第三章第三章 流体动力学流体动力学 流体动力学的主要内容是研究流体流动时流体动力学的主要内容是研究流体流动时流速和压力的变化规律。流动液体的连续性方流速和压力的变化规律。流动液体的连续性方程、伯努利方程、动量力程是描述流动液体力程、伯努利方程、动量力程是描述流动液体力学规律的三个基本方程式。前二个方程式反映学规律的三个基本方程式。前二个方程式反映压力、流速与流量之间的关系，动量方程用来压力、流速与流量之间的关系，动量方程用来解决流动液体与固体壁面间的作用力问题。这解决流动液体与固体壁面间的作用力问题。这些内容不仅构成了液体动力学的基础，而且还些内容不仅构成了液体动力学的基础，而且还是液压技术中分析问题和设计计算的理论依据。是液压技术中分析问题和设计计算的理论依据。.3-1 3-1 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法表征运动流体的物理量，诸如流体质点的位表征运动流体的物理量，诸如流体质点的位移、速度、加速度、密度、压强、动量、动移、速度、加速度、密度、压强、动量、动能等等统称为流体的能等等统称为流体的流动参数流动参数。描述流体运描述流体运动也就是要表达这些流动参数在各个不同空动也就是要表达这些流动参数在各个不同空间位置上随时间连续变化的规律间位置上随时间连续变化的规律。从理论上。从理论上说，解决这种问题有两种可行的方法，即拉说，解决这种问题有两种可行的方法，即拉格朗日格朗日(Lagrange)法和欧拉法和欧拉(Euler)法。法。.一、拉格朗日一、拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)法与质点系法与质点系如果用质点初始坐标如果用质点初始坐标(a,b,c)与时间变量与时间变量t共同表共同表达质点的运动规律，则达质点的运动规律，则(a,b,c,t)叫作拉格朗叫作拉格朗 日变数，日变数，用拉格朗口变数描述流体用拉格朗口变数描述流体运动的方法叫拉格朗日法。运动的方法叫拉格朗日法。. 二、欧拉法二、欧拉法(Euler)与控制体与控制体 描述流体运动的另一种方法是欧拉法，这种方法适描述流体运动的另一种方法是欧拉法，这种方法适应于流体运动的特点，在流体力学上获得广泛应用。应于流体运动的特点，在流体力学上获得广泛应用。 因为流体是连续介质，质点紧密相接，在运动过因为流体是连续介质，质点紧密相接，在运动过程中，一定的空间点可能被无数质点前出后进地依次程中，一定的空间点可能被无数质点前出后进地依次占据，所以我们无需关心某一个质点的运动历程，只占据，所以我们无需关心某一个质点的运动历程，只要能够找到整个流场中物理量的变化规律，则此流场要能够找到整个流场中物理量的变化规律，则此流场的运动性质及流场中流体与固体边界的相互作用都是的运动性质及流场中流体与固体边界的相互作用都是可以顺利解决的。这种可以顺利解决的。这种以数学场论为基础、着眼于任以数学场论为基础、着眼于任何时刻物理量在场上的分布规律的流体运动描述方法何时刻物理量在场上的分布规律的流体运动描述方法叫作欧拉法。叫作欧拉法。欧拉法中用质点的空间坐标欧拉法中用质点的空间坐标(z,y,z)与时间与时间变量变量t来表达流场中的流体运动规律，来表达流场中的流体运动规律，(z,y,z,t)叫作欧拉叫作欧拉变数。变数。. 连续性假定连续性假定：质点：质点指的是一个含有大量分子的流体微团，指的是一个含有大量分子的流体微团，其尺寸远小于设备尺寸、但比分子自由程却大的多。假其尺寸远小于设备尺寸、但比分子自由程却大的多。假定流体是由大量质点组成的、彼此间没有间隙、完全充定流体是由大量质点组成的、彼此间没有间隙、完全充满所占空间的连续介质。满所占空间的连续介质。运动的考察方法运动的考察方法物理学中考察单个固体质点的运动时，采用拉格朗日物理学中考察单个固体质点的运动时，采用拉格朗日法；而描述流体的流动采用欧拉法则更为方便。法；而描述流体的流动采用欧拉法则更为方便。拉格朗日法拉格朗日法：选定一个流体质点，对其进行考察，描述：选定一个流体质点，对其进行考察，描述其运动参数与时间的关系。其运动参数与时间的关系。欧拉法欧拉法：描述空间各点的状态及其与时间的关系。：描述空间各点的状态及其与时间的关系。.3-2 3-2 基本概念基本概念1 理想液体和恒定流动理想液体和恒定流动 由于液体具有粘性，而且粘性只是在液体运由于液体具有粘性，而且粘性只是在液体运动时才体现出来，因此在研究流动液体时必须考动时才体现出来，因此在研究流动液体时必须考虑粘性的影响。液体中的粘性问题非常复杂，为虑粘性的影响。液体中的粘性问题非常复杂，为了分析和计算问题的方便，开始分析时可先假设了分析和计算问题的方便，开始分析时可先假设液体没有粘性，然后再考虑粘性的影响，并通过液体没有粘性，然后再考虑粘性的影响，并通过实验验证等办法对已得出的结果进行补充或修正。实验验证等办法对已得出的结果进行补充或修正。对于液体的可压缩问题，也可采用同样方法来处对于液体的可压缩问题，也可采用同样方法来处理。理。 理想液体：理想液体：在研究流动液体时，把假设的既在研究流动液体时，把假设的既无粘性又不可压缩的液体称为理想液体。而把事无粘性又不可压缩的液体称为理想液体。而把事实上既有粘性又可压缩的液体称为实上既有粘性又可压缩的液体称为实际液体实际液体。. 恒定流动：恒定流动：当液体流动时，如果液体中任当液体流动时，如果液体中任一点处的压力、速度和密度都不随时间而变化，一点处的压力、速度和密度都不随时间而变化，则液体的这种流动称为则液体的这种流动称为恒定流动恒定流动(亦称定常流动亦称定常流动或非时变流动或非时变流动)； (稳态流动稳态流动 运动空间各点的状态不随运动空间各点的状态不随时间变化，称为稳态流动。时间变化，称为稳态流动。) 反之，若液体中任一点处的压力、速度和反之，若液体中任一点处的压力、速度和密度中有一个随时间而变化时，就称为密度中有一个随时间而变化时，就称为非恒定非恒定流动流动(亦称非定常流动或时变流动亦称非定常流动或时变流动)。如图。如图1-8所所示，图示，图1-8a为恒定沉动，图为恒定沉动，图1-8b为非恒定流动。为非恒定流动。非恒定流动情况复杂。本节主要介绍恒定流动非恒定流动情况复杂。本节主要介绍恒定流动时的基本方程。时的基本方程。. 2 迹线、流线、流束迹线、流线、流束 迹迹线线是是流流动动液液体体的的某某一一质质点点在在某某一一时时间间间间隔隔内内在空间的运动轨迹。在空间的运动轨迹。 流流线线是是表表示示某某一一瞬瞬时时液液流流中中各各处处质质点点运运动动状状态态的的一一条条条条曲曲线线，在在此此瞬瞬时时，流流线线上上各各质质点点速速度度方方向向与与该该线线相相切切。如如图图a所所示示。在在非非定定常常流流动动时时，由由于于各各点点速速度度可可能能随随时时间间变变化化，因因此此流流线线形形状状也也可可能能随随时时间间而而变变化化。在在定定常常流流动动时时，流流线线不不随随时时间间而而变变化化，这这样样流流线线就就与与迹迹线线重重合合。由由于于流流动动液液体体中中任任一一质质点点在在某某一一瞬瞬时时只只能能有有一一个个速速度度，所所以以流流线线之之间间不不可可能能相相交交，也也不不可可能能突突然然转转折折，流流线线只只能能是是一一条条光光滑滑的的曲线。曲线。 . 在流体的流动空间中任意画一不属流线的封在流体的流动空间中任意画一不属流线的封闭曲线，沿经过此封闭曲线上的每一点作流线，闭曲线，沿经过此封闭曲线上的每一点作流线，由这些流线组合的表面称为由这些流线组合的表面称为流管流管。流管内的流线。流管内的流线群称为群称为流束流束，如图，如图b所示，定常流动时，流管和所示，定常流动时，流管和流束形状不变。且流线不能穿越流管，故流管与流束形状不变。且流线不能穿越流管，故流管与真实管流相似，将流管断面无限缩小趋近于零，真实管流相似，将流管断面无限缩小趋近于零，就获得了微小流管或微小流束、微小流束实质上就获得了微小流管或微小流束、微小流束实质上与流线一致，可以认为运动的液体是由无数微小与流线一致，可以认为运动的液体是由无数微小流束所组成的。流束所组成的。 流流线线彼彼此此平平行行的的流流动动称称为为平平行行流流动动，流流线线夹夹角角很很小小或或流流线线曲曲率率半半径径很很大大的的流流动动称称为为缓缓变变流流动动。平平行流动和缓变流动都可算是一维流动。行流动和缓变流动都可算是一维流动。.3 通流截面、流量和平均流速通流截面、流量和平均流速 流束中与所有流线正交的截面称为流束中与所有流线正交的截面称为通流截通流截面面(或或过流截面过流截面) ，如图，如图C中的中的A面和面和B面，截面，截面上每点处的流动速度都垂直于这个面。面上每点处的流动速度都垂直于这个面。 单位时间内流过某一通流截面的液体体积单位时间内流过某一通流截面的液体体积称为流量。流量以称为流量。流量以q表示，单位为表示，单位为m m3 3/s/s或或Lmin。 由于流动液体粘性的作用，在通流截面上由于流动液体粘性的作用，在通流截面上各点的流速各点的流速u般是不相等的。在计算流过整般是不相等的。在计算流过整个通流截面个通流截面A的流量时可在通流截面的流量时可在通流截面A上取上取一微小截面一微小截面dA(图图1-9a)，并认为在该断面各点，并认为在该断面各点的速度的速度u相等、则流过该微小断面的流量为相等、则流过该微小断面的流量为dq=udA.流过整个通流截面流过整个通流截面A的流量为的流量为.对于实际液体的流动，速度对于实际液体的流动，速度u的分布规律很复杂的分布规律很复杂(见图见图l-9b)，故按上式计算流量是困难的。因此，故按上式计算流量是困难的。因此，提出一个平均流速的概念，即假设通流截面上提出一个平均流速的概念，即假设通流截面上各点的流速均匀分布，液体以此均布流速各点的流速均匀分布，液体以此均布流速p流过流过通流截面的流量等于以实际流速流过的流量，通流截面的流量等于以实际流速流过的流量，即即由此得出通流截面上的平均流速为由此得出通流截面上的平均流速为在实际的工程计算中，平均流速才具有应用价在实际的工程计算中，平均流速才具有应用价值。液压缸工作时，活塞的运动速度就等于缸值。液压缸工作时，活塞的运动速度就等于缸内液体的平均流速，当液压缸有效面积一定时，内液体的平均流速，当液压缸有效面积一定时，活塞运动速度由输入液压缸的流量决定。活塞运动速度由输入液压缸的流量决定。.3-3 3-3 连续性方程连续性方程 流量连续性方程是质量守恒定律在流体力流量连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的一种表达形式。学中的一种表达形式。 图所示为一不等截面管液体在管内作恒图所示为一不等截面管液体在管内作恒定流动任取定流动任取l、2两个通流截面、设其面积分两个通流截面、设其面积分别为别为A A1 1和和A A2 2 ，两个截面中液体的平均流速和密，两个截面中液体的平均流速和密度分别为度分别为v v1 1 、 1 1和和v v2 2 、 2 2 ，根据质量守恒，根据质量守恒定律在单位时间内流过的两个截面的液体质定律在单位时间内流过的两个截面的液体质量相等，即量相等，即.不考虑液体的压缩性，有不考虑液体的压缩性，有 。则得。则得或写为或写为 这就是液流的流量连续性方程，它说明恒定流动中这就是液流的流量连续性方程，它说明恒定流动中流过各截面的不可压缩流体的流量是不变的。因而流过各截面的不可压缩流体的流量是不变的。因而流速和通流截面的面积成反比。流速和通流截面的面积成反比。. 3-4 3-4 伯努利方程伯努利方程 伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的一种伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的一种表达形式。表达形式。 1 理想液体的伯努利方程理想液体的伯努利方程 理想液体因无粘性，又不可压缩，因此在管内作理想液体因无粘性，又不可压缩，因此在管内作稳定流动时没有能量损失。根据能量守恒定律，同一稳定流动时没有能量损失。根据能量守恒定律，同一管道每一截面的总能量都是相等的。管道每一截面的总能量都是相等的。 如前所述，对静止液体，单位质量液体的总能量如前所述，对静止液体，单位质量液体的总能量为单位质量液体的压力能为单位质量液体的压力能 和势能和势能 z z 之和；而对于之和；而对于流动液体，除以上两项外，还有单位质量液体的动能流动液体，除以上两项外，还有单位质量液体的动能 。. 在图中任取两个截面在图中任取两个截面A1 和和A2 ，它们距基准水平，它们距基准水平面的距离分别为面的距离分别为z1和和z2，断面平均流速分别为，断面平均流速分别为v1和和v2 ，压力分别为，压力分别为p1和和p2 。根据能量守恒定律有。根据能量守恒定律有 因两个截面是任意取的，因此上式可改写因两个截面是任意取的，因此上式可改写以上两式即为理想液体的伯努利方程，其物理意义以上两式即为理想液体的伯努利方程，其物理意义为：为：在管内作稳定流动的理想流体具有压力能、势在管内作稳定流动的理想流体具有压力能、势能和动能三种形式的能量，在任一截面上这三种能能和动能三种形式的能量，在任一截面上这三种能量可以互相转换，但其总和不变，即能量守恒量可以互相转换，但其总和不变，即能量守恒。.2 实际液体伯努利方程实际液体伯努利方程 实际液体在管道内流动时：由于液体存在粘实际液体在管道内流动时：由于液体存在粘性，会产生内摩擦力，消耗能量；由于管道形状性，会产生内摩擦力，消耗能量；由于管道形状和尺寸的变化、液流会产生扰动，消耗能量。因和尺寸的变化、液流会产生扰动，消耗能量。因此，实际液体流动时存在能量损失，设单位质量此，实际液体流动时存在能量损失，设单位质量液体在两截面之间流动的能量损失为液体在两截面之间流动的能量损失为h hw w 。 另外，因实际流速另外，因实际流速u u在管道通流截面上的分在管道通流截面上的分布不是均匀的布不是均匀的, ,为方便计算，一般用平均流速替为方便计算，一般用平均流速替代实际流速计算动能。显然这将产生计算误差。代实际流速计算动能。显然这将产生计算误差。为修正这一误差，便引进了动能修正系数为修正这一误差，便引进了动能修正系数，它，它等于单位时间内某截面处的实际动能与按平均流等于单位时间内某截面处的实际动能与按平均流速计算的动能之比其表达式为：速计算的动能之比其表达式为：.动能修正系数动能修正系数在湍流时取在湍流时取1.11.1、在层、在层流时取流时取2 2。实际计算时常取。实际计算时常取1 1。在引进了能量损失在引进了能量损失h hw w 和动能修正系数和动能修正系数后，后，实际液体的伯努利方程表示为实际液体的伯努利方程表示为. 在利用上式进行计算时必须在利用上式进行计算时必须注意注意的是：的是： (1)(1)截面截面1 1、2 2应顺流向选取，且选在流动平应顺流向选取，且选在流动平稳的通流截面上；稳的通流截面上； (2)z (2)z和和p p应为通流截面的同一点上的两个参应为通流截面的同一点上的两个参数，为方便起见，一般将这两个参数定在通流数，为方便起见，一般将这两个参数定在通流截面的轴心处。截面的轴心处。 (3) (3)在分支流动的支流断面和主流断面之间，在分支流动的支流断面和主流断面之间，伯努利方程式与连续方程式部是不能成立的。伯努利方程式与连续方程式部是不能成立的。 . 例例 应用伯努利方程分析液压泵正常吸油的条件。液压应用伯努利方程分析液压泵正常吸油的条件。液压泵装置如图所示设液压泵吸油口处的绝对压力为泵装置如图所示设液压泵吸油口处的绝对压力为p p2 2，油，油箱液面压力箱液面压力p p1 1为大气压为大气压p pa a ，泵吸油口至油箱液面高度为，泵吸油口至油箱液面高度为H H。. 解解 取油箱液面为基准面，并定为取油箱液面为基准面，并定为1-11-1截面泵的吸截面泵的吸油口处为油口处为2-22-2截面，对两截面列伯努利方程截面，对两截面列伯努利方程( (动能修动能修正系数取正系数取1 1=2 2=1)=1)有有式中式中p1等于大气压；等于大气压；v1为油箱液面流速，可视为零，为油箱液面流速，可视为零，v2为吸油管速；为吸油管速；hw为吸油管路的能量损失。代入已知为吸油管路的能量损失。代入已知条件，上式可简化为条件，上式可简化为即液压泵吸油口的真空度为即液压泵吸油口的真空度为. 由此可知，液压泵吸油口的真空度由三由此可知，液压泵吸油口的真空度由三部分组成，包括产生一定流速部分组成，包括产生一定流速v2所需的所需的压力，把油液提升到高度压力，把油液提升到高度H所需的压力所需的压力和吸油管的压力损失。和吸油管的压力损失。. 为保证液压泵正常工作，液压泵吸油口的为保证液压泵正常工作，液压泵吸油口的真空度不能太大。若真空度太大，在绝对压力真空度不能太大。若真空度太大，在绝对压力p2低于油液的空气分离压低于油液的空气分离压pg时，溶于油液中的空时，溶于油液中的空气会分离析出形成气泡，产生气穴现象，出现气会分离析出形成气泡，产生气穴现象，出现振动和噪声。为此，必须限制液压泵吸油口的振动和噪声。为此，必须限制液压泵吸油口的真空度小于真空度小于0.3105 Pa，具体措施除增大吸油管，具体措施除增大吸油管直径、缩短吸油管长度、减少局部阻力以降低直径、缩短吸油管长度、减少局部阻力以降低 和和 两项外、两项外、 一般对液压泵的吸油高度一般对液压泵的吸油高度H H进行进行限制，通常取限制，通常取H0.5m。若将液压泵安装在油箱。若将液压泵安装在油箱液面以下，则液面以下，则H为负值。对降低液压泵吸油口为负值。对降低液压泵吸油口的真空度更为有利。的真空度更为有利。.3-5 3-5 动量方程动量方程 液流作用在固体壁面上的力，用动液流作用在固体壁面上的力，用动量定律来求解比较方便。动量定律指出：量定律来求解比较方便。动量定律指出：作用在物体上的力的大小等于物体在力作用在物体上的力的大小等于物体在力作用方向上的动量的变化率，即作用方向上的动量的变化率，即. 把动量定理应用到流动液体上时，须从把动量定理应用到流动液体上时，须从流管中任意取出图示的被通流截面流管中任意取出图示的被通流截面A-A和和B-B所限制的液体体积并称之为控制体积，所限制的液体体积并称之为控制体积，A-A截截面和面和B-B截面称为控制表面。截面称为控制表面。. 此控制体积经此控制体积经dt时间后流至新的位置时间后流至新的位置AABB，在此控制体积内的微小流束，在此控制体积内的微小流束中，取一流线段长为中，取一流线段长为ds、截面积为、截面积为dA，流速为流速为u的微元的微元,则这一段微元的动量为则这一段微元的动量为控制体内微小流束的动量为控制体内微小流束的动量为.整个控制体积液体的动量为整个控制体积液体的动量为式中式中 S1 、S2，分别为，分别为A-A和和B-B截面处截面处的坐标，由动量定理可得的坐标，由动量定理可得.在工程实际应用中，往往用平均流速在工程实际应用中，往往用平均流速v代替代替实际流速实际流速u，其误差用一动量修正系数，其误差用一动量修正系数予以修正，故上式可改写为予以修正，故上式可改写为上上式式即即为为流流动动液液体体的的动动量量方方程程。方方程程左左边边F为为作作用用于于控控制制体体积积内内液液体体上上的的所所有有外外力力的的总总和和，而而等等式式右右边边第第一一项项表表示示液液体体流流量量变变化化所所引引起起的的力力，称称为为瞬瞬态态力力，第第二二、三三项项表表示示流流出出控控制制表表面面和和流流入入控控制制表表面面时时的的动量变化率，称为稳态力。动量变化率，称为稳态力。.如如果果控控制制体体中中的的液液体体在在所所研研究究的的方方向向上上不不受受其其它它外外力力，只只有有液液体体与与固固体体壁壁面面的的相相互互作作用用力力，则则该该二二力力的的作作用用力力与与反反作作用用力力大大小小相相等等，方方向向相相反反。液液体体作作用用在在固固体体壁壁面面的的作作用用力力分分别别称称为为瞬瞬态态液液动动力力和稳态液动力。和稳态液动力。 定定常常流流动动时时，dqdt0，故故上上式式中中只有稳态液动力，即只有稳态液动力，即. 上式均为矢量表达式，在应用时可根据问上式均为矢量表达式，在应用时可根据问题的具体要求向指定方向投影，列出该指定方题的具体要求向指定方向投影，列出该指定方向的动量方程，从而可求出作用力在该方向上向的动量方程，从而可求出作用力在该方向上的分量，然后加以合成。的分量，然后加以合成。 动量修正系数动量修正系数为液体流过某截面为液体流过某截面A的实际的实际动量与以平均流速流过截面的动量之比，即动量与以平均流速流过截面的动量之比，即 所以所以1，当液流流速较大且分布较均，当液流流速较大且分布较均(湍流湍流)时，时，l；液流流速较低且分布不均匀；液流流速较低且分布不均匀(层流层流)时，时，1.33。.例例 题题.