学案学案2 2 函数的定义域与值域函数的定义域与值域 函数的定义函数的定义域与值域域与值域会求一些简单函数的定义域和值域会求一些简单函数的定义域和值域. . 凡是涉及到函数问题时凡是涉及到函数问题时,均要考虑函数的定义域均要考虑函数的定义域,因因此求定义域是必考内容此求定义域是必考内容,可独立考查可独立考查,也可渗透到大题中也可渗透到大题中;对值域的考查主要与求变量的取值范围融合在一起对值域的考查主要与求变量的取值范围融合在一起,常和常和方程与不等式、最值问题及应用性问题等结合起来方程与不等式、最值问题及应用性问题等结合起来. 1.定义：在函数定义：在函数y=f(x),xA中，自变量中，自变量x的取值范的取值范围围A叫做函数的叫做函数的 ；对应的函；对应的函数值的集合数值的集合f(x)|xA叫做函数的叫做函数的 . 2.一般地一般地,设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I ， 如果存在实如果存在实 数数M满足满足: (1)对于任意的对于任意的xI,都有都有f(x)M(m); (2)存在存在x0I,使得使得f(x0)=M(m). 那么那么,我们称我们称M(m)是函数是函数y=f(x)的的 .最大最大(小小)值值 定义域定义域 值域值域 考点考点考点考点1 1 求函数的定义域求函数的定义域求函数的定义域求函数的定义域 求下列函数的定义域求下列函数的定义域:(1) 函数函数f(x)=lg(x-2)的定义域是的定义域是 ；(2) 【分析分析分析分析】求函数定义域求函数定义域,应使函数的解析式有意义应使函数的解析式有意义,其其主要依据是主要依据是:分式函数，分母不等于零分式函数，分母不等于零;偶次根式函偶次根式函数，被开方式数，被开方式0;一次函数、二次函数的定义域为一次函数、二次函数的定义域为R.x0中的底数中的底数x0;y=ax，定义域为，定义域为R;y=logax，定义域为，定义域为x|x0. 4x+30 x 4x+31 x 5x-40 x 函数的定义域为函数的定义域为 【解析解析解析解析】 (1)由由由由x-20得得x2,函数的定义域为函数的定义域为(2,+). (2)由由得得 【评析评析评析评析】若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集解集.若函数定义域为空集，则函数不存在若函数定义域为空集，则函数不存在. 若函数若函数f(2x)的定义域是的定义域是-1,1，求函数，求函数f(log2x)的定的定义域为义域为_.【解析解析解析解析】 y=f(2x)的定义域是的定义域是-1,1, 2x2.y=f(x)的定义域是的定义域是 .由由 log2x2得得 x4.y=f(log2x）的定义域是）的定义域是 ,4.考点考点考点考点2 2 求函数的值域求函数的值域求函数的值域求函数的值域 求下列函数的值域求下列函数的值域:(1) (2)y=x- ;(3)y=x+ ;(4)y=x+ . 【分析分析分析分析】上述各题在求解之前上述各题在求解之前,先观察其特点先观察其特点,选择选择最优解法最优解法.【解析解析解析解析】 (1)解法一解法一: ,1+x21,0 2,-1y= -11,即即y(-1,1.解法二解法二:由由y= ,得得x2= .x20, 0,解得解得-10时时,y=x+ 2 =4,当且仅当当且仅当x=2时时,取等号取等号;当当x0时时, =-4,当且仅当当且仅当x=-2时时,取等号取等号.综上综上,所求函数的值域为所求函数的值域为(-,-44,+).解法二解法二:先证此函数的单调性先证此函数的单调性.任取任取x1,x2且且x1x2.f(x1)-f(x2)=x1+ -(x2+ ) = ,当当x1x2-2或或2x1x2时时,f(x)递增递增;当当-2x0或或0x1)，则，则a,b的值分别为的值分别为 . 【分析分析分析分析】利用对称轴确定函数的单调区间利用对称轴确定函数的单调区间. 【解析解析解析解析】 f(x)= (x-1)2+a- ,其对称轴为其对称轴为x=1,即即1,b为为f(x)的单调递增区间的单调递增区间.f(x)min=f(1)=a- =1, f(x)max=f(b)= b2-b+a=b, 由由解得解得 . 【评析评析评析评析】对定义域、值域的综合问题，要注意定义域对定义域、值域的综合问题，要注意定义域对定义域、值域的综合问题，要注意定义域对定义域、值域的综合问题，要注意定义域对函数值域的限制作用，即在定义域内用相应方法求值对函数值域的限制作用，即在定义域内用相应方法求值对函数值域的限制作用，即在定义域内用相应方法求值对函数值域的限制作用，即在定义域内用相应方法求值域域域域. .已知二次函数已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b是常数，且是常数，且a0)满足条满足条件：件：f(2)=0,且方程且方程f(x)=x有两个相等实根有两个相等实根.（1）求）求f(x)的解析式；的解析式；（2）是否存在实数）是否存在实数m,n(mn)，使，使f(x)的定义域和值域的定义域和值域分别为分别为m,n和和2m,2n?如存在，求出如存在，求出m,n的值；的值；如不存在，说明理由如不存在，说明理由.【解析解析解析解析】 (1)方程方程f(x)=x,即即ax2+bx=x,亦即亦即ax2+(b-1)x=0,由方程有两个相等实根，得由方程有两个相等实根，得=(b-1)2-4a0=0,b=1. 由由f(2)=0,得得4a+2b=0. 由由，得得a=- ,b=1.故故f(x)=- x2+x.(2)假设存在实数假设存在实数m,n满足条件，由（满足条件，由（1）知，）知，f(x)=- x2+x=- (x-1)2+ ,则则 2n ,即即n .f(x)=-(x-1)2+的对称轴为的对称轴为x=1,当当n 时，时，f(x)在在m,n上为增函数上为增函数.于是有于是有 ，即，即 , .又又m0,02x+11,- x-1且且x1,故定义域为故定义域为(-1,1)(1,+).故应选故应选C.)3.C(由已知得由已知得016-4x16,0 =4,即函数即函数y= 的值域是的值域是0,4).故应选故应选C.) 1.当函数是由解析式给出时当函数是由解析式给出时,其定义域是使解析式其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合有意义的自变量的取值集合. 2.当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）积必须大于零、人数必须为自然数等）. 3.要记住各种基本函数的值域；要记住具有什么结要记住各种基本函数的值域；要记住具有什么结构特点的函数用什么样的方法求值域构特点的函数用什么样的方法求值域. 求函数值域没有通用的方法和固定的模式，要靠求函数值域没有通用的方法和固定的模式，要靠求函数值域没有通用的方法和固定的模式，要靠求函数值域没有通用的方法和固定的模式，要靠在学习过程中不断积累，掌握规律，所以要记住各种在学习过程中不断积累，掌握规律，所以要记住各种在学习过程中不断积累，掌握规律，所以要记住各种在学习过程中不断积累，掌握规律，所以要记住各种基本函数的值域；要记住什么结构特点的函数用什么基本函数的值域；要记住什么结构特点的函数用什么基本函数的值域；要记住什么结构特点的函数用什么基本函数的值域；要记住什么结构特点的函数用什么样的方法求值域，即熟悉求函数值域的几种常用方法样的方法求值域，即熟悉求函数值域的几种常用方法样的方法求值域，即熟悉求函数值域的几种常用方法样的方法求值域，即熟悉求函数值域的几种常用方法，但在解决求值域问题时要注意选择最优解法，但在解决求值域问题时要注意选择最优解法，但在解决求值域问题时要注意选择最优解法，但在解决求值域问题时要注意选择最优解法. .