函数的概念与表示法函数的概念与表示法代代 兵兵知识要点知识要点: 一般地：设一般地：设A，B是非空的数集，如果按照某种是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系确定的对应关系 ,使对于集合使对于集合A A中的中的任意任意一个数一个数x,在集合在集合B中中都有都有唯一唯一确定的数确定的数 和它对应，那么和它对应，那么就称就称 为从集合为从集合A到集合到集合B的一个函数，的一个函数， 记作：记作：一一.函数的基本概念：函数的基本概念：（1 1）函数的定义）函数的定义BAx（4 4）相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完）相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据依据. . （2 2）函数的定义域、值域：）函数的定义域、值域： 在函数在函数 中，中，x x叫做自变量叫做自变量,x,x的取的取值范围值范围A叫做函数的定义域；与叫做函数的定义域；与x的值相对应的的值相对应的y值值叫做函数值，函数值的集合叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的叫做函数的值域。值域。（3 3）函数的三要素：定义域、值域和对应法则）函数的三要素：定义域、值域和对应法则. .注：由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推注：由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合个集合A、B必须是非空数集必须是非空数集. . 二二. .函数的表示法函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法. .三三. .映射的概念映射的概念 设设A，B是两个非空的集合，如果按照某种对是两个非空的集合，如果按照某种对应法则应法则 ,使对于集合使对于集合A A中的中的任意任意一个元素一个元素x,在集合在集合B中中都有都有唯一唯一确定的元素确定的元素y与之对应，那么就称对应与之对应，那么就称对应 为从集合为从集合A到集合到集合B的一个映射。的一个映射。1.1.设集合设集合M M=x x|0|0x x22，N N=y y|0|0y y22，那么下面，那么下面 的的4 4个图形中，能表示集合个图形中，能表示集合M M到集合到集合N N的函数关系的有的函数关系的有 ( ) ( ) A. B. A. B. C. C. D.D.解析：解析：由函数的定义，要求函数在定义域上都有图由函数的定义，要求函数在定义域上都有图象，并且一个象，并且一个x x对应着一个对应着一个y y，据此排除，据此排除，选，选C.C.典型例题：典型例题：一：函数的基本概念：一：函数的基本概念：2.2.下列与下列与函数函数 是同一函数的是是同一函数的是( )( )解题回顾：解题回顾：若两个函数的对应关系一致，并且若两个函数的对应关系一致，并且定义域相同定义域相同,则两个函数为同一函数则两个函数为同一函数.1.(1)1.(1)函数函数 的定义域为的定义域为_二：求函数的定义域二：求函数的定义域 (2) (2)函数函数 的定义域为的定义域为_解题回顾：解题回顾：求函数求函数f(x)的定义域，只需使解析式有的定义域，只需使解析式有 意义，列不等式组求解意义，列不等式组求解. .(2)已知函数已知函数 的定义域为的定义域为 ，则函数，则函数的定义域为的定义域为_2. (1)已知函数已知函数 的定义域为的定义域为 ，则函数，则函数的定义域为的定义域为_抽象函数抽象函数 ：没有给出具体解析式的函数：没有给出具体解析式的函数抽象函数定义域问题：抽象函数定义域问题：BAx(1)定义域为自变量定义域为自变量x的取值范围；的取值范围；(2)对应法则只能对定义域内的数施加法则。对应法则只能对定义域内的数施加法则。解题回顾解题回顾：（：（1 1）求函数的定义域，其实质就是以函数解析求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则式所含运算有意义为准则, ,列出不等式或不等式组，然后求列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：出它们的解集，其准则一般是：分式中，分母不为零；分式中，分母不为零；偶次方根中，被开方数非负；偶次方根中，被开方数非负；对于对于y=xy=x0 0，要求，要求x0x0；(2)抽象函数的定义域要弄清对应法则可以对哪些数施加法抽象函数的定义域要弄清对应法则可以对哪些数施加法则则. 3.已知函数已知函数 的定义域为的定义域为 ，则则的取值范围为的取值范围为_问题（问题（1 1）由题设）由题设f f（x x）为二次函数，故可先设出）为二次函数，故可先设出f f（x x）的表达式，）的表达式，用用待定系数法待定系数法求解；求解；问题（问题（2 2）已知条件是一复合函数的解析式，因此可用）已知条件是一复合函数的解析式，因此可用换元法换元法；问题（问题（3 3）已知条件中含）已知条件中含x x， ，可用解，可用解方程组法方程组法求解求解. . 三三 求函数的解析式求函数的解析式思维启迪：思维启迪：【例例2 2】 （1 1）设二次函数）设二次函数 满足满足且图象在且图象在y y轴上的截距为轴上的截距为1 1，被，被x x轴截得的线段长为轴截得的线段长为求求 的解析式；的解析式；（2 2）已知）已知（3 3）已知）已知 满足满足 ，求，求探究提高：探究提高： 求函数解析式的常用方法有求函数解析式的常用方法有: :(1)(1)代入法，用代入法，用g(x)g(x)代入代入f(x)f(x)中的中的x,x,即得到即得到f fg(x)g(x)的解析式；的解析式；(2)(2)换元法，设换元法，设t=g(x),t=g(x),反解出反解出x,x,代入代入f fg(x)g(x)，得得f(t)f(t)的解析式即可；（的解析式即可；（注意新元的取值范围注意新元的取值范围）(3)(3)待定系数法，若已知待定系数法，若已知f(x)f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式的解析式的类型，设出它的一般形式, ,根据特殊值，确定相关的系数即可；根据特殊值，确定相关的系数即可； (4)(4)函数方程法函数方程法四四 分段函数分段函数自变量自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则。的不同取值范围，有着不同的对应法则。注：分段函数是一个函数，并不是几个函数。注：分段函数是一个函数，并不是几个函数。例例1 1 设设 则则f f g g(3)=_,(3)=_, =_.=_. 解析解析 g(3)=2, fg(3)=f(2)=32+1=7， 已知已知f f( (x x)=)= 使使f f( (x x)-1)-1成立的成立的x x的的 取值范围是取值范围是 ( )( ) A.-4,2) B.-4,2 C.(0,2 D.(-4,2A.-4,2) B.-4,2 C.(0,2 D.(-4,2 知能迁移知能迁移解析解析:分段函数是一类重要的函数模型分段函数是一类重要的函数模型. .解决分段函数问题，解决分段函数问题，关键要抓住在不同的段内研究问题关键要抓住在不同的段内研究问题. .如本例，需分如本例，需分x0时，时，f(x)=x的解的个数的解的个数和和x0时，时，f(x)=x的解的个数的解的个数. .探究提高探究提高: :“分段函数分段考察分段函数分段考察”定义在定义在R R上的函数上的函数f f( (x x) )满足满足f f( (x x+ +y y)=)=f f( (x x)+)+f f( (y y)+2)+2xyxy( (x x, ,y yR R),),f f(1)=2,(1)=2,则则f f(-3)(-3)等于等于( )( )A.2A.2 B.3 B.3C.6C.6D.9D.9 C五五 抽象函数抽象函数变式：变式：设设f(x)f(x)是是R R上的函数，且上的函数，且f(0)=1,f(0)=1,对任意对任意x x，yR yR 恒有恒有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求，求f(x)f(x)的表达式的表达式. .方法一方法一 ： f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，令y=x，得f(0)=f(x)-x(2x-x+1)，f(0)=1，f(x)=x2+x+1.赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而进行求值或求赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而进行求值或求解析式解析式. 方法二方法二: 令x=0，得f(-y)=f(0)-y(-y+1) =y2-y+1,再令y=-x,得f(x)=x2+x+1. 课堂总结：课堂总结：1：函数的概念：函数的概念：“任意、唯一任意、唯一” 函数三要素：定义域、值域、对应法则；函数三要素：定义域、值域、对应法则；2：函数解析式的求法：函数解析式的求法： 代入法、待定系数法、代入法、待定系数法、 换元法、函数方程法；换元法、函数方程法；3：两类函数：分段函数（分段考察）：两类函数：分段函数（分段考察） 抽象函数抽象函数 （赋值法）（赋值法）