三、小结二、 型一、 型7-8节节二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程第七节第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结构常见类型有常见类型有 难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程 和和定理定理3设非齐方程特解为设非齐方程特解为代入原方程代入原方程一、 型代入原方程代入原方程(2)整理得：整理得：猜想猜想猜想猜想特解特解特解特解综上讨论综上讨论例例1求微分方程求微分方程的一个特解的一个特解.解：所对应的齐次方程为解：所对应的齐次方程为其特征方程为其特征方程为特征根为特征根为由于由于不是特征方程的根，不是特征方程的根，设特解为设特解为代入方程得代入方程得比较系数得比较系数得原方程特解为原方程特解为一次多项式一次多项式二次多项式二次多项式例例2 . 求微分方程求微分方程的通解的通解.对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为=0 是特征方程的是特征方程的单根，根，非齐次方程的特解为非齐次方程的特解为方程的通解为：方程的通解为：代入方程得代入方程得方程的特解为：方程的特解为：解：解：特征方程特征方程对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征根特征根例例3 3代入方程代入方程, 得得原方程通解为原方程通解为原方程的特解为原方程的特解为方程（方程（2）的特解为：）的特解为：（证略）（证略）二、 型例例4 .求方程求方程 y+y=xcos2x 的通解的通解.解解: 特征方程为特征方程为 r2+1=0,其根为其根为r1,2= i, 对应齐次线性方程的通解为对应齐次线性方程的通解为 y = C1cosx + C2sinx.因因 i= 2i 不是特征方程的根不是特征方程的根, k=0， =0;y* = (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2xy* = (4ax+4c4b)cos2x+(4cx4a4d)sin2xm=max0,1=1, 故方程的特解设为：故方程的特解设为：代入原方程，整理得代入原方程，整理得比较两端同类项的系数，得比较两端同类项的系数，得解之得：解之得：求得一个特解为求得一个特解为方程的通解为方程的通解为例例5. 设连续函数设连续函数 f (x) 满足方程满足方程上式整理上式整理得：得：解：将方程写为解：将方程写为两边对两边对 x 求导得：求导得：再求导得：再求导得：设设 y = f (x), 问题可转化为求解初值问题：问题可转化为求解初值问题：特征方程特征方程 r2+1=0 的根为的根为 r1,2= i，对应齐次线性方程通解为对应齐次线性方程通解为而而 i = i 是特征方程的根，是特征方程的根，代入原方程后解得：代入原方程后解得：y*=x(acosx+bsinx).设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为于是于是故原方程的通解为故原方程的通解为将初始条件代入上式，得将初始条件代入上式，得 从而从而即，所求函数为：即，所求函数为：(待定系数法待定系数法)三、小三、小 结结P348 习题习题 7-8:6 P347 习题习题 7-8 1. (8)；2.(3). 布布 置置 作作 业业P304-习题习题7-27.小船从河边小船从河边0出发驶向对岸出发驶向对岸.解：设小船的航行路线解：设小船的航行路线C：0xvyh水流水流P315-习题习题7-41.求下列微分方程的通解：求下列微分方程的通解：P311公式（5）2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：求下列微分方程满足所给初始条件的特解：