目标规划单纯形法的求解步骤例 * 题目标规划求解问题过程目标规划求解问题过程明确问题，列出明确问题，列出( (或修改或修改) )目标的优先级和权系数目标的优先级和权系数构造目标构造目标规划的模型规划的模型求出求出满意解满意解满意否？满意否？分析各项目分析各项目表完成情况表完成情况据此制定出据此制定出决策方案决策方案是是否否 由目标规划数学模型的标准型可看出，它实质上是由目标规划数学模型的标准型可看出，它实质上是 最小化的线性规划，所以可用单纯形法求解最小化的线性规划，所以可用单纯形法求解 这这时时，我我们们应应该该把把目目标标优优先先等等级级系系数数P Pi i（i i = = 1, 1, 2, 2, , , k k）理理解解为为一一种种特特殊殊的的正正常常数数，且且注注意意到到各各等等级级系系数数之间的关系：之间的关系：P P1 1P P2 2 P Pk k 而检验数就是各优先因子而检验数就是各优先因子P P1 1, , P P2 2 , , , P Pk k的线性组合。的线性组合。当所有检验数都满足最优性条件（当所有检验数都满足最优性条件（ ）时，从最终表上即可得出目标规划的解）时，从最终表上即可得出目标规划的解ci - zj = kj Pk ,j=1,2,n ; k=1,2,KP Pk k是指不同数量的很大的数是指不同数量的很大的数 d d- -是松弛变量是松弛变量 d d+ +是剩余是剩余变量变量P Pk kMPMPk+1 k+1 (M(M是任意大的正数）是任意大的正数）例例例例: : 用单纯形法求解下面目标规划问题用单纯形法求解下面目标规划问题: : 解：解：解：解：引入松驰变量引入松驰变量 x x3 3 , , 将它们化为标准型：将它们化为标准型： cj 0 0 0 P1 0 0 P2 P3 0 CB XB b x1 x2 x3 0 x3 60 5 10 1 0 0 0 0 0 0 P1 0 1 -2 0 1 -1 0 0 0 0 0 36 4 4 0 0 0 1 -1 0 0 P3 48 6 8 0 0 0 0 0 1 -1 P1 -1 2 0 0 1 0 0 0 0 P2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 P3 -6 -8 0 0 0 0 0 0 1 0 x3 60 0 20 1 -5 5 0 0 0 0 0 x1 0 1 -2 0 1 -1 0 0 0 0 0 36 0 12 0 -4 4 1 -1 0 0 P3 48 020 0 -6 6 0 0 1 -1 P1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 P2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 P3 0-20 0 6 -6 0 0 0 1单单纯纯形形表表1 cj 0 0 0 P1 0 0 P2 P3 0 CB XB b x1 x2 x3 0 x3 60 0 20 1 -5 5 0 0 0 0 0 x1 0 1 -2 0 1 -1 0 0 0 0 0 36 0 12 0 -4 4 1 -1 0 0 P3 48 020 0 -6 6 0 0 1 -1 P1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 P2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 P3 0-20 0 6 -6 0 0 0 1 0 x312 0 0 1 1 -1 0 0 -1 1 0 x124/5 1 0 0 2/5 -2/5 0 01/10-1/10 036/5 0 0 0 -2/5 2/5 1 -1-3/5 3/5 0 x212/5 0 1 0-3/10 3/10 0 01/20-1/20 P1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 P2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 P3 0 0 0 0 0 0 0 1 0单单纯纯形形表表1全部检验数非全部检验数非负，计算结束。负，计算结束。2 2 2 2最优性检验最优性检验最优性检验最优性检验 目标规划的最优性检验是分优先级进行的，目标规划的最优性检验是分优先级进行的，目标规划的最优性检验是分优先级进行的，目标规划的最优性检验是分优先级进行的，从从从从P P P P1 1 1 1级开始依次到级开始依次到级开始依次到级开始依次到P P P Pk k k k 级为止，级为止，级为止，级为止，具体检验具体检验具体检验具体检验P P P Pi i i i 级目标级目标级目标级目标 时，可能有下述三种情况时，可能有下述三种情况时，可能有下述三种情况时，可能有下述三种情况 （1 1 1 1）若检验数矩阵的若检验数矩阵的若检验数矩阵的若检验数矩阵的P P P Pi i i i 行系数均行系数均行系数均行系数均0 0 0 0，则，则，则，则P P P Pi i i i 级目标已达最优，级目标已达最优，级目标已达最优，级目标已达最优， 应转入对应转入对应转入对应转入对P P P Pi+1i+1i+1i+1 级目标的寻优，直到级目标的寻优，直到级目标的寻优，直到级目标的寻优，直到 i = ki = ki = ki = k，计算结束。，计算结束。，计算结束。，计算结束。 1 1、建立初始单纯形表。、建立初始单纯形表。 一般假定初始解在原点，一般假定初始解在原点，即以约束条件中的即以约束条件中的所有负偏差变量或松弛变量为初始基变量所有负偏差变量或松弛变量为初始基变量， 按目标优先等级从左至右分别计算出各列的检验数，按目标优先等级从左至右分别计算出各列的检验数，填入表的下半部填入表的下半部 ，得检验数矩阵。，得检验数矩阵。单纯形法的计算步骤：单纯形法的计算步骤：单纯形法的计算步骤：单纯形法的计算步骤：（2 2）若检验数矩阵的若检验数矩阵的P Pi i 中有负系数，中有负系数，且负系数所在列的且负系数所在列的前前i i-1-1行优先因子的系数全为行优先因子的系数全为0 0 ( ( 例如例如 -P-P-P-P2 2 2 2 +223 P+223 P+223 P+223 P3 3 3 3 0000000），即即整整个个检检验验数数的的值值可可判判为为正正（因因P Pi i-1-1P Pi i ），故故也也应应转转入入对对P Pi i+1+1级级目目标标的的寻寻优优，否否则则会使高优先级别的目标函数值劣化会使高优先级别的目标函数值劣化 3 3 3 3基变换基变换基变换基变换 入基变量的确定：入基变量的确定：在在P Pk k行，从那些上面没有行，从那些上面没有 正检验数正检验数 的负检验数中，选绝对值最大者，对应的变量的负检验数中，选绝对值最大者，对应的变量x xs s就是进基变就是进基变量。量。若若P Pk k行行中中有有几几个个相相同同的的绝绝对对值值最最大大者者，则则依依次次比比较较它它们们各各列列下下部部的的检检验验数数，取取其其绝绝对对值值最最大大的的负负检检验验数数的的所所在在列列的的x xs s为为进基变量。进基变量。假假如如仍仍无无法法确确定定，则则选选最最左左边边的的变变量量（变变量量下下标标小小者者）为为进进基变量。基变量。 出基变量的确定：出基变量的确定：按最小非负比值规则确定出基变量，当存在两个或两个按最小非负比值规则确定出基变量，当存在两个或两个 以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换出变量。出变量。 主元素的确定：主元素的确定：出基变量与入基变量在系数矩阵中对应的交叉点上的元素即出基变量与入基变量在系数矩阵中对应的交叉点上的元素即为主元素为主元素 迭代变换：迭代变换：同线性规划的同线性规划的单纯形单纯形法法得到新的单纯形表，获得一组新解得到新的单纯形表，获得一组新解对求得的解进行分析：对求得的解进行分析： 若计算结果满意，停止运算；若计算结果满意，停止运算； 若不满意，需修改模型，即调整目标优先等级和权系数，若不满意，需修改模型，即调整目标优先等级和权系数， 或者改变目标值，重新进行第或者改变目标值，重新进行第1 1步。步。 4 4从从从从表表表表中中中中找找找找到到到到基基基基本本本本可可可可行行行行解解解解和和和和相相相相应应应应于于于于各各各各优优优优先先先先级级级级的的的的目目目目标标标标函函函函数数数数值值值值 每每个个单单纯纯形形表表中中常常数数列列b b，即即为为各各基基变变量量的的相相应应取值取值本本题题最最后后一一个个单单纯纯形形表表已已为为最最优优，它它对对应应的的基基本本可可行行解解：x x1 1=24/5, =24/5, x x2 2=12/5, =12/5, x x3 3=12, =12, d d2 2- -=36/5=36/5，即即为为最最优优解解这这与图解法得到结果一致与图解法得到结果一致 注注注注意意意意：在在最最优优单单纯纯形形表表中中非非基基变变量量d d1 1+ +和和d d3 3+ +的的检检验验数数都都是是零零，故知本题有多个最优解故知本题有多个最优解 如以如以 d d1 1+ +为入基变量继续迭代，可得单纯形表为入基变量继续迭代，可得单纯形表2 2，如以如以d d3 3+ +为入基变量继续迭代，可得单纯形表为入基变量继续迭代，可得单纯形表3 3 cj 0 0 0 P1 0 0 P2 P3 0 CB XB b x1 x2 x3 0 x3 60 0 20 1 -5 5 0 0 0 0 0 x1 0 1 -2 0 1 -1 0 0 0 0 0 36 0 12 0 -4 4 1 -1 0 0 P3 48 020 0 -6 6 0 0 1 -1 P1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 P2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 P3 0-20 0 6 -6 0 0 0 1 0 x312 0 0 1 1 -1 0 0 -1 1 0 x124/5 1 0 0 2/5 -2/5 0 01/10-1/10 036/5 0 0 0 -2/5 2/5 1 -1-3/5 3/5 0 x212/5 0 1 0-3/10 3/10 0 01/20-1/20 P1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 P2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 P3 0 0 0 0 0 0 0 1 0单纯形表单纯形表1 cj 0 0 0 P1 0 0 P2 P3 0 CB XB b x1 x2 x3 0 x3 20 010/3 1 0 0 0 0 -5/6 5/6 0 x1 8 1 4/3 0 0 0 0 0 1/6-1/6 0 4 0 -4/3 0 0 0 1 -1 -2/3 2/3 0 8 010/3 0 -1 1 0 0 1/6-1/6 P1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 P2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 P3 0 0 0 0 0 0 0 1 0表表表表2 2 2 2续单纯形表续单纯形表续单纯形表续单纯形表1 1 1 1 cj 0 0 0 P1 0 0 P2 P3 0 CB XB b x1 x2 x3 0 12 0 0 1 1 -1 0 0 -1 1 0 x1 6 1 0 1/10 1/2 -1/2 0 0 0 0 0 0 0 0 -3/5 -1 1 1 -1 0 0 0 x2 3 0 1 1/20 -1/4 1/4 0 0 0 0 P1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 P2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 P3 0 0 0 0 0 0 0 1 0表表表表3 3 3 3续单纯形表续单纯形表续单纯形表续单纯形表1 1 1 1例：例：用单纯形法求解下列目标规划问题用单纯形法求解下列目标规划问题用单纯形法求解下列目标规划问题用单纯形法求解下列目标规划问题Cj 000P1 P2 P2P3 00CBXBbx1x2 x3 00111100000P210120011000 P3 5681000001100 x3 11210000001kjP1 0000100000P2 -10120002000P3 -568100000010Cj 000P1 P2 P2P3 00CBXBbx1x2 x3 053/20111/2-1/20000x251/21001/2-1/2000 P3 63000-551100 x3 63/2000-1/21/2001kjP1 0000100000P2 0000011000P3 -630005-5010= min10/3,10,6/3,12/3= 2,故故 为换出变量。为换出变量。Cj 000P1 P2 P2P3 00CBXBbx1x2 x3 0200113-3-1/21/200x2401004/3-4/3-1/61/600 x121000-5/35/31/3-1/300 x3 300002-2-1/21/21kjP1 0000100000P2 0000011000P3 0000000100 最优解为最优解为x12 2， x2 4 4。 但非基变量但非基变量 的检的检验数为零，故此题有无穷多最优解。验数为零，故此题有无穷多最优解。= min4 , 24 , 6= 4,故故 为换出变量。为换出变量。Cj 000P1 P2 P2P3 00CBXBbx1x2 x3 04002-26-6-1100x210/301-1/31/31/3-1/30000 x110/3102/3-2/31/3-1/30000 x3 100-11-11001kjP1 0000100000P2 0000011000P3 000000100 最优解为最优解为x110/3,，x2 =10/3。则这两个解得凸组合都是本例的满意解。则这两个解得凸组合都是本例的满意解。例例 : : 用单纯形法求解下述目标规划问题：用单纯形法求解下述目标规划问题：解解 : : 第一步：列出初始单纯形表第一步：列出初始单纯形表第二步：确定换入变量第二步：确定换入变量 第三步：确定换出变量第三步：确定换出变量第四步：用换入变量替换基变量中的换出变量第四步：用换入变量替换基变量中的换出变量 例、例、例、例、已知一个生产计划的线性规划模型为已知一个生产计划的线性规划模型为 其中目标函数为总利润，其中目标函数为总利润，x x1 1,x,x2 2 为产品为产品A A、B B产量。现有产量。现有下列目标：下列目标： 1 1、要求总利润必须超过、要求总利润必须超过 2500 2500 元；元； 2 2、考虑产品受市场影响，为避免积压，、考虑产品受市场影响，为避免积压，A A、B B的生产的生产量不超过量不超过 60 60 件和件和 100 100 件；件； 3 3、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140140。试建立目标规划模型，并用单纯形法求解。试建立目标规划模型，并用单纯形法求解。 1 1、要求总利润必须超过、要求总利润必须超过 2500 2500 元；元； 2 2、考虑产品受市场影响，为避免积压，、考虑产品受市场影响，为避免积压，A A、B B的的生产量不超过生产量不超过 60 60 件和件和 100 100 件；件； 3 3、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140140。Cj00P100P302.5P20P2CBXBbx1x2P1250030121100000001402100110000060100000110001000100000011kjP1 -2500301201000000P2 000000002.501P3 00000010000= min2500/30,140/2,60/1=60 ,故故为换出出变量。量。Cj 00P100P302.5P20P2CBXBbx1x2P1700012110030300002001001122000x160100000110001000100000011kjP1 7000120100303000P2 000000002.501P3 00000010000= min700/30,20/2, =10 ,故故为换出出变量。量。Cj 00P100P302.5P20P2CBXBbx1x2P14000-31-1-151500002.5P21001/2001/2-1/2-11000x17011/2001/2-1/200000100010000001-1kjP1 -400030115-150000P2 -250-5/400-5/45/45/2001P3 00000010000= min400/15, =10 ,故故为换出出变量。量。Cj 00P100P302.5P20P2CBXBbx1x2P380/30-1/51/15-1/15-1100002.5P270/302/51/30-1/3000-11000x1250/312/51/30-1/3000000001000100000011kjP1 00010000000P2 -175/30-1-1/121/12002/5001P3 -80/301/5-1/151/15100000= min,350/6,1250/6,100/1=75 ,故故为换出出变量。量。Cj 00P100P302.5P20P2CBXBbx1x2P3115/3001/12-1/12-11-1/21/2000x2175/3011/12-1/1200-5/25/2000x160100000-11000125/300-1/121/12005/2-5/211kjP1 00010000000P2 000000005/201P3 -115/300-1/121/12101/2-1/200表中表中P3检验数数为负，说明明P3 优先等先等级目目标没有没有实现，但已无法改，但已无法改进，得到，得到满意解意解 x1 60， x2 175/3， 115/3， 125/3。 结果分析结果分析：计算结果表明，工厂应生产：计算结果表明，工厂应生产A A产品产品6060件，件，B B产品产品175/3175/3件，件，25002500元的利润目标刚好达到。元的利润目标刚好达到。 d d4 4- - 125/3125/3，表明产品，表明产品B B比最高限额少比最高限额少125/3125/3件，满足要求。件，满足要求。 d d2 2+ +115/3 115/3 表明甲资源超过库存表明甲资源超过库存115/3115/3公斤，该目标没有达到。公斤，该目标没有达到。 从表中还可以看到，从表中还可以看到，P3 的检验数还有负数，的检验数还有负数，但其高等级的检验数却是正数，但其高等级的检验数却是正数，要保证要保证 P1目标实现，目标实现，P3等级目标则无法实现。等级目标则无法实现。所以，按现有消耗水平和资源库存量，无法实现所以，按现有消耗水平和资源库存量，无法实现25002500元的利润目标。元的利润目标。 可考虑如下措施：可考虑如下措施：降低降低A A、B B产品对甲资源的消耗量，产品对甲资源的消耗量，以满足现有甲资源库存量的目标；以满足现有甲资源库存量的目标；或改变或改变P3等级目标的指标值，增加甲资源等级目标的指标值，增加甲资源115/3115/3公斤。公斤。 若很难实现上述措施，则需改变现有目标的优先等级，若很难实现上述措施，则需改变现有目标的优先等级，以取得可行的满意结果。以取得可行的满意结果。满意解满意解 x x1 1 6060， x x2 2 175/3175/3， d d2 2+ +115/3115/3， d d4 4- - 125/3125/3。 1 1、要求总利润必须超过、要求总利润必须超过 2500 2500 元；元； 2 2、考虑产品受市场影响，为、考虑产品受市场影响，为避免积压，避免积压，A A、B B的生产量不超过的生产量不超过 60 60 件和件和 100 100 件；件； 3 3、由于甲资源供应比较紧张，、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量不要超过现有量140140。