1.3.1函数的单函数的单调性与导数调性与导数高二数学高二数学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用2021/8/251（4）.对数函数的导数对数函数的导数:（5）.指数函数的导数指数函数的导数: （3）.三角函数三角函数 ： （1）常函数：）常函数：(C)/ 0, (c为常数为常数)； （2）幂函数）幂函数 ： (xn)/ nxn 1一、复习回顾：基本初等函数的导数公式一、复习回顾：基本初等函数的导数公式2021/8/252复习复习: :导数的运算法则导数的运算法则: :2021/8/253一、复习回顾复合函数的导数：一、复习回顾复合函数的导数：1.复合函数的概念复合函数的概念: 对于函数对于函数y= f (x),令令u= (x),若若y=f(u)是是中间变量中间变量u的函数的函数, u= (x)是自变量是自变量x的函数的函数,则则称称y= f (x)是自变量是自变量x的复合函数的复合函数.2.复合函数的导数复合函数的导数:设函数设函数 在点在点x处有导数处有导数 ,函数函数y=f(u)在点在点x的对应点的对应点u处有导数处有导数 ,则复合函数则复合函数 在点在点x处也有导数处也有导数,且且 或记或记2021/8/254函数函数 y = f (x) 在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是增函数上是增函数；2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是减函数上是减函数；若若 f(x) 在在G上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，则则 f(x) 在在G上具有严格的单调性。上具有严格的单调性。G 称为称为单调区间单调区间G = ( a , b )二、复习引入二、复习引入:2021/8/255oyxyox1oyx1在在（ ，0）和（）和（0, ）上分别是减函数。上分别是减函数。但在定但在定义域上不是减函数。义域上不是减函数。在（在（ ，1）上是减）上是减函数，在（函数，在（1, ）上）上是增函数。是增函数。在在( ,)上上是增函数是增函数概念回顾概念回顾画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间2021/8/256(1)函数的单调性也叫函数的增减性；函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量单调区间：针对自变量x而言的。而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区区间；间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。 以前以前,我们用定义来判断函数的单调性我们用定义来判断函数的单调性.在假设在假设x1x2的的前提下前提下,比较比较f(x1)0k0k0k0+-递增递增递减递减2021/8/2510注意：注意：应正确理解应正确理解 “ 某个区间某个区间 ” 的含义，的含义， 它必它必是定义域内的某个区间。是定义域内的某个区间。如果恒有如果恒有 ，则，则 是是常数常数。2021/8/2511例例1 已知导函数已知导函数 的下列信息的下列信息:当当1 x 4 , 或或 x 1时时,当当 x = 4 , 或或 x = 1时时,试画出函数试画出函数 的图象的大致形状的图象的大致形状.解解: 当当1 x 4 , 或或 x 1时时, 可知可知 在此区在此区间内间内单调递减单调递减; 当当 x = 4 , 或或 x = 1时时, 综上综上, 函数函数 图象图象的大致形状如右图所示的大致形状如右图所示.xyO14题型：应用导数信息确定函数大致图象题型：应用导数信息确定函数大致图象2021/8/2512已知导函数的下列信息：已知导函数的下列信息：试画出函数试画出函数 图象的大致形状。图象的大致形状。分析分析：ABxyo23题型：应用导数信息确定函数大致图象题型：应用导数信息确定函数大致图象ABxyo232021/8/2513已知导函数的下列信息：已知导函数的下列信息：试画出函数试画出函数 图象的大致形状。图象的大致形状。分析分析：ABxyo23题型：应用导数信息确定函数大致图象题型：应用导数信息确定函数大致图象解：解： 的大致形状如右图：的大致形状如右图：2021/8/2514xyo12xyo12xyo1 2xyo12xyo2(A)(B)(C)(D)C(08浙江理工类浙江理工类)练习：练习：设设 是函数是函数 的导函数，的导函数， 的图象如的图象如右图所示右图所示,则则 的图象最有可能的是的图象最有可能的是( )2021/8/2515例例2 判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性, 并求出单调区间并求出单调区间:解解:(1) 因为因为 , 所以所以因此因此, 函数函数 在在 上单调递增上单调递增.(2) 因为因为 , 所以所以当当 , 即即 时时, 函数函数 单调递增单调递增;当当 , 即即 时时, 函数函数 单调递减单调递减.题型：求函数的单调性、单调区间题型：求函数的单调性、单调区间2021/8/2516例例2 判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性, 并求出单调区间并求出单调区间:解解:(3) 因为因为 , 所以所以因此因此, 函数函数 在在 上单调递减上单调递减.(4) 因为因为 , 所以所以 当当 , 即即 时时, 函函数数 单调递增单调递增; 当当 , 即即 时时, 函数函数 单调递减单调递减.2021/8/2517总结总结: 当遇到三次或三次以上的当遇到三次或三次以上的,或图象很难或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。求定义域求定义域求求令令作出结论作出结论11什么情况下，用什么情况下，用“导数法导数法” ” 求函数单调性、求函数单调性、 单调区间较简便？单调区间较简便？22试总结用试总结用“导数法导数法” ” 求单调区间的步骤？求单调区间的步骤？总结：总结：注：注：单调区间不以单调区间不以“并集并集”出现。出现。 2021/8/25183。证明可导函数。证明可导函数f(x)在在(a,b)内的单调性的方法：内的单调性的方法：(1)求求f(x)(2)确认确认f(x)在在(a,b)内的符号内的符号(3)作出结论作出结论总结：总结：2021/8/2519求函数求函数 的单调区间。的单调区间。变变1：求函数求函数 的单调区间。的单调区间。理解训练：理解训练：解解：的单调递增区间为的单调递增区间为单调递减区间为单调递减区间为解解：的单调递增区间为的单调递增区间为单调递减区间为单调递减区间为变变3：求函数求函数 的单调区间。的单调区间。变变2：求函数求函数 的单调区间。的单调区间。巩固提高：巩固提高：解解:解解:2021/8/2520练习练习判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性, 并求出单调区间并求出单调区间:2021/8/2521(09年全国理年全国理)Bxyo练习练习2021/8/2522例例3 3 如图如图, , 水以常速水以常速( (即单位时间内注入水的体积相同即单位时间内注入水的体积相同) )注注入下面四种底面积相同的容器中入下面四种底面积相同的容器中, , 请分别找出与各容器对应请分别找出与各容器对应的水的高度的水的高度h h与时间与时间t t的函数关系图象的函数关系图象. .(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)h ht tOh ht tOh ht tOh ht tO2021/8/2523 一般地一般地, , 如果一个函数在某一范围内导数如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大的绝对值较大, , 那么函数在这个范围内变化得那么函数在这个范围内变化得快快, , 这时这时, , 函数的图象就比较函数的图象就比较“陡峭陡峭”( (向上或向上或向下向下) ); ; 反之反之, , 函数的图象就函数的图象就“平缓平缓”一些一些. . 如图如图, ,函数函数 在在 或或 内的图象内的图象“陡峭陡峭”, ,在在 或或 内的图内的图象象“平缓平缓”. .通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减，还可通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减，还可以看出其变化的快慢，结合图像，从导数的角度解以看出其变化的快慢，结合图像，从导数的角度解释变化快慢的情况。释变化快慢的情况。2021/8/2524练习练习4.求证求证: 函数函数 在在 内是减函数内是减函数.解解: 由由 , 解得解得 , 所以函数所以函数 的递减区间是的递减区间是 , 即函数即函数 在在 内是减内是减函数函数.2021/8/2525 刚才的发言，如刚才的发言，如有不当之处请多指有不当之处请多指正。谢谢大家！正。谢谢大家！2021/8/2526