高阶微分方程小结高阶微分方程小结 一基本要求：1 了解了解微分方程的基本概念微分方程的基本概念: : 微微分分方方程程的的定定义义、阶阶、解解、通通解解、积分曲线、特解、初始条件、初值问题；积分曲线、特解、初始条件、初值问题；2 会会判判断断变变量量可可分分离离方方程程、齐齐次次方方程程、一阶线性方程、一阶线性方程、 伯努利方程；伯努利方程；3 掌掌握握变变量量可可分分离离方方程程和和一一阶阶线线性性方方程程的解法，会解齐次方程和伯努利方程；的解法，会解齐次方程和伯努利方程；5 理解理解二阶线性微分方程解的结构；二阶线性微分方程解的结构；6 掌握掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；二阶常系数齐次线性微分方程的解法；7 掌握掌握自由项为自由项为的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式形式基本概念基本概念 一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.线性方程线性方程5.5.伯努利方程伯努利方程变量代换变量代换可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征方程及其根特征方程及其根对应的通解形式对应的通解形式f( (x) )的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程 待待定定系系数数法法特征方程法特征方程法二内容提要二内容提要1. 基本概念基本概念微分方程微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程的解：微分方程的解：通解通解特解特解初始条件初始条件初值问题初值问题(1) 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程2. 一阶微分方程的解法一阶微分方程的解法(2) 齐次方程齐次方程作变量代换作变量代换分离变量法分离变量法解法解法解法解法(3) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程齐次方程的通解为齐次方程的通解为（分离变量法分离变量法）解法解法非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为（常数变易法）（常数变易法）(4) 伯努利伯努利( (Bernoulli)方程方程解法解法 需经过需经过变量代换变量代换化为线性微分方程化为线性微分方程3.可降阶的高阶微分方程的解法可降阶的高阶微分方程的解法解法解法特点特点 型型接连积分接连积分n次次, ,得通解得通解 型型解法解法 型型解法解法4. 线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构(1) 二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构: :解的叠加解的叠加(2) 二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构: :定理定理3 设设y*是是(2)的一个特解的一个特解, Y是与是与(2)对应的齐次方程对应的齐次方程(1)的通解的通解,是二阶非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解的通解.那么那么叠加叠加5. 二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程解法解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法. .特征方程为特征方程为微分方程微分方程特征方程为特征方程为特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项推广：推广： n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性微分方程解法通解通解 用用待定系数法待定系数法求特解求特解设特解的形式设特解的形式答：选择答：选择C问题问题1三三 问题与思考问题与思考问题问题2. . 以以为特解的二阶常系数齐次线性微分方程为为特解的二阶常系数齐次线性微分方程为 答：正确答：正确. .例例1解解代入方程，得代入方程，得故方程的通解为故方程的通解为四典型题目四典型题目例例2解解方程两边求导方程两边求导两边再求导，得两边再求导，得由原方程和由原方程和(1)(1)式式, ,得初始条件得初始条件求解初值问题求解初值问题例例3 试确定以试确定以 解解 从而相应的二阶常系数线性齐次微分方程为从而相应的二阶常系数线性齐次微分方程为为特解的二阶常系数齐次线性方程为特解的二阶常系数齐次线性方程. .例例4解解 特征方程特征方程特征根特征根对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为设设由由解得解得故原方程的通解为故原方程的通解为由由即即例例5解解 (1)由题设可得：由题设可得：解此方程组，得解此方程组，得(2)原方程为原方程为由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为