题型特点概述题型特点概述专题三专题三解答题的八个答题模板解答题的八个答题模板数数学学解解答答题题是是高高考考数数学学试试卷卷中中的的一一类类重重要要题题型型，通通常常是是高高考考的的把把关关题题和和压压轴轴题题，具具有有较较好好的的区区分分层层次次和和选选拔拔功功能能目目前前的的高高考考解解答答题题已已经经由由单单纯纯的的知知识识综综合合型型转转化化为为知知识识、方方法法和和能能力力的的综综合合型型解解答答题题在在高高考考考考场场上上，能能否否做做好好解解答答题题，是是高高考考成成败败的的关关键键，因因此此，在在高高考考备备考考中中学学会会怎怎样样解解题题，是是一一项项重重要要的的内内容容本本节节以以著著名名数数学学家家波波利利亚亚的的怎怎样样解解题题为为理理论论依依据据，结结合合具具体体的的题题目目类类型型，来来谈谈一一谈谈解解答答数数学学解解答答题题的的一一般般思思维维过过程程、解解题题程程序序和和答答题题格格式式，即所谓的即所谓的“答题模板答题模板”1“答答题题模模板板”就就是是首首先先把把高高考考试试题题纳纳入入某某一一类类型型，把把数数学学解解题题的的思思维维过过程程划划分分为为一一个个个个小小题题，按按照照一一定定的的解解题题程程序序和和答答题题格格式式分分步步解解答答，即即化化整整为为零零强强调调解解题题程程序序化化，答答题题格格式式化化，在在最最短短的的时时间间内内拟拟定定解解决决问问题的最佳方案，实现答题效率的最优化题的最佳方案，实现答题效率的最优化2u模板模板4利用空间向量求角问题利用空间向量求角问题u模板模板1三角变换与三角函数的性质问题三角变换与三角函数的性质问题u模板模板2解三角形问题解三角形问题u模板模板3数列的通项、求和问题数列的通项、求和问题u模板模板5圆锥曲线中的范围问题圆锥曲线中的范围问题u模板模板6解析几何中的探索性问题解析几何中的探索性问题u模板模板7离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差u模板模板8函数的单调性、极值、最值问题函数的单调性、极值、最值问题目目录录页页3模板模板1三角变换与三角函数的性质问题三角变换与三角函数的性质问题不同角化同角不同角化同角审审题题路路线线图图降幂扩角降幂扩角化化f(x)Asin(x)h结合性质求解结合性质求解4f(x)取得最大值取得最大值3；f(x)取得最小值取得最小值1.规规范范解解答答示示例例5构构建建答答题题模模板板第一步化简：三角函数式的化简，一般化成第一步化简：三角函数式的化简，一般化成y= Asin(x)h的形的形式，即化为式，即化为“一角、一次、一函数一角、一次、一函数”的形式的形式第二步整体代换：将第二步整体代换：将x看作一个整体，利用看作一个整体，利用 ysin x，ycos x的的性质确定条件性质确定条件第三步求解：利用第三步求解：利用x的范围求条件解得函数的范围求条件解得函数 yAsin(x)h的性质，写出结果的性质，写出结果第四步反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检第四步反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性查规范性.6789模板模板2解三角形问题解三角形问题(1)求证：求证：a，b，c成等差数列；成等差数列；(2)求角求角B的取值范围的取值范围审审题题路路线线图图(1)化简变形化简变形用余弦定理转化为边的关系用余弦定理转化为边的关系变形证明变形证明(2)用余弦定理表示角用余弦定理表示角用基本不等式求范围用基本不等式求范围确定角的取值范围确定角的取值范围10规规范范解解答答示示例例所以所以ac(acos Cccos A)3b，整理，得整理，得ac2b，故，故a，b，c成等差数列成等差数列11构构建建答答题题模模板板第一步定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形第一步定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向中标注出来，然后确定转化的方向第二步定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工第二步定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化具，实施边角之间的互化第三步求结果第三步求结果第四步再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方第四步再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形.1213由余弦定理，得由余弦定理，得a2c2b22accos B.因为因为ac，所以，所以a3，c2.解解(2)在在ABC中，中，因为因为abc，所以，所以C为锐角，为锐角，于是于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C14模板模板3数列的通项、求和问题数列的通项、求和问题变变式式训训练练1(2014江江西西)已已知知首首项项都都是是1的的两两个个数数列列an，bn(bn0，nN*)满足满足anbn1an1bn2bn1bn0.审审题题路路线线图图(1) anbn1an1bn2bn1bn0 cn1cn2 cn2n1(2)cn2n1 an( (2n1) )3n1得得Sn15规规范范解解答答示示例例解解(1)因为因为anbn1an1bn2bn1bn0(bn0，nN*)，所以数列所以数列cn是以首项是以首项c11，公差，公差d2的等差数列，故的等差数列，故cn2n1.(2)由由bn3n1知知ancnbn(2n1)3n1，于是数列于是数列an的前的前n项和项和Sn130331532(2n1)3n1，3Sn131332(2n3)3n1(2n1)3n，相减得相减得2Sn12(31323n1)(2n1)3n2(2n2)3n，所以所以Sn(n1)3n1.16构构建建答答题题模模板板第一步找递推：根据已知条件确定数列相邻两项第一步找递推：根据已知条件确定数列相邻两项 之间的之间的关系，即找数列的递推公式关系，即找数列的递推公式第二步求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数第二步求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式第三步定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方第三步定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)第四步写步骤：规范写出求和步骤第四步写步骤：规范写出求和步骤第五步再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题第五步再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范规范.1718又数列又数列an是等比数列，是等比数列，当当n2时，时，bnSnSn1n2(n1)22n1，当当n1时，时，b11也适合此通项公式也适合此通项公式bn2n1 (nN*)1920模板模板4利用空间向量求角问题利用空间向量求角问题例例4(2014山山东东)如如图图，在在四四棱棱柱柱ABCDA1B1C1D1中中，底底面面ABCD是是等等腰腰梯梯形形，DAB60，AB2CD2，M是线段是线段AB的中点的中点(1)求证：求证：C1M平面平面A1ADD1；(2)若若CD1垂垂直直于于平平面面ABCD且且CD1 ，求求平平面面C1D1M和平面和平面ABCD所成的角所成的角(锐角锐角)的余弦值的余弦值21审审题题路路线线图图(1) M是是AB中点，四边形中点，四边形ABCD是等腰梯形是等腰梯形CDAM CDAM AMC1D1C1M平面平面A1ADD1(2)CA，CB，CD1两两垂直两两垂直建立空间直角坐标系，写各点坐标建立空间直角坐标系，写各点坐标求平面求平面ABCD的法向量的法向量将所求两个平面所成的角转化为两个向量的夹角将所求两个平面所成的角转化为两个向量的夹角22规规范范解解答答示示例例(1)证明证明因为四边形因为四边形ABCD是等腰梯形，是等腰梯形，且且AB2CD，所以，所以ABDC.又由又由M是是AB的中点，因此的中点，因此CDMA且且CDMA.连接连接AD1，如图，如图(1)在四棱柱在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，中，因为因为CDC1D1，CDC1D1，可得可得C1D1MA，C1D1MA，23所以四边形所以四边形AMC1D1为平行四边形，为平行四边形，因为因为C1MD1A.又又C1M 平面平面A1ADD1，D1A 平面平面A1ADD1，所以所以C1M平面平面A1ADD1.(2)解解方法一如图方法一如图(2)，连接，连接AC，MC.由由(1)知知CDAM且且CDAM，所以四边形所以四边形AMCD为平行四边形，为平行四边形，24可得可得BCADMC，由题意得由题意得ABCDAB60，所以所以MBC为正三角形，为正三角形，因此因此CACB.以以C为坐标原点，建立如图为坐标原点，建立如图(2)所示的空间直角坐所示的空间直角坐标系标系Cxyz，设平面设平面C1D1M的一个法向量为的一个法向量为n(x，y，z)，2526方法二由方法二由(1)知平面知平面D1C1M平面平面ABCDAB，过点过点C向向AB引垂线交引垂线交AB于点于点N，连接连接D1N，如图，如图(3)由由CD1平面平面ABCD，可得可得D1NAB，因此因此D1NC为二面角为二面角C1ABC的平面角的平面角在在RtBNC中，中，BC1，NBC60，所以所以RtD1CN中，中，27构构建建答答题题模模板板第一步找垂直：找出第一步找垂直：找出(或作出或作出)具有公共交点的三条两两垂具有公共交点的三条两两垂直的直线直的直线第二步写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标第二步写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标第三步求向量：求直线的方向向量或平面的法向量第三步求向量：求直线的方向向量或平面的法向量第四步求夹角：计算向量的夹角第四步求夹角：计算向量的夹角第五步得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面第五步得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角所成的角.28变式训练变式训练4如图所示，在直三棱柱如图所示，在直三棱柱A1B1C1ABC中，中，ABAC，ABAC2，A1A4，点，点D是是BC的的中点中点(1)求异面直线求异面直线A1B与与C1D所成角的余弦值；所成角的余弦值；(2)求平面求平面ADC1与平面与平面ABA1所成二面角的正弦值所成二面角的正弦值29则则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,4)，D(1,1,0)，C1(0,2,4)30设平面设平面ADC1的法向量为的法向量为m(x，y，z)，取取z1，得，得y2，x2，所以平面，所以平面ADC1的一个法向量为的一个法向量为m(2，2,1)设平面设平面ADC1与平面与平面ABA1所成二面角为所成二面角为，31模板模板5圆锥曲线中的范围问题圆锥曲线中的范围问题(1)求椭圆求椭圆C的方程；的方程；(2)求求m的取值范围的取值范围32审审题题路路线线图图(1) 设方程设方程 解系数解系数 得结论得结论(2) 设设l：ykxml，c相交相交0得得m，k的不等式的不等式得得m，k关系式关系式代入代入m，k的不等式消的不等式消k 得得m范围范围33规规范范解解答答示示例例设设c0，c2a2b2，34(2)设直线设直线l的方程为的方程为ykxm(k0)，l与椭圆与椭圆C的交点坐标为的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，(2km)24(k22)(m21)4(k22m22)0，(*)整理得整理得4k2m22m2k220， 即即k2(4m21)(2m22)0.35由由(*)式，得式，得k22m22，36构构建建答答题题模模板板第一步提关系：从题设条件中提取不等关系式第一步提关系：从题设条件中提取不等关系式第二步找函数：用一个变量表示目标变量，代入第二步找函数：用一个变量表示目标变量，代入 不等关系式不等关系式第三步得范围：通过求解含目标变量的不等式，第三步得范围：通过求解含目标变量的不等式， 得所求参数的范围得所求参数的范围第四步再回顾：注意目标变量的范围所受题中其第四步再回顾：注意目标变量的范围所受题中其 他因素的制约他因素的制约.3738由点到直线的距离公式，且由点到直线的距离公式，且a1，39模板模板6解析几何中的探索性问题解析几何中的探索性问题40审审题题路路线线图图41规规范范解解答答示示例例解解(1)依题意，直线依题意，直线AB的斜率存在，的斜率存在，设直线设直线AB的方程为的方程为yk(x1)，将将yk(x1)代入代入x23y25，消去，消去y整理得整理得(3k21)x26k2x3k250.42(k21)x1x2(k2m)(x1x2)k2m2.43()当直线当直线AB与与x轴垂直时，轴垂直时，44构构建建答答题题模模板板第一步先假定：假设结论成立第一步先假定：假设结论成立第二步再推理：以假设结论成立为条件，进行推理第二步再推理：以假设结论成立为条件，进行推理 求解求解第三步下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯第三步下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯 定假设；若推出矛盾则否定假设定假设；若推出矛盾则否定假设第四步再回顾：查看关键点，易错点第四步再回顾：查看关键点，易错点(特殊情况、隐特殊情况、隐 含条件等含条件等)，审视解题规范性，审视解题规范性.45(1)求双曲线求双曲线E的离心率的离心率(2)如图，如图，O为坐标原点，动直线为坐标原点，动直线l分别交分别交直线直线l1，l2于于A，B两点两点(A，B分别在第一、分别在第一、四象限四象限)，且，且OAB的面积恒为的面积恒为8.试探究：试探究：是否存在总与直线是否存在总与直线l有且只有一个公共点的有且只有一个公共点的双曲线双曲线E？若存在，求出双曲线？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由的方程；若不存在，说明理由46设直线设直线l与与x轴相交于点轴相交于点C.当当lx轴时，若直线轴时，若直线l与双曲线与双曲线E有且只有一个公共点，有且只有一个公共点，则则|OC|a，|AB|4a.又因为又因为OAB的面积为的面积为8，若存在满足条件的双曲线若存在满足条件的双曲线E，47设直线设直线l的方程为的方程为ykxm，依题意，依题意，记记A(x1，y1)，B(x2，y2)以下证明：当直线以下证明：当直线l不与不与x轴垂直时，轴垂直时，即即m24|4k2|4(k24)48得得(4k2)x22kmxm2160.因为因为4k20，所以所以4k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)又因为又因为m24(k24)，所以所以0，即，即l与双曲线与双曲线E有且只有一个公共点有且只有一个公共点49设直线设直线l的方程为的方程为xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)设直线设直线l与与x轴相交于点轴相交于点C，则，则C(t,0)所以所以t24|14m2|4(14m2)50得得(4m21)y28mty4(t2a2)0.因因为为4m212或或k2.得得(4k2)x22kmxm20.又因为又因为OAB的面积为的面积为8，化简，得化简，得x1x24.得得(4k2)x22kmxm24a20.52因因为为4k20，直直线线l与与双双曲曲线线E有有且且只只有有一一个个公公共共点点当当且且仅仅当当4k2m24(4k2)(m24a2)0，即，即(k24)(a24)0，所以，所以a24，当当lx轴时，由轴时，由OAB的面积等于的面积等于8可得可得l：x2，53模板模板7离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差54审审题题路路线线图图(1) 标记事件标记事件对事件分解对事件分解计算概率计算概率(2) 确定确定取值取值计算概率计算概率 得分布列得分布列 求数学期望求数学期望55规规范范解解答答示示例例解解(1)设甲、乙闯关成功分别为事件设甲、乙闯关成功分别为事件A、B，则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是解解(2)由题意知由题意知的可能取值是的可能取值是1,2.则则的分布列为的分布列为56构构建建答答题题模模板板第一步定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值第一步定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值第二步定性：明确每个随机变量取值所对应的事件第二步定性：明确每个随机变量取值所对应的事件第三步定型：确定事件的概率模型和计算公式第三步定型：确定事件的概率模型和计算公式第四步计算：计算随机变量取每一个值的概率第四步计算：计算随机变量取每一个值的概率第五步列表：列出分布列第五步列表：列出分布列第六步求解：根据均值、方差公式求解其值第六步求解：根据均值、方差公式求解其值.57变变式式训训练练7(2014江江西西)随随机机将将1,2，2n(nN*，n2)这这2n个个连连续续正正整整数数分分成成A，B两两组组，每每组组n个个数数，A组组最最小小数数为为a1，最最大大数数为为a2，B组组最最小小数数为为b1，最大数为，最大数为b2，记，记a2a1，b2b1.(1)当当n3时，求时，求的分布列和数学期望；的分布列和数学期望；(2)令令C表示事件表示事件“与与的取值恰好相等的取值恰好相等”，求事件，求事件C发生的概率发生的概率P(C)；58解解(1)当当n3时，时，的所有可能取值为的所有可能取值为2,3,4,5.将将6个正整数平均分成个正整数平均分成A，B两组，不同的分组方法共有两组，不同的分组方法共有 20(种种)，所以所以的分布列为的分布列为解解(2)和和恰好相等的所有可能取值为恰好相等的所有可能取值为n1，n，n1，2n2.又又和和恰好相等且等于恰好相等且等于n1时，不同的分组方法有时，不同的分组方法有2种；种；和和恰好相等且等于恰好相等且等于n时，不同的分组方法有时，不同的分组方法有2种；种；和和恰恰好好相相等等且且等等于于nk(k1,2，n2)(n3)时时，不不同同的的分分组组方方法法有有2 种；种；59用数学归纳法来证明：用数学归纳法来证明：2假设假设nm(m3)时时式成立，式成立，60即当即当nm1时时式也成立式也成立61模板模板8函数的单调性、极值、最值问题函数的单调性、极值、最值问题(1)当当a1时时，求求曲曲线线yf(x)在在点点(2，f(2)处处的的切切线线方程；方程；(2)当当a0时，求函数时，求函数f(x)的单调区间与极值的单调区间与极值62审审题题路路线线图图63规规范范解解答答示示例例所以，曲线所以，曲线yf(x)在点在点(2，f(2)处的切线方程为处的切线方程为由于由于a0，以下分两种情况讨论，以下分两种情况讨论64当当x变化时，变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：x(， )( ，a)a(a，)f(x)00f(x)极小值极小值极大值极大值65当当x变化时，变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：x(，a)a(a， )( ，)f(x)00f(x)极大值极大值极小值极小值函数函数f(x)在在x1a处取得极大值处取得极大值f(a)，且，且f(a)1.66构构建建答答题题模模板板第一步求导数：求第一步求导数：求f(x)的导数的导数f(x)注意注意f(x)的定义域的定义域.第二步解方程：解第二步解方程：解f(x)0，得方程的根，得方程的根.第三步列表格：利用第三步列表格：利用f(x)0的根将的根将f(x)定义域分成若干个定义域分成若干个小开区间，并列出表格小开区间，并列出表格.第四步得结论：从表格观察第四步得结论：从表格观察f(x)的单调性、极值、最值等的单调性、极值、最值等.第五步再回顾：对需讨论根的大小问题要特殊注意，另第五步再回顾：对需讨论根的大小问题要特殊注意，另外观察外观察f(x)的间断点及步骤规范性的间断点及步骤规范性.67变变式式训训练练8(2014重重庆庆)已已知知函函数数f(x)ae2xbe2xcx(a，b，cR)的的导导函函数数f(x)为为偶偶函函数数，且且曲曲线线yf(x)在点在点(0，f(0)处的切线的斜率为处的切线的斜率为4c.(1)确定确定a，b的值；的值；(2)若若c3，判断，判断f(x)的单调性；的单调性；(3)若若f(x)有极值，求有极值，求c的取值范围的取值范围68解解(1)对对f(x)求导，得求导，得f(x)2ae2x2be2xc，由由f(x)为偶函数，知为偶函数，知f(x)f(x)恒成立，恒成立，即即2(ab)(e2xe2x)0恒成立，所以恒成立，所以ab.又又f(0)2a2bc4c，故，故a1，b1.(2)当当c3时，时，f(x)e2xe2x3x，故故f(x)在在R上为增函数上为增函数(3)由由(1)知知f(x)2e2x2e2xc，当当x0时等号成立时等号成立69当当x1xx2时，时，f(x)x2时时,f(x)0，从而，从而f(x)在在xx2处取得极小值处取得极小值综上，若综上，若f(x)有极值，则有极值，则c的取值范围为的取值范围为(4，)下面分三种情况进行讨论下面分三种情况进行讨论当当c0，此时，此时f(x)无极值；无极值；当当c4时，对任意时，对任意x0，f(x)2e2x2e2x40，此时，此时f(x)无极值；无极值；70