内容：欧氏空内容：欧氏空间等距等距变换的定的定义、解析表、解析表达式达式重点：等距重点：等距变换的解析表达式的解析表达式1.4 等距变换1.4等距变换-定义设设 a = (x1, y1, z1) ， b = (x2, y2, z2) 是是 R3 中的中的恣意两点，它恣意两点，它们们之之间间的的间间隔隔为为假假设设 T: R3 R3 是一一是一一对应对应，且，且对对恣意恣意 a、b R3 有有 d(a, b) = d(T(a), T(b) )，那么称，那么称 T 是是 R3 的等距的等距变换变换，也叫合同，也叫合同变换变换、保、保长变换长变换或或欧氏欧氏变换变换1.4等距变换-正交矩阵假假设设一个一个 3 阶阶矩矩阵阵 T 满满足足 TT t = E ，那么，那么 T 是一个是一个 3 阶阶正交矩正交矩阵阵，其中，其中 T t 表示表示 T 的的转转置置矩矩阵阵，E 表示表示 3 阶单阶单位矩位矩阵阵一切一切 3 阶阶正交矩正交矩阵阵关于矩关于矩阵阵的乘法构成群，叫三的乘法构成群，叫三阶阶正交矩正交矩阵阵群，群，记为记为 O(3) 由由线线性代数知，性代数知，对对恣意恣意 3 阶阶矩矩阵阵 A 以及恣以及恣意的向量意的向量 a、b R3，有，有 (aA) b = a (bAt)，这这里，里，aA 表示表示 13 矩矩阵阵 a 与与 33 矩矩阵阵 A 的的积积， bAt 等也作同等也作同样样的解的解释释1.4等距变换-解析表达式定理定理. 变换变换 T: R3 R3 是等距是等距变换变换的充要条的充要条件是存在件是存在 TO(3) 以及以及 pR3，使，使 T(r) = rT + p 对对恣意的恣意的 r = (x, y, z)R3 成立成立看看证明明1.4等距变换-等距变换群欧氏空欧氏空间间的等距的等距变换变换的全体关于的全体关于变换变换的复合的复合构成一个群，叫等距构成一个群，叫等距变换变换群群上面的定理上面的定理阐阐明等距明等距变换变换一定是形如一定是形如 rT + p 的的变换变换，并且，并且TO(3) ，因此，因此 T 的行列式的行列式等于等于 1 当当 T 的行列式等于的行列式等于 +1 时时，对应对应的等距的等距变换变换叫叫刚刚体运体运动动，简简称运称运动动；当；当 T 的行列式等于的行列式等于 1 时时，对应对应的等距的等距变换变换叫反向叫反向刚刚体运体运动动刚刚体运体运动动的全体也构成等距的全体也构成等距变换变换群的子群，群的子群，叫运叫运动动群群1.4等距变换-切向量设设 PR3，C 是是过过 P 点的曲点的曲线线，我，我们们把把 C 在在 P 点的切向量叫点的切向量叫 R3 在在 P 点的切向量点的切向量过过 P 点点可以作很多曲可以作很多曲线线，因此就有很多切向量，因此就有很多切向量 R3 在在 P 点的切向量的全体点的切向量的全体组组成的集合成的集合记为记为 TP R3，叫做，叫做 R3 在在 P 点的切空点的切空间间留意到留意到 R3 在在 P 点的任一切向量是某条点的任一切向量是某条过过 P 点的曲点的曲线线在在该该点的切向量，所以点的切向量，所以对对恣意恣意 vTP R3 有如下方式有如下方式 v = r (t 0) = (x (t 0), y (t 0), z (t 0) ) 切向量也可以看成是切向量也可以看成是 R3 的点，的点，这样这样，R3 与与 TP R3 就自然等同起来了就自然等同起来了1.4等距变换-幺正标架R3 的一个的一个标架架 P; e1, e2, e3 是由是由 R3 的一的一个点个点 P叫叫标架的原点和架的原点和 P 点的点的 3 个个线性无性无关的有序切向量关的有序切向量 e1, e2, e3 所构成假所构成假设这三三个切向量是两两正交的个切向量是两两正交的单位向量，那么称相位向量，那么称相应的的标架架为正交正交标架或幺正架或幺正标架架显显然，然，O; i, j, k 是是 R3 的一个幺正的一个幺正标标架架Oe1e3e2P1.4等距变换-正标架设设 P; e1, e2, e3 是另一个是另一个标标架，其中架，其中 ei = aii + bij + cik, i =1,2,3令令假假设设 det A 0 ，那么称，那么称 P; e1, e2, e3 是正是正标标架或右手架或右手标标架或右手系架或右手系P; e1, e2, e3 是正是正标架的充分必要条件是混架的充分必要条件是混合合积 (e1, e2, e3) 0