小结与复习第21章 二次函数与反比例函数要点梳理考点讲练课堂小结课后作业要点梳理要点梳理 一般地，形如 (a，b，c是常数， _)的函数，叫做二次函数yax2bxca 注意 (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b0，c0时，yax2是特殊的二次函数1.二次函数的概念二次函数y=a(x-h)2+k yax2bxc开口方向对称轴顶点坐标最值a0a0增减性a0a02.二次函数的图象与性质：a0 开口向上a 0 开口向下x=h(h , k)y最小=ky最大=k在对称轴左边,x y;在对称轴右边, x y 在对称轴左边,x y;在对称轴右边, x yy最小=y最大=3.二次函数图像的平移yax2左、右平移 左加右减上、下平移 上加下减y-ax2写成一般形式沿x轴翻折4.二次函数表达式的求法1一般式法：yax2bxc (a 0)2顶点法：ya(xh)2k(a0)3交点法：ya(xx1)(xx2)(a0)5.二次函数与一元二次方程的关系 二次函数yax2bxc的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有两个重合的交点,没有交点.当二次函数yax2bxc的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2bxc=0的根.二次函数yax2bxc的图像和x轴交点一元二次方程ax2bxc=0的根一元二次方程ax2bxc=0根的判别式（b2-4ac）有两个交点有两个交点有两个相异的有两个相异的实数根实数根b2-4ac 0有两个重合有两个重合的交点的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根b2-4ac = 0没有交点没有交点没有实数根没有实数根b2-4ac 06.二次函数的应用1二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)； (2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解2一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间 的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义7. 反比例函数的概念定义：形如_ (k为常数，k0) 的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数三种表达式方法： 或 xykx 或ykx1 (k0)防错提醒：(1)k0；(2)自变量x0；(3)函数y0.8. 反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k0)的 图象是 ，它既是轴对称图形又是中心 对称图形. 反比例函数的两条对称轴为直线 和 ； 对称中心是： .双曲线原点y = xy=x(2) 反比例函数的性质 图象所在象限性质(k0)k0一、三象限(x，y同号)在每个象限内，y 随 x 的增大而减小k0二、四象限(x，y异号)在每个象限内，y 随 x 的增大而增大xyoxyo(3) 反比例函数比例系数 k 的几何意义 k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积 (xyk) 为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|.规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数 9. 反比例函数的应用利用待定系数法确定反比例函数： 根据两变量之间的反比例关系，设 ； 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对 对应值，求出 k 的值； 写出解析式.反比例函数与一次函数的图象的交点的求法求直线 yk1xb (k10) 和双曲线 (k20)的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方程组.利用反比例函数相关知识解决实际问题过程：分析实际情境建立函数模型明确 数学问题注意：实际问题中的两个变量往往都只能取 非负值.考点一求抛物线的顶点、对称轴、最值考点讲练考点讲练例1 抛物线yx22x3的顶点坐标为_【解析】方法一：配方，得yx22x3(x1)22，则顶点坐标为(1,2)方法二代入公式 ， ，则顶点坐标为(1,2)(1,2) 解决此类题目可以先把二次函数yax2bxc配方为顶点式ya(xh)2k的形式，得到：对称轴是直线xh，最值为yk，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解.方法归纳1对于y2(x3)22的图像下列叙述正确的是()A顶点坐标为(3,2) B对称轴为y3C当x3时，y随x的增大而增大 D当x3时，y随x的增大而减小C针对训练考点二二次函数的图像与性质及函数值的大小比较例2 二次函数yx2bxc的图像如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图像上，且x1x21，则y1与y2的大小关系是() A. y1y2 By1y2【解析】由图像看出，抛物线开口向下，对称轴是x1，当x1时，y随x的增大而增大x1x21，y11可得2ab0，故正确；由图像上横坐标为 x2的点在第三象限可得4a2bc0，故正确；由图像上横坐标为x1的点在第四象限得出abc0，由图像上横坐标为x1的点在第二象限得出 abc0，则(abc)(abc)0，即(ac)2b20，可得(ac)2b2，故正确故选D.方法总结1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b0对称轴是y轴；a、b同号对称轴在y轴左侧；a、b异号对称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.2.当x1时，函数yabc.当图像上横坐标x1的点在x轴上方时，abc0；当图像上横坐标x1的点在x轴上时，abc0；当图像上横坐标x1的点在x轴下方时，abc0.同理，可由图像上横坐标x1的点判断abc的符号.3.已知二次函数y=x22bxc，当x1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ） Ab1 Bb1 Cb1 Db1针对训练解析：二次项系数为10，抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x1时，y的值随x值的增大而减小，抛物线y=x22bxc的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=x22bxc的对称轴 ，即b1，故选择D .考点四抛物线的几何变换例4 将抛物线yx26x5向上平移 2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是()Ay(x4)26 By(x4)22Cy(x2)22 Dy(x1)23【解析】因为yx26x5(x3)24，所以向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的解析式为y(x31)242，即y (x4)22.故选B.4.若抛物线 y=7(x+4)21平移得到 y=7x2，则可能（ ）A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位B针对训练考点五二次函数表达式的确定例5 已知关于x的二次函数,当x=1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式.待定系数法解：设所求的二次函数为yax2+bxc, 由题意得：解得, a=2,b=3,c=5. 所求的二次函数为y2x23x5.5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x23x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x23x+7的形状 相同 a=1或1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,5) 所以其表达式为: (1) y=(x1)2+5 (2) y=(x1)25 (3) y=(x1)2+5 (4) y=(x1)25 针对训练例6 若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）Ax1=0，x2=6Bx1=1，x2=7Cx1=1，x2=7 Dx1=1，x2=7解析：二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3， =3，解得m=6， 关于x的方程x2+mx=7可化为x26x7=0， 即(x+1)(x7)=0，解得x1=1，x2=7 故选D考点六二次函数与一元二次方程例7某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数ykxb，且x65时，y55；x75时，y45.(1)求一次函数的表达式；(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？考点七二次函数的应用解：(1)根据题意，得解得k=-1,b=120.故所求一次函数的表达式为y=-x+120.(2)W=(x-60)(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,抛物线的开口向下， 当x90时，W随x的增大而增大，而60x60（1+45%），即60x87,当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891.例8如图，梯形ABCD中，ABDC，ABC90，A45，AB30，BCx，其中15x30.作DEAB于点E，将ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G.(1)用含有x的代数式表示BF的长；(2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式；(3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值解：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x,AB=30.BF=2x-30.（2）F=A=45，CBF-=ABC=90，BGF=F=45，BG=BF=2x-30.所以SDEF-SGBF= DE2- BF2= x2- (2x-30)2= x2+60x-450.（3）S= x2+60x-450= (x-20)2+150.a= 0,152030，当x=20时，S有最大值， 最大值为150.考点八反比例函数的概念针对训练1. 下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数? y = 3x1 y = 2x2 y = 3x2. 已知点 P(1，3) 在反比例函数 的图象上， 则 k 的值是 ( ) A. 3B. 3 C. D. B3. 若 是反比例函数，则 a 的值为 ( ) A. 1 B. 1 C. 1 D. 任意实数A例9 已知点 A(1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3) 都在反比例函数 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ( )A. y3y1y2 B. y1y2y3C. y2y1y3 D. y3y2y1解析：方法分别把各点代入反比例函数求出y1，y2，y3的值，再比较出其大小即可方法：根据反比例函数的图象和性质比较考点九反比例函数的图象和性质D 方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定 已知点 A (x1，y1)，B (x2，y2) (x10x2)都在反比例函数 (k 2 时，y 与 x 的函数解析式；解：当 x 2时，y 与 x 成反比例函数关系， 设解得 k 8.由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上，所以即Oy/毫克x/小时24(3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有 效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？解：当 0x2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x2， 解得x1，1x2； 当 x2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2，解得 x 4. 2 x 4.所以服药一次，治疗疾病的有效时间是 123 (小时)Oy/毫克x/小时24 二次函数二次函数的概念二次函数与一元二次方程的联系二次函数的图象与性质课堂小结课堂小结不共线三点确定二次函数的表达式二次函数的应用课堂小结课堂小结反比例函数定义图象性质x，y 的取值范围增减性对称性k 的几何意义应用在实际生活中的应用在物理学科中的应用