Department of Mathematics概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计主讲人：宣平宣平20122012年年. .秋学期秋学期1整理课件第四节第四节第四节第四节 多维随机变量的特征数多维随机变量的特征数多维随机变量的特征数多维随机变量的特征数2整理课件一、多维随机变量函数的数学期望一、多维随机变量函数的数学期望（1 1）若二维离散型随机变量）若二维离散型随机变量( (X, ,Y) )的联合分布列为的联合分布列为则则Z=g(X,Y) 的数学期望为的数学期望为（2 2）如果）如果Z=g(X,Y)是二维连续型随机变量，联合概率是二维连续型随机变量，联合概率 密度为密度为f(x,y) , ,则则Z=g(X,Y)的数学期望为的数学期望为3整理课件特别地，若取特别地，若取特别地，若取特别地，若取 g g( (X X, ,Y Y)=)=X X, , , , 可以得到可以得到可以得到可以得到X X的期望为的期望为的期望为的期望为离散离散连续连续4整理课件例例1 1 在长度为在长度为a 的线段上任取两个点的线段上任取两个点X和和Y, ,求这两求这两 点间的平均长度。点间的平均长度。解：因为解：因为X、Y独立，且都服从独立，且都服从 U(0, a).所以（所以（X,Y）的联合密度函数为）的联合密度函数为积分计算积分计算 须分区域须分区域. .5整理课件注意：直接代公式较麻烦，可以先求注意：直接代公式较麻烦，可以先求Y的分布的分布. .6整理课件二、数学期望与方差的性质二、数学期望与方差的性质线性线性7整理课件8整理课件该方法称为该方法称为分解随机变量法分解随机变量法, ,求期望不需要独立性求期望不需要独立性9整理课件分析：直接写出分析：直接写出X的分布非常困难，因为每一只球可的分布非常困难，因为每一只球可能多次被摸到能多次被摸到. .考虑每一种颜色的球是否被摸到考虑每一种颜色的球是否被摸到. .引入随机变量如下：引入随机变量如下：例例5 5 设一袋中装有设一袋中装有m只颜色各不相同的球，每次从只颜色各不相同的球，每次从中任取一只，有放回地摸取中任取一只，有放回地摸取n次，以次，以X表示在表示在n次摸次摸球中摸到球的不同颜色的数目，求球中摸到球的不同颜色的数目，求E(X)。10整理课件例例5 5 设一袋中装有设一袋中装有m只颜色各不相同的球，每次从只颜色各不相同的球，每次从中任取一只，有放回地摸取中任取一只，有放回地摸取n次，以次，以X表示在表示在n次摸次摸球中摸到球的不同颜色的数目，求球中摸到球的不同颜色的数目，求E(X)。11整理课件例例6.6.投硬币投硬币n次次, ,设设X为出现正面后紧接反面的次数，为出现正面后紧接反面的次数， 求求 E(X) . .12整理课件三、协方差三、协方差协方差也称为相关中心矩。协方差也称为相关中心矩。联合分布中各分量间的关系联合分布中各分量间的关系注意：注意：详见协方差的性质详见协方差的性质13整理课件14整理课件协方差的主要性质协方差的主要性质: :注：注：以上性质可用定义及期望的性质来证明以上性质可用定义及期望的性质来证明. .反之不能成立！反之不能成立！15整理课件补充说明：补充说明：16整理课件17整理课件18整理课件19整理课件四、相关系数四、相关系数 在表示随机变量的关系时，为了消除量纲的影在表示随机变量的关系时，为了消除量纲的影响，引入了相关系数的概念。响，引入了相关系数的概念。20整理课件引理引理 施瓦茨不等式施瓦茨不等式证证：注：施瓦茨不等式表明相关系数的取值范围是注：施瓦茨不等式表明相关系数的取值范围是21整理课件相关系数的性质：相关系数的性质： 当当=0=0时时，称，称X, ,Y不相关；不相关；当当=1=1时，称时，称X, Y几乎处处几乎处处有线性关系有线性关系. .22整理课件补充说明补充说明 相关系数相关系数相关系数相关系数 ( ( ( (X X, , , ,Y Y) ) ) )刻画了随机变量刻画了随机变量刻画了随机变量刻画了随机变量X X、Y Y间线性相间线性相间线性相间线性相关的程度。关的程度。关的程度。关的程度。 =1=1=1=1时，表示时，表示时，表示时，表示X X、Y Y几乎处处具有线性关几乎处处具有线性关几乎处处具有线性关几乎处处具有线性关系；系；系；系； =0=0=0=0时，表示时，表示时，表示时，表示X X、Y Y不具有线性关系，但可以具不具有线性关系，但可以具不具有线性关系，但可以具不具有线性关系，但可以具有其他（如曲线）关系。独立性是指两个随机变量有其他（如曲线）关系。独立性是指两个随机变量有其他（如曲线）关系。独立性是指两个随机变量有其他（如曲线）关系。独立性是指两个随机变量不具有任何关系。对二元正态分布来说，独立性与不具有任何关系。对二元正态分布来说，独立性与不具有任何关系。对二元正态分布来说，独立性与不具有任何关系。对二元正态分布来说，独立性与不相关不相关不相关不相关 =0=0=0=0是等价的。是等价的。是等价的。是等价的。 与协方差相比较，相关系数是一个不带单位的与协方差相比较，相关系数是一个不带单位的与协方差相比较，相关系数是一个不带单位的与协方差相比较，相关系数是一个不带单位的系数，消除了量纲的影响，可以更准确地反映随机系数，消除了量纲的影响，可以更准确地反映随机系数，消除了量纲的影响，可以更准确地反映随机系数，消除了量纲的影响，可以更准确地反映随机变量间的关系；同时，也方便不同类型随机变量的变量间的关系；同时，也方便不同类型随机变量的变量间的关系；同时，也方便不同类型随机变量的变量间的关系；同时，也方便不同类型随机变量的比较。比较。比较。比较。23整理课件00.511y y= = = =x x24整理课件注：协方差虽然很小，但相关系数却比较大。所以协注：协方差虽然很小，但相关系数却比较大。所以协方差反映随机变量的相关程度不是很准确的。方差反映随机变量的相关程度不是很准确的。25整理课件例例12 12 【投资风险组合投资风险组合】设有一笔资金设有一笔资金, ,总量为总量为1,1,如如 今要投资甲、乙两种证券。若将资金今要投资甲、乙两种证券。若将资金x1投入甲证券，投入甲证券，余下资金余下资金x2=1-=1-x1投入乙证券，于是就形成了一个投资投入乙证券，于是就形成了一个投资组合。记组合。记X为投资甲证券的收益率，为投资甲证券的收益率，Y为投资乙证券的为投资乙证券的收益率，它们都是随机变量。若已知收益率，它们都是随机变量。若已知X、Y的均值和方的均值和方差分别是差分别是1 ，2 和和1 12 2，2 22 2 ，X和和Y的相关系数为的相关系数为。试求该投资组合的平均收益和风险，并求使风险最小试求该投资组合的平均收益和风险，并求使风险最小的的x1是多少？是多少？解：因为该组合的收益为解：因为该组合的收益为所以平均收益为所以平均收益为风险（方差）为风险（方差）为26整理课件按照求函数极值的方法可求出按照求函数极值的方法可求出这时，该组合投资的风险最小。这时，该组合投资的风险最小。27整理课件五、随机向量的数学期望与协方差阵五、随机向量的数学期望与协方差阵 对于多维随机变量，我们以矩阵的形式给出其对于多维随机变量，我们以矩阵的形式给出其 数学期望和方差。数学期望和方差。28整理课件为随机向量的方差为随机向量的方差协方差阵，简称协方差阵，协方差阵，简称协方差阵，协方差阵的重要性质协方差阵的重要性质n维随机向量的协方差阵维随机向量的协方差阵是一个对称的非负定矩阵是一个对称的非负定矩阵. .详见详见P180P180定理定理3.4.23.4.229整理课件作业：作业：30整理课件The End！ Thank You！Department of Mathematics31整理课件