3.3.2 函数的极值与导数2024/9/201课题：课题：课题：课题：导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用极值点极值点极值点极值点我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功 问题情境问题情境 观察下图中观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋势、点附近图像从左到右的变化趋势、P点的函数值以及点点的函数值以及点P位置的特点位置的特点o oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1)y=f(x)Q(x2,f(x2) 函数图像在函数图像在P点附近从左侧到右侧由点附近从左侧到右侧由“上升上升”变为变为“下降下降”（函数由单调递增变为单调递减），在（函数由单调递增变为单调递减），在P点点附近附近，P点的位置最高，函数值最大点的位置最高，函数值最大2024/9/202 一般地，设函数一般地，设函数f(x)在在点点x0附近有定义附近有定义，如果对如果对x0附近的所有的点附近的所有的点,都有都有f(x)f (x0),我我们就说们就说f (x0)是函数是函数f(x)的一个极大值的一个极大值,记作记作y极大值极大值= f (x0)；如果对如果对x0附近的所有的点附近的所有的点,都有都有f(x)f (x0)，我们就说我们就说f (x0)是函数是函数f(x)的一的一个极小值，记作个极小值，记作y极小值极小值=f (x0). 极大值与极小值同称为极值极大值与极小值同称为极值.课题：课题：课题：课题：导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用极值点极值点极值点极值点我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功函数极值的定义函数极值的定义 数学建构数学建构2024/9/203 课题：课题：课题：课题：导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用极值点极值点极值点极值点我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功 （1）极值是某一点附近的小区间而言极值是某一点附近的小区间而言 的的,是函数的是函数的局部性局部性质质,不是整体的最值不是整体的最值; （2）函数的极值函数的极值不一定唯一不一定唯一,在整个定在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；义区间内可能有多个极大值和极小值； （3）极大值与极小值极大值与极小值没有必然关系没有必然关系，极大值可能比极小值还小极大值可能比极小值还小. 学生活动学生活动o oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1)y=f(x)Q(x2,f(x2)2024/9/204 观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法究方法,看极值与导数之间有什么关系看极值与导数之间有什么关系?课题：课题：课题：课题：导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用极值点极值点极值点极值点我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功o a x0 b x y xx0 0左侧左侧 x0x0 0右侧右侧 f (x) f(x) o a x0 b x y xx0 0左侧左侧 x0x0 0右侧右侧 f (x) f(x)增增f (x) 0f (x) =0f (x) 0极大值极大值减减f (x) 0数学建构数学建构请问如何判断请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？是极大值或是极小值？左正右负为极大，左负右正为极小左正右负为极大，左负右正为极小2024/9/205课题：课题：课题：课题：导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用极值点极值点极值点极值点我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功函数函数y=f(x)的导数的导数y/与函数值和极值之间的关系为与函数值和极值之间的关系为( )A、导数、导数y/由负变正由负变正,则函数则函数y由减变为增由减变为增,且有极大值且有极大值B、导数、导数y/由负变正由负变正,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极大值且有极大值C、导数、导数y/由正变负由正变负,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极小值且有极小值D、导数、导数y/由正变负由正变负,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极大值且有极大值D学生活动学生活动2024/9/206数学运用数学运用 解解: : f (x)=x2- 4,由由f (x) =0解解得得 x1=2,=2,x2=-=-2.2.当当x变化时变化时, , f (x) 、 f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表： f(x) f (x) x 当当x=2=2时时, ,y极小值极小值=28/3=28/3；当当x= =-2-2时时, , y极大值极大值=-4/3=-4/3. .(-,-2)(-,-2)-2-2(-2,2)(-2,2)2 2(2,+)(2,+)+ +0 00 0- -+ +极大值极大值28/3极小值极小值- 4/3课题：课题：课题：课题：导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用极值点极值点极值点极值点我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功2024/9/207课题：课题：课题：课题：导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用极值点极值点极值点极值点我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功求下列函数的极值求下列函数的极值 2024/9/208v探索探索: x =0是否为函数是否为函数f(x)=x3的极值点的极值点?x yOf (x) x3v 若若寻寻找找可可导导函函数数极极值值点点,可可否否只由只由f (x)=0 0求得即可求得即可? ? f (x)=3=3x2 2 当当f (x)=0=0时，时，x =0=0，而，而x =0=0不是不是该函数的极值点该函数的极值点. .f (x0) =0 =0 x0 是可导函数是可导函数f(x)的极值点的极值点 x0左右侧导数异号左右侧导数异号 x0 是函数是函数f(x)的极值点的极值点 f (x0) =0=0课题：课题：课题：课题：导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用极值点极值点极值点极值点我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功注意：注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件2024/9/209请思考求可导函数的极值的步骤请思考求可导函数的极值的步骤: 检查检查 在方程在方程 0的根的左右两侧的的根的左右两侧的 符号，确定极值点。符号，确定极值点。(最好通过列表法最好通过列表法) 确定函数的定义域；确定函数的定义域； 求导数求导数 求方程求方程=0的根的根,这些根也称为这些根也称为可能可能极值点；极值点；课题：课题：课题：课题：导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用极值点极值点极值点极值点我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功v 强调强调:要想知道要想知道 x0是极大值点还是极小值点是极大值点还是极小值点就必须判断就必须判断 f (x0)=0=0左右侧导数的符号左右侧导数的符号.2024/9/2010 案例分析案例分析课题：课题：课题：课题：导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用极值点极值点极值点极值点我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功 函数函数 在在 时有极有极值1010，则a，b的的值为（ ）( (选自自高中数学中学教材全解高中数学中学教材全解薛金星主薛金星主编）A A、 或或 B B、 或或C C、 D D、 以上都不对以上都不对 C，解解:由由题设条件得：条件得：解之得解之得通通过验证，都合要求，故，都合要求，故应选择A。 注意：注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件注意代注意代入检验入检验 2024/9/2011小结小结本节课主要学习了哪些内容？本节课主要学习了哪些内容？课题：课题：课题：课题：导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用极值点极值点极值点极值点我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功1、极值的判定方法、极值的判定方法2、极值的求法、极值的求法注意点：注意点：要想知道要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判是极大值点还是极小值点就必须判断断 f (x0)=0=0左右侧导数的符号左右侧导数的符号.2024/9/2012