8.2 二重积分的计算法二重积分的计算法 8.2.1 利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分 当积分区域是当积分区域是X型区域时型区域时 当积分区域是当积分区域是Y型区域时型区域时1解解应先对应先对x积分积分，后对后对y积分积分1yx2yox应先积应先积y ，后积后积x评评注注 本本例例中中两两题题不不能能交交换换积积分分次次序序，因因为为先先积积分分的的原原函函数数不不能能用用初初等等函函数数表表达达出出来来，从从而而二重积分计算不出来二重积分计算不出来.解解 积分区域如图所示积分区域如图所示,3例例5 求两个底圆半径都等于求两个底圆半径都等于R的的直交圆柱面所围成的立体体积直交圆柱面所围成的立体体积. 解解 设两圆柱面方程分别为设两圆柱面方程分别为 利用立体关于坐标面的对称性利用立体关于坐标面的对称性，只要算出它在第一卦限部分只要算出它在第一卦限部分的体的体积积V1，然后再乘以然后再乘以8就行了就行了. x2+y2=R2 及及 x2+z2=R2yoxDxyRRzo 第第一一卦卦限限部部分分可可看看成成是是一一个个曲顶柱体，它的底为曲顶柱体，它的底为顶是柱面顶是柱面4yoxD利用公式利用公式 (1)，得，得xyRRzo58.2.2 利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分 有些二重积分有些二重积分, 积分区域积分区域D的边界用极坐标方程来的边界用极坐标方程来表示较方便表示较方便，且被积函数用极坐标变量且被积函数用极坐标变量r、 表达较简表达较简单单, 这时这时可利用极坐标来计算二重积分可利用极坐标来计算二重积分. 下面研究这个和式极限在极坐标系中的形式下面研究这个和式极限在极坐标系中的形式. 1、极坐标系下二重积分的形式极坐标系下二重积分的形式 假假定定从从极极点点O出出发发穿穿过过区区域域D的的射线与射线与D的边界相交不多于两点的边界相交不多于两点.用用 (1)以极点为中心的一族以极点为中心的一族同心圆：同心圆： =常数常数，(2)从极点出发的一族射线从极点出发的一族射线:=常数常数，把把D分成分成 n个小区域个小区域.6 除除了了包包含含边边界界点点的的一一些些小小闭闭区区域域外外，小小闭闭区区域域的的面面积积 i可计算如下可计算如下：7 在这小闭区域在这小闭区域 内，内，任取圆周任取圆周 上的一点上的一点 ，该点的直角坐标，该点的直角坐标设为设为 公式中的公式中的 称为极坐标系下的面积元素，称为极坐标系下的面积元素，记作记作82、如何化为两次单积分如何化为两次单积分积分顺序：一般是先积积分顺序：一般是先积 后积后积 定限的方法定限的方法：依依D的特点的特点OxDOxD9OxDoxDD的面积的面积 可表为可表为10(1)11(2)12(3)131415121617解解 积分区域积分区域D的图形的图形D：0 a, 0 2 18D1OxyRD2SD119例例4 求球体求球体 x2+y2+z2 4a2被圆柱面被圆柱面x2+y2=2ax(a0)所截得的所截得的（含在圆柱面内的部分含在圆柱面内的部分）立体的体积立体的体积. Dyxo2axyoD 202122解解 由由被积函数被积函数的对称性，可只考虑第一象限的对称性，可只考虑第一象限部分部分238.2.3* 二重积分的换元法二重积分的换元法 将直角坐标系下二重积分化为极坐标系下的二重将直角坐标系下二重积分化为极坐标系下的二重积分本质上是一种变量代换，即极坐标变换。积分本质上是一种变量代换，即极坐标变换。积分区域的变换：将直角坐标系中的扇形域积分区域的变换：将直角坐标系中的扇形域D变为变为极坐标系中的矩形域极坐标系中的矩形域D124由此得由此得一般地，讨论二重积分的坐标变换：一般地，讨论二重积分的坐标变换： 应分析应分析uv平面上区域平面上区域D1与与xoy平面上区域平面上区域D的变换的变换及面积元素之间的关系，然后将及面积元素之间的关系，然后将uv平面上的二重积分平面上的二重积分化为二次积分化为二次积分.25定理定理8.2.1设函数设函数f(x,y)在有界闭区域在有界闭区域D上连续上连续公式（公式（5）称为二重积分的换元公式。）称为二重积分的换元公式。26称为广义极坐标变换，在此称为广义极坐标变换，在此变换下区域变换下区域D对应区域对应区域D1为为27面积面积2829