学案学案5 5 函数与方程函数与方程 结合二次函数的图象结合二次函数的图象, ,了解函数的零点与方程了解函数的零点与方程根的联系根的联系, ,判断一元二次方程根的存在性与根判断一元二次方程根的存在性与根的个数的个数. .函数与方程函数与方程 1.函数与方程中函数的零点及二分法是新增内容函数与方程中函数的零点及二分法是新增内容,是是高考必考内容高考必考内容. 2.高考中多以难度较低的选择、填空为主，结合函数高考中多以难度较低的选择、填空为主，结合函数图象，考查图象交点，以及方程的根的存在性问题图象，考查图象交点，以及方程的根的存在性问题. 3.在解答题中亦有考查在解答题中亦有考查,多定位于数形结合、分类讨多定位于数形结合、分类讨论、函数与方程思想的应用论、函数与方程思想的应用,属于易错题型属于易错题型. 4.方程与函数的相互转化，在以前的高考中都出现过，方程与函数的相互转化，在以前的高考中都出现过，如如“三个二次三个二次”的相互转化，指数、对数方程等，要做的相互转化，指数、对数方程等，要做一些这方面的准备一些这方面的准备.函数的零点必将成为高考的重点函数的零点必将成为高考的重点,尤尤其以函数为载体考查方程根的个数的判断其以函数为载体考查方程根的个数的判断,以及求参数的以及求参数的范围范围,将是重点考查的问题将是重点考查的问题. 1.函数零点的定义 (1)对于函数对于函数y=f(x)(xD),把使把使 的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)(xD)的零点的零点. (2)方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与 有交点有交点函数函数y=f(x)有有 .f(x)=0 x轴轴 零点零点 2.函数零点的判定 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连续不断上的图象是连续不断的一条曲线的一条曲线,并且有并且有 ,那么那么,函函数数y=f(x)在区间在区间 内有零点内有零点,即存在即存在c(a,b),使得使得 ,这个这个c也就是也就是f(x)=0的根的根.我们不妨把这一结论称为零点存在性定理我们不妨把这一结论称为零点存在性定理. 3.二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系的图象与零点的关系f(a)f(b)0)(a0)的的图象图象与与X X轴的交点轴的交点无交点无交点零点个数零点个数无无 (x1,0),(x2,0)(x1,0)两个两个 一个一个 4.用二分法求函数用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤零点近似值的步骤 第一步第一步,确定区间确定区间a,b,验证验证 ,给定精确度给定精确度; 第二步第二步,求区间求区间(a,b)的中点的中点c; 第三步第三步,计算计算 : 若若 ,则则c就是函数的零点就是函数的零点; 若若 ,则令则令b=c(此时零点此时零点x0(a,c); 若若 ,则令则令a=c(此时零点此时零点x0(c,b); 第四步第四步,判断是否达到精确度判断是否达到精确度:即若即若|a-b|,则得到则得到零点近似值零点近似值a(或或b);否则重复第二、三、四步否则重复第二、三、四步.f(c)f(b)0f(a)f(b)0 f(c)f(c)=0f(a)f(c)0,f(2)=4sin5-20,函数函数f(x)在在0,2上存在零点；上存在零点；f(-1)=-4sin1+10,函数函数f(x)在在-2,0上存在零点；上存在零点；又又2 0,而而f(2)0的零点个数为的零点个数为( )A.0 B.1 C.2 D.32010年高考福建卷年高考福建卷函数函数f(x)= C 【分析分析】解方程求零点解方程求零点. x0 x2+2x-3=0 x0 -2+lnx=0f(x)的零点个数为的零点个数为2个个.故应选故应选C.【解析】【解析】由由 又又 得得x=-3. 得得x=e2, 【评析评析评析评析】分段函数求零点时应分段去求分段函数求零点时应分段去求. 求函数求函数y=lnx+2x-6的零点个数为的零点个数为_. 【解析解析解析解析】在同一坐标系在同一坐标系中画出中画出y=lnx与与y=6-2x的图的图象如图所示象如图所示, 由图已知两图由图已知两图象只有一个交点象只有一个交点,故函数故函数y=lnx+2x-6只有一个零点只有一个零点.考点考点考点考点3 3 零点性质的应用零点性质的应用零点性质的应用零点性质的应用 （1）若函数）若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，求实数有且仅有一个零点，求实数a的值；的值；（2）若函数）若函数f(x)=|4x-x2|+a有有4个零点，求实数个零点，求实数a的取的取值范围值范围. 【分析分析分析分析】 (1)二次项系数含有字母二次项系数含有字母,需分类讨论需分类讨论. (2)利用函数图象求解利用函数图象求解.【解析解析解析解析】 (1)若若a=0,则则f(x)=-x-1,令令f(x)=0,即即-x-1=0,得得x=-1,故符合题意故符合题意;若若a0,则则f(x)=ax2-x-1是二次函数是二次函数,故有且仅有一个零点等价于故有且仅有一个零点等价于=1+4a=0,解得解得a=- .综上所述综上所述,a=0或或a=- . (2)若若f(x)=|4x-x2|+a有有4个零点个零点, 即即|4x-x2|+a=0有四个根有四个根, 即即|4x-x2|=-a有四个根有四个根. 令令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a. 作出作出g(x)的图象如图所示的图象如图所示,由图象可知由图象可知,如果要使如果要使|4x-x2|=-a有四个根有四个根, 那么那么g(x)与与h(x)的图象的图象应有应有4个交点个交点. 故需满足故需满足0-a4,即即-4a0. a的取值范围是的取值范围是(-4,0). 【评析评析评析评析】此类方程根的分布问题此类方程根的分布问题,通常有两种解法通常有两种解法.一是一是利用方程中根与系数的关系或利用函数思想结合图利用方程中根与系数的关系或利用函数思想结合图 象求象求解解;二是构造两个函数分别作出图象二是构造两个函数分别作出图象,利用数形结合法求利用数形结合法求解解.此类题目也体现了函数与方程、数形结合的思想此类题目也体现了函数与方程、数形结合的思想.若若函函数数f（x）=ax-x-a（a0且且a1）有有两两个个零零点点，则则实数实数a的取值范围是的取值范围是 .（1，+） 【解析解析解析解析】令令g（x）=ax（a0，且，且a1），），h（x）=x+a，分，分0a1，a1两种情况，在同一坐标系中画出两两种情况，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，若函数个函数的图象，如图所示，若函数f（x）=ax-x-a有两个有两个不同的零点，则函数不同的零点，则函数g（x），），h（x）的图象有两个不同）的图象有两个不同的交点，根据画出的图象只有当的交点，根据画出的图象只有当a1时符合题目要求时符合题目要求.1.2011年高考陕西卷年高考陕西卷函数函数f（x)= -cosx在在0，+）内）内 （ ）A.没有零点没有零点 B.有且仅有一个零点有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点有无穷多个零点2.2011年高考山东卷年高考山东卷已知函数已知函数f（x)=logax+x-b（a0,且且a1).当当2a3b4时，函数时，函数f（x)的零点的零点x0（n,n+1),nN*,则则n= .1.B(原函数原函数f（x)= -cosx可理解为幂函数可理解为幂函数 与余弦与余弦函数的差，其中幂函数在区间函数的差，其中幂函数在区间0，+）上单调递增）上单调递增,余弦函数的最大值为余弦函数的最大值为1，在同一坐标系内构建两个函数，在同一坐标系内构建两个函数的图象，注意到余弦从左到右的第的图象，注意到余弦从左到右的第2个最高点是个最高点是x=2，且且 1=cos不难发现交点仅有一个不难发现交点仅有一个.故应选故应选B.)2.2（令（令y1=loga x,y2=b-x,函数函数f（x)的零点就是这两个的零点就是这两个函数图象交点的横坐标，由于直线函数图象交点的横坐标，由于直线y2=b-x在在y轴上的截轴上的截距距b满足满足3b4,结合函数图象，函数结合函数图象，函数f（x)只有一个零只有一个零点，且点，且n只能是只能是1或者或者2或者或者3.f（1)=1-b0,f（2)=loga2+2-b1+2-30,f（3)=loga3+3-b1+3-4=0.根据函数零点存在性定理可得，函数根据函数零点存在性定理可得，函数f（x)的零点的零点在区间（在区间（2，3）内，故）内，故n=2. )对函数零点存在的判断中对函数零点存在的判断中,必须强调必须强调:(1)f(x)在在a,b上连续上连续;(2)f(a)f(b)0;(3)在在(a,b)内存在零点内存在零点.事实上事实上,这是零点存在的一个充分条件这是零点存在的一个充分条件,但不必要但不必要. 1.1.对于函数对于函数对于函数对于函数y=y=f(x)(xf(x)(xD D), ),我们把使我们把使我们把使我们把使f(xf(x)=0)=0的实数的实数的实数的实数x x叫做函数的零点叫做函数的零点叫做函数的零点叫做函数的零点, ,注意以下几点注意以下几点注意以下几点注意以下几点: :(1)(1)函数的零点是一个实数函数的零点是一个实数函数的零点是一个实数函数的零点是一个实数, ,当函数的自变量取这个实当函数的自变量取这个实当函数的自变量取这个实当函数的自变量取这个实数时数时数时数时, ,其函数值等于零其函数值等于零其函数值等于零其函数值等于零. .(2)(2)函数的零点也就是函数函数的零点也就是函数函数的零点也就是函数函数的零点也就是函数y=y=f(xf(x) )的图象与的图象与的图象与的图象与x x轴的交点的轴的交点的轴的交点的轴的交点的横坐标横坐标横坐标横坐标. .(3)(3)函数的零点不是点函数的零点不是点函数的零点不是点函数的零点不是点, ,是方程是方程是方程是方程f(xf(x)=0)=0的根的根的根的根. .2.2.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法. .其实其实其实其实质是通过不断地质是通过不断地质是通过不断地质是通过不断地“ “取中点取中点取中点取中点” ”来逐步缩小零点所在的范来逐步缩小零点所在的范来逐步缩小零点所在的范来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值就是这个函数零点的近似值就是这个函数零点的近似值就是这个函数零点的近似值. .