新课学习新课学习50 1 1、如何过、如何过OO外一点外一点P P画出画出OO的切线？的切线？ 2 2、这样的切线能画出几条？、这样的切线能画出几条？如下左图，借助三角板，我们可以画出如下左图，借助三角板，我们可以画出PAPA是是OO的切线。的切线。3 3、如果、如果P=50,P=50,求求AOBAOB的度数的度数130画一画画一画 O。ABP思考思考：已画出切线：已画出切线PA、PB，A、B为切点，为切点，则则OAP= ,连接连接OP，可知，可知A、B 除了除了在在 O上，还在怎样的圆上上，还在怎样的圆上?90如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？尺规作图：尺规作图：过过 O外一点作外一点作 O的切线的切线O PABO在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做的线段的长叫做这点到圆的切线长这点到圆的切线长OPAB切线切线与与切线长切线长是一回事吗？是一回事吗？ 它们有什么区别与联系呢？它们有什么区别与联系呢？ 切线和切线长是两个不同的概念：切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，、切线是一条与圆相切的直线，不能度量不能度量； 2、切线长是、切线长是线段线段的长，这条线段的两个端点分的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点别是圆外一点和切点，可以度量可以度量。OPAB比一比比一比 OABP思考思考：已知已知 O切线切线PA、PB，A、B为为切点，把圆沿着直线切点，把圆沿着直线OP对折对折,你能发你能发现什么现什么?12折一折折一折请证明你所发现的结论。请证明你所发现的结论。APOBPA = PBOPA=OPB证明：证明：PAPA，PBPB与与OO相切，点相切，点A A，B B是切点是切点 OAPAOAPA，OBPBOBPB 即即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtAOPRtBOP(HL)RtAOPRtBOP(HL) PA = PB OPA=OPB试用文字语言试用文字语言叙述你所发现叙述你所发现的结论的结论证一证证一证PA、PB分别切分别切 O于于A、BPA = PBOPA=OPB 从圆外一点引圆的两条切线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。两条切线的夹角。 几何语言几何语言:反思反思：切线长定理为证明：切线长定理为证明线段相等线段相等、角相角相等等提供新的方法提供新的方法OPAB 切线长定理切线长定理 APOB 若连结两切点若连结两切点A A、B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你又能得你又能得出什么新的结论出什么新的结论? ?并给出证明并给出证明. .OP垂直平分垂直平分AB证明：证明：PAPA，PBPB是是OO的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点 PA = PB OPA=OPB PABPAB是等腰三角形是等腰三角形，PMPM为为顶角顶角的平分线的平分线 OP垂直平分垂直平分ABM试一试试一试APO。B 若延长若延长PO交交 O于点于点C，连结，连结CA、CB，你又你又能得出什么新的结论能得出什么新的结论? ?并给出证明并给出证明. .CA=CB证明：证明：PAPA，PBPB是是OO的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点 PA = PB OPA=OPB PC=PCPC=PC PCA PCB AC=BCAC=BCC。PBAO（3）连结圆心和圆外一点）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点）连结两切点（1）分别连结圆心和切点）分别连结圆心和切点反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。想一想想一想问题：如图问题：如图ABC，要求画，要求画ABC的内的内切圆，如何画？切圆，如何画？ 已知：已知：ABC求作：和求作：和ABC的各边都相切的圆的各边都相切的圆BCAID作作法法：1、作作B、C的的平平分分线线BM、CN，交点为，交点为I2、过点、过点I作作IDBC，垂足为，垂足为D3、以、以I为圆心，为圆心，ID为半径作为半径作 II就是所求的圆就是所求的圆 NM与三角形各边都相切的与三角形各边都相切的圆圆叫做三角形的叫做三角形的内切圆内切圆ABCIDEF三角形三角形内切圆内切圆的圆心叫做三角形的圆心叫做三角形的的内心内心这个三角形叫做这个三角形叫做圆圆的的外切三角形外切三角形三角形的三角形的内心内心就是三角形的三个内角就是三角形的三个内角角平分线的交点角平分线的交点三角形的三角形的内心内心到三角形的三边的距到三角形的三边的距离相等离相等A AB BC CO O三角形的外接圆：三角形的内切圆：A AB BC CI ID例例2 2、如图已知、如图已知,ABC,ABC的内切圆的内切圆OO分别和分别和BCBC、CACA、ABAB切于点切于点D D、E E、F,F,且且ABC=9cm,BC=14cm,CA=13cm, ABC=9cm,BC=14cm,CA=13cm, 求求AFAF、BDBD和和CECE的长。的长。 OAFBECD解：AFx(cm)，则AE=x，CD=CE=ACAE=13x，BD=BF=ABAF=9x.由 BD+CD=BC 可得(13x)+(9x)14.解得 x4.因此 AF4(cm)，BD=5(cm)，CE=9(cm)。已知：如图已知：如图,PA,PA、PBPB是是OO的切线，切点分别是的切线，切点分别是A A、B B，Q Q为为ABAB上一点，过上一点，过Q Q点作点作OO的切线，交的切线，交PAPA、PBPB于于E E、F F点，已知点，已知PA=12CMPA=12CM，求，求PEFPEF的周的周长。长。EAQPFBO易证易证EQ=EA, FQ=FB,EQ=EA, FQ=FB, PA=PB PA=PB PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PF+FQ=PB=PAPB=PA=12cm=12cm周长为24cm 牛刀再试牛刀再试探究：探究：PA、PB是是 O的两条切的两条切线，线，A、B为切点，直线为切点，直线OP交于交于 O于点于点D、E，交，交AB于于C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关系OAPA，OB PB，AB OP（3）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP（4）写出图中所有的等腰三角形）写出图中所有的等腰三角形ABP AOB（2）写出图中与）写出图中与OAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPC例例3 、如图，四边形、如图，四边形ABCDABCD的边的边ABAB、BCBC、CDCD、DADA和圆和圆OO分别分别相切于点相切于点L L、M M、N N、P P，求证：求证： AD+BC=AB+CD AD+BC=AB+CDDLMNABCOP证明：由切线长定理得证明：由切线长定理得AL=APAL=AP，LB=MB,NC=MCLB=MB,NC=MC， DN=DP DN=DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DPMC+DP 即即 AB+CD=AD+BC AB+CD=AD+BC补充：补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等（2）已知OA=3cm,OP=6cm，则APB= PABCO60（4）OP交O于M，则 ， M牛刀小试牛刀小试（3）若P=70，则AOB= 110（1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA OA=3切线长定理切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角条切线的夹角。 APO。BECDPA、PB分别切分别切 O于于A、BPA = PB ,OPA=OPBOP垂直平分垂直平分AB 切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等，角线段相等，角相等，弧相等，垂直关系相等，弧相等，垂直关系提供了理论提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。依据。必须掌握并能灵活应用。我们学过的切线，常有我们学过的切线，常有 五个五个 性质：性质：1 1、切线和圆只有一个公共点；、切线和圆只有一个公共点；2 2、切线和圆心的距离等于圆的半径；、切线和圆心的距离等于圆的半径；3 3、切线垂直于过切点的半径；、切线垂直于过切点的半径；4 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个六个1、四边形ABCD外切于O（1）若AB：BC：CD：DA=2：3：n：4 则n=_（2）若AB：BC：CD=5：4：7，周长为48 则最长的边为_2、圆内接平行四边形是 _ 圆外切平行四边形是_ABCDACBDOABCDOO516矩形矩形菱形菱形例例4.如图，如图，ABC中中,C =90 ,它的它的内切圆内切圆O分别与边分别与边AB、BC、CA相切相切于点于点D、E、F，且，且BD=12，AD=8，求求 O的半径的半径r.OEBDCAF练习练习2.如图，如图，AB是是 O的直径，的直径，AD、DC、BC是切线，点是切线，点A、E、B为切点，为切点， (1)求证：求证：OD OC (2)若若BC=9，AD=4，求，求OB的长的长. OABCDE OABCDEF OABCDE选做题：如图，选做题：如图，AB是是 O的直径，的直径，AD、DC、BC是切线，点是切线，点A、E、B为切点，若为切点，若BC=9，AD=4，求，求OE的长的长.