍射的如下特点：(1) 衍射图样衍射图样 由上三式可见，夫朗和费圆孔衍射的光强度由上三式可见，夫朗和费圆孔衍射的光强度分布仅与衍射角分布仅与衍射角有关有关(或者，由或者，由=r/f，仅与，仅与r有关有关)， 而与方而与方位角位角坐标无关。这说明，夫朗和费圆孔衍射图样是圆形条坐标无关。这说明，夫朗和费圆孔衍射图样是圆形条纹。纹。 是衍射角。是衍射角。2021/3/11232021/3/1124圆孔夫琅和费衍射的强度分布圆孔夫琅和费衍射的强度分布 2021/3/1125 (2) 爱里斑爱里斑 由由上上表表可可见见，中中央央亮亮斑斑集集中中了了入入射射在在圆圆孔孔上上能能量量的的83.78%，这这个个亮亮斑斑叫叫爱爱里里斑斑。爱爱里里斑斑的的半半径径r0由由第第一一光光强强极极小小值处的值处的值决定，值决定， 即即 ：因此因此 或以角半径或以角半径0表示表示 2021/3/11264.3.4 光学成像系统的分辨本领光学成像系统的分辨本领 瑞利判据瑞利判据从几何光学的观点看，每个像点应该是一个几何点，因此，从几何光学的观点看，每个像点应该是一个几何点，因此， 对于一个无像差的理想光学成像系统，其分辨本领应当是无对于一个无像差的理想光学成像系统，其分辨本领应当是无限的，限的， 即两个点物无论靠得多近，像点总可分辨开。即两个点物无论靠得多近，像点总可分辨开。 但实际但实际上，上， 光波通过光学成像系统时，总会因光学孔径的有限性产光波通过光学成像系统时，总会因光学孔径的有限性产生衍射，生衍射， 这就限制了光学成像系统的分辨本领。通常，由于这就限制了光学成像系统的分辨本领。通常，由于光学成像系统具有光阑、光学成像系统具有光阑、 透镜外框等圆形孔径，所以讨论它透镜外框等圆形孔径，所以讨论它们的分辨本领时，都是以夫朗和费圆孔衍射为理论基础。们的分辨本领时，都是以夫朗和费圆孔衍射为理论基础。如图如图 422所示，设有所示，设有S1和和S2两个非相干点光源，间距为两个非相干点光源，间距为， 它们到直径为它们到直径为D的圆孔距离为的圆孔距离为R，则，则S1和和S2对圆孔的张对圆孔的张角角为为 2021/3/1127由由于于圆圆孔孔的的衍衍射射效效应应，S1和和S2将将分分别别在在观观察察屏屏上上形形成成各各自自的的衍衍射图样。假设其爱里斑关于圆孔的张角为射图样。假设其爱里斑关于圆孔的张角为0：2021/3/1128 根根据据瑞瑞利利判判据据，将将一一个个点点物物衍衍射射图图样样的的中中央央极极大大位位置置与与另另一一个个点点物物衍衍射射图图样样的的第第一一个个极极小小位位置置重重合合的的状状态态作作为为光光学学成成像像系系统统的的分分辨辨极极限限，认认为为此此时时光光学学系系统统恰恰好好可可分分辨辨开开这这两两个个点点物物。 这这时时，两两点点物物衍衍射射图图样样的的重重叠叠区区中中点点光光强强度度约约为为每每个个衍衍射射图图样样中中心心最最亮亮处处光光强强度度的的73.5%(对对于于缝缝隙隙形形光光阑阑，约约为为81%)。 于于是是，由由于于衍衍射射效效应应，一一个个光光学学成成像像系系统统对对点点物物成成像像的的爱爱里斑角半径里斑角半径0决定了该系统的分辨极限。决定了该系统的分辨极限。 2021/3/1129几种光学成像系统的分辨本领几种光学成像系统的分辨本领 (1) 人人眼眼睛睛的的分分辨辨本本领领 人人眼眼的的成成像像作作用用可可以以等等价价于于一一个个单单凸凸透透镜镜。通通常常人人眼眼睛睛的的瞳瞳孔孔直直径径约约为为 1.56 mm（视视入入射射光光强强的的大大小小而而定定)。当当人人眼眼瞳瞳孔孔直直径径为为 2 mm时时，对对于于最最敏敏感感的的光光波波波长波长=0.55 m，按，按(3 - 42)式可以算得人眼的最小分辨角式可以算得人眼的最小分辨角e为为通通常常由由实实验验测测得得的的人人眼眼最最小小分分辨辨角角约约为为1(=2.910-4rad)，与与上上面计算的结果基本相符。面计算的结果基本相符。 2021/3/1130 (2) 望远镜的分辨本领望远镜的分辨本领 望望远远镜镜的的作作用用相相当当于于增增大大人人眼眼睛睛的的瞳瞳孔孔。设设望望远远镜镜物物镜镜的的圆圆形形通通光光孔孔径径直直径径为为D，若若有有两两个个物物点点恰恰好好能能为为望望远远镜镜所所分分辨辨开，开， 则根据瑞利判据，则根据瑞利判据， 这两个物点对望远镜的张角这两个物点对望远镜的张角为为 这这也也就就是是望望远远镜镜的的最最小小分分辨辨角角公公式式。该该式式表表明明，望望远远镜镜物物镜镜的直径的直径D愈大，分辨本领愈高，并且，这时像的亮度也增加了。愈大，分辨本领愈高，并且，这时像的亮度也增加了。 2021/3/1131例例如如，天天文文望望远远镜镜物物镜镜的的直直径径做做得得很很大大(可可达达 6m)，原原因因之之一一就就是是为为了了提提高高分分辨辨本本领领。对对于于=0.55m的的单单色色光光来来说说，其其最最小小分分辨辨角角=0.023=1.1210-7 rad，比比人人眼眼的的分分辨辨本本领领要要大大三三千千倍倍左左右右。通通常常在在设设计计望望远远镜镜时时，为为了了充充分分利利用用望望远远镜镜物物镜镜的的分分辨辨本本领领，应应使使望望远远镜镜的的放放大大率率保保证证物物镜镜的的最最小小分分辨辨角角经经望望远远镜镜放放大大后等于眼睛的最小分辨角，后等于眼睛的最小分辨角， 即放大率应为即放大率应为 2021/3/1132 (3) 照相物镜的分辨本领照相物镜的分辨本领 照照相相物物镜镜一一般般都都是是用用于于对对较较远远物物体体的的成成像像，感感光光底底片片的的位位置置大大致致与与照照相相物物镜镜的的焦焦平平面面重重合合。 若若照照相相物物镜镜的的孔孔径径为为D， 相相应应第第一一极极小小的的衍衍射射角角为为0， 则则底底片片上上恰恰能能分分辨辨的的两两条条直直线线之之间间的距离的距离为为 习习惯惯上上，照照相相物物镜镜的的分分辨辨本本领领用用底底片片上上每每毫毫米米内内能能成成多多少少条条恰恰能分开的线条数能分开的线条数N表示表示，N为为 2021/3/1133式式中中，D/f是是照照相相物物镜镜的的相相对对孔孔径径。可可见见，照照相相物物镜镜的的相相对对孔孔径径愈愈大大，分分辨辨本本领领愈愈高高。 例例如如，对对于于D/f=1 3.5的的常常用用照照相相物物镜镜，若若=0.55m，则则N=1 4901/3.5=425(条条/mm)。作作为为照照相相系系统统总总分分辨辨本本领领的的要要求求来来说说，感感光光底底片片的的分分辨辨本本领领应应大大于于或或等等于于物物镜镜的的分分辨辨本本领领。 例例如如， 对对于于上上面面的的例例子子， 应应选选择择分分辨辨本领大于本领大于425条条/mm的底片。的底片。 2021/3/1134 (4) 显微镜的分辨本领显微镜的分辨本领 显显微微镜镜由由物物镜镜和和目目镜镜组组成成，在在一一般般情情况况下下系系统统成成像像的的孔孔径径为为物镜框，因此，限制显微镜分辨本领的是物镜框物镜框，因此，限制显微镜分辨本领的是物镜框(即孔径光阑即孔径光阑)。 显显微微镜镜物物镜镜的的成成像像如如图图所所示示。点点物物S1和和S2位位于于物物镜镜前前焦焦点点外外附附近近，由由于于物物镜镜的的焦焦距距很很短短，所所以以S1和和S2发发出出的的光光波波以以很很大大的的孔孔径径角角入入射射到到物物镜镜， 其其像像S1和和S2离离物物镜镜较较远远。虽虽然然S1和和S2离离物物镜镜很很近近，它它们们的的像像也也是是物物镜镜边边缘缘(孔孔径径光光阑阑)的的夫夫朗朗和和费费衍衍射射图图样样， 其爱里斑的半径为其爱里斑的半径为 (3 - 46) 2021/3/1135显微镜的分辨本领显微镜的分辨本领 2021/3/1136由于显微镜物镜的成像满足阿贝由于显微镜物镜的成像满足阿贝(Abbe)正弦条件正弦条件 式中，式中，n和和n分别是物方和像方折射率，在分别是物方和像方折射率，在n=1 时，因时，因l D, 有有 所以，能分辨两点物的最小距离为所以，能分辨两点物的最小距离为 2021/3/1137式式中中，NA=n sin u称称为为物物镜镜的的数数值值孔孔径径。由由此此可可见见，提提高高显显微微镜镜分分辨辨本本领领的的途途径径是是： 增增大大物物镜镜的的数数值值孔孔径径； 减减小小波波长长，例例如如，电电子子显显微微镜镜利利用用电电子子束束的的波波动动性性成成像像， 由由于于其其波波长长可可达达10-3nm，因因而而分分辨辨本本领领将将比比可可见见光光显显微微镜镜提提高高几几十十万万倍倍，只只是是由由于于电电子子显显微微镜镜的的数数值值孔孔径径较较小小， 其其分分辨辨本本领领实实际际上上仅仅提提高高千千倍以上。倍以上。 2021/3/11382021/3/1139