2.3.1-2.3.2小明小明,你数学成绩不太你数学成绩不太好好,物理怎么样物理怎么样?也不太好啊也不太好啊.学不好数学学不好数学,物物理也是学不好的理也是学不好的?.你认为老师的说法对吗你认为老师的说法对吗?事实上事实上,我们在考察数学成绩对物理成绩影响的同时我们在考察数学成绩对物理成绩影响的同时,还还必须考虑到其他的因素必须考虑到其他的因素:爱好爱好,努力程度努力程度如果单纯从数学对物理的影响来考虑如果单纯从数学对物理的影响来考虑,就是考虑这两者之就是考虑这两者之间的间的相关关系相关关系我们在生活中我们在生活中,碰到很多相关关系的问题碰到很多相关关系的问题:物理成绩物理成绩数学数学成绩成绩学习学习兴趣兴趣花费花费时间时间其他其他因素因素商品销售收入商品销售收入广广告支出经费告支出经费?粮食产量粮食产量施施肥量肥量?付出付出收收入入?人体脂肪含量人体脂肪含量年年龄龄? 以以上种种问题中的两个变量之间的相关关上种种问题中的两个变量之间的相关关系系,我们都可以根据自己的生活我们都可以根据自己的生活,学习经验作出学习经验作出相应的判断相应的判断,“规律是经验的总结规律是经验的总结”,不管你多不管你多有经验有经验,只凭经验办事只凭经验办事,还是很容易出错的还是很容易出错的,在在寻找变寻找变量间的量间的相关关系时相关关系时,我们需要一些更为我们需要一些更为科学的方法来说明问题科学的方法来说明问题. 在在寻找变量间的相关关系时寻找变量间的相关关系时,统计同样发挥了非统计同样发挥了非常重要的作用常重要的作用,我们是通过收集大量的数据我们是通过收集大量的数据,对数据对数据进行统计分析的基础上进行统计分析的基础上,发现其中的规律发现其中的规律,才能对它才能对它们之间的关系作出判断们之间的关系作出判断.下面我们通过具体的例子来下面我们通过具体的例子来分析分析（1 1）函数关系：）函数关系：当自变量取值一定时，因变量取值由它唯一确定当自变量取值一定时，因变量取值由它唯一确定 正方形面积正方形面积S S与其边长与其边长x x之间的函数关系之间的函数关系S=xS=x2 2 ， 一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系 。1.两变量之间的关系两变量之间的关系 （2）相关关系）相关关系： 当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的随机性对自变量边长的每一个确定值，都有唯一确定的面对自变量边长的每一个确定值，都有唯一确定的面积的值与之对应。积的值与之对应。确定关系确定关系水稻产量并不是由施肥量唯一确定，在取值上带有水稻产量并不是由施肥量唯一确定，在取值上带有随机性随机性不确定关系不确定关系探究探究一、变量之间的相关关系一、变量之间的相关关系2、相关关系的概念、相关关系的概念 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系的两个变量之间的关系叫相关关系叫相关关系.（1 1）相关关系与函数关系的异同点：）相关关系与函数关系的异同点： 相同点：相同点：均是指两个变量的关系均是指两个变量的关系 不同点：不同点：函数关系是一种函数关系是一种确定确定的关系；的关系； 而相关关系是一种而相关关系是一种非确定非确定关系；关系； 即，函数关系是一种即，函数关系是一种因果关系因果关系，而相关关系不一定是，而相关关系不一定是因果关系，也可能是因果关系，也可能是随机关系随机关系.（2）函数关系与相关关系之间有着密切联系：）函数关系与相关关系之间有着密切联系： 在一定的条件下可以相互转化在一定的条件下可以相互转化.而对于具有线性相关关系而对于具有线性相关关系的两个变量来说，当求得其回归直线方程后，又可以用一的两个变量来说，当求得其回归直线方程后，又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的取值进行估计种确定性的关系对这两个变量间的取值进行估计.1.下列关系中下列关系中,是带有随机性相关关系的是是带有随机性相关关系的是 .正方形的边长与面积的关系正方形的边长与面积的关系;水稻产量与施肥量之间的关系水稻产量与施肥量之间的关系;人的身高与年龄之间的关系人的身高与年龄之间的关系;降雪量与交通事故发生之间降雪量与交通事故发生之间的关系的关系.即学即练即学即练: :2. 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（）下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（）A角度和它的余弦值角度和它的余弦值B. 正方形边长和面积正方形边长和面积C正边形的边数和它的内角和正边形的边数和它的内角和 D. 人的年龄和身高人的年龄和身高D注意：注意：两个变量之间的关系两个变量之间的关系具有确定性关系具有确定性关系函函数关系数关系.两个变量变量之间的两个变量变量之间的关系具有随机性，不关系具有随机性，不确定性确定性相关关系相关关系.【问题】【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：的研究中，研究人员获得了一组样本数据：其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数脂肪含量的样本平均数. .年龄年龄 2323272739394141454549495050脂肪脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2年龄年龄 5353545456565757585860606161脂肪脂肪 29.629.6 30.230.2 31.431.4 30.830.8 33.533.5 35.235.2 34.634.6根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？有怎样的关系？思考思考1 1：对某一个人来说，他的体内脂肪含对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少，但是如量不一定随年龄增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起，就可能表现出一定果把很多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性的规律性. .观察上表中的数据，大体上看，观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？年龄年龄 2323272739394141454549495050脂肪脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2年龄年龄 5353545456565757585860606161脂肪脂肪 29.629.6 30.230.2 31.431.4 30.830.8 33.533.5 35.235.2 34.634.6人体脂肪随年龄增长而增加人体脂肪随年龄增长而增加思考思考2 2：为了确定年龄和人体脂肪含量之间的为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系，我们需要对数据进行分析，更明确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量之间的关系有一个通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象直观的印象. .以以x x轴表示年龄，轴表示年龄，y y轴表示脂肪含轴表示脂肪含量，量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？的图形吗？ 年龄年龄 2323272739394141454549495050脂肪脂肪 9.59.517.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2年龄年龄 5353545456565757585860606161脂肪脂肪 29.629.6 30.230.2 31.431.4 30.830.8 33.533.5 35.235.2 34.634.6思考思考3 3：上图叫做上图叫做散点图散点图，你能描述一下散，你能描述一下散点图的含义吗？点图的含义吗？ 将样本中将样本中n个数据点（个数据点（xi，yi)（i1，2，n）描）描在在平面直角坐标系中，表示具有相关关系平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图的两个变量的一组数据图形，称为散点图. . 二、散二、散点图点图3).3).如果所有的样本点都落在某一如果所有的样本点都落在某一直线附近直线附近，变量之间就有变量之间就有线性相关关系线性相关关系 . .1).1).如果所有的样本点都落在某一如果所有的样本点都落在某一函数曲线上函数曲线上, ,就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有间具有函数关系函数关系2).2).如果所有的样本点都落在某一如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近函数曲线附近, ,变量之间就有变量之间就有相关关系相关关系。说明说明散点图散点图：用来判断两个变量是否具有相关关系用来判断两个变量是否具有相关关系.观察散点图的大致趋势，观察散点图的大致趋势， 两个变量的两个变量的散点图散点图中中点的分布的位置是从左下角到右上角的区域，我点的分布的位置是从左下角到右上角的区域，我们称这种相关关系为们称这种相关关系为正相关。正相关。思考思考4 4：如果两个变量成如果两个变量成负相关负相关，从整体上看这两，从整体上看这两个变量的变化趋势如何？其散点图有什么特点？个变量的变化趋势如何？其散点图有什么特点？ 散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域. .思考思考5 5：你能列举一些生活中的变量成正你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关的实例吗相关或负相关的实例吗? ? 如高原含氧量与海拔高度如高原含氧量与海拔高度的相关关系，海平面以上，的相关关系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越海拔高度越高，含氧量越少。少。 作出散点图发现，它们散作出散点图发现，它们散布在从左上角到右下角的区布在从左上角到右下角的区域域内。内。又又如汽车的载重和汽如汽车的载重和汽车每消耗车每消耗1升汽油所行使的升汽油所行使的平均路程，称它们成负相关平均路程，称它们成负相关.O下下列关系属于负相关关系的是（列关系属于负相关关系的是（ ）A.父母的身高与子女的身高父母的身高与子女的身高B.农作物产量与施肥的关系农作物产量与施肥的关系C.吸烟与健康的关系吸烟与健康的关系D.数学成绩与物理成绩的关系数学成绩与物理成绩的关系C C即学即练即学即练: :如果散点图中点的分布如果散点图中点的分布从从整体整体上看上看大致在一条直大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关线性相关关系关系，这条直线就叫做，这条直线就叫做回归直线回归直线。 这条回归直线的方程，简称为回归方程。这条回归直线的方程，简称为回归方程。三、三、回归直线回归直线 只有散点图中的点只有散点图中的点呈条状集中在某一直线呈条状集中在某一直线周围的时候，才可以说周围的时候，才可以说两个变量之间具有线性两个变量之间具有线性关系，才有两个变量的关系，才有两个变量的正线性相关和负线性正线性相关和负线性相关的概念，才可以相关的概念，才可以用回归直线来描述两个用回归直线来描述两个变量之间的关系变量之间的关系回归直线一定回归直线一定回归直线一定回归直线一定过过过过样本中心点样本中心点样本中心点样本中心点整体上最接近整体上最接近 方案一：方案一：采用测量的方法：先画一条直线，测采用测量的方法：先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程。斜率和截距，就得到回归方程。问题问题：如如何具体的求出这个回归方程呢？何具体的求出这个回归方程呢？方案二方案二: 在图中选取两点画直线，使得直线在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同。两侧的点的个数基本相同。问题：问题：如如何具体的求出这个回归方程呢？何具体的求出这个回归方程呢？方案三方案三: 在散点图中多取几组点，确定几条直线的在散点图中多取几组点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。问题问题：如如何具体的求出这个回归方程呢？何具体的求出这个回归方程呢？上述三种方案均有一定的道理，但可靠性不强，上述三种方案均有一定的道理，但可靠性不强，我们回到回归直线的我们回到回归直线的定义定义。求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点与直线的偏差最小从整体上看，各点与直线的偏差最小”。如果散点图中点的分布如果散点图中点的分布从从整体整体上看上看大致在一条直线附近，大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有我们就称这两个变量之间具有线性相关关系线性相关关系，这条直线，这条直线就叫做就叫做回归直线回归直线。思考思考6 6：对一组具有线性相关关系的样本数据：对一组具有线性相关关系的样本数据：(x(x1 1，y y1 1) )，(x(x2 2，y y2 2) )，(x(xn n，y yn n) )，设其回归方，设其回归方程为程为 可以用哪些数量关系来刻画各样可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？本点与回归直线的接近程度？ 回归直线回归直线 实际上实际上,求回归直线的关键是如何用数学的求回归直线的关键是如何用数学的方法来刻画方法来刻画“从整体上看从整体上看,各点到此直线的距离各点到此直线的距离最小最小”.这样的方法叫做最小二乘法这样的方法叫做最小二乘法. 我我们上面给出的几种方案可靠性都不是很强们上面给出的几种方案可靠性都不是很强，人人们经过长期的实践与研究，已经找到们经过长期的实践与研究，已经找到了计了计算回归算回归方程的斜率与截距的一般公式方程的斜率与截距的一般公式:以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫最小二乘法。思考思考7 7：利用利用计算器或计算机计算器或计算机可求得年龄和可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程为人体脂肪含量的样本数据的回归方程为 ，由此我们可以根据，由此我们可以根据一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分比的比的回归值回归值. .若某人若某人6565岁，则其体内脂肪含岁，则其体内脂肪含量的百分比量的百分比约约为多少？为多少？37.1（0.57765-0.448= 37.1）若某人若某人6565岁，可预测他体内脂肪含量在岁，可预测他体内脂肪含量在37.137.1（0.5770.57765-0.448= 37.165-0.448= 37.1）附近的可能性比较）附近的可能性比较大。大。 但不能说他体内脂肪含量一定是但不能说他体内脂肪含量一定是37.137.1原因原因：线性回归方程中的截距和斜率都是通过样：线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本本估计的估计的，存在随机误差，这种误差可以导致预测，存在随机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差，即使截距斜率没有误差，也不可能百结果的偏差，即使截距斜率没有误差，也不可能百分百地保证对应于分百地保证对应于x x，预报值，预报值Y Y能等于实际值能等于实际值y y例例3 3：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：的热饮杯数与当天气温的对比表：1 1、画出散点图；、画出散点图；2 2、从散点图中发现气温与热饮、从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；销售杯数之间关系的一般规律；3 3、求回归方程；、求回归方程；4 4、如果某天的气温是、如果某天的气温是2 2摄氏度，摄氏度，预测这天卖出的热饮杯数。预测这天卖出的热饮杯数。1、散点图、散点图2 2、从图、从图3-13-1看到，各点散布在从左上角到由下角的看到，各点散布在从左上角到由下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。3 3、从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直、从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此利用公式求出回归方程的系数。线的附近，因此利用公式求出回归方程的系数。 Y= -2.352x+147.767Y= -2.352x+147.7674 4、当、当x=2x=2时，时，Y=143.063 Y=143.063 因此，某天的气温为因此，某天的气温为2 2摄氏度时，这天大约可以卖出摄氏度时，这天大约可以卖出143143杯热饮。杯热饮。练习:给出施化肥量出施化肥量对水稻水稻产量影响的量影响的试验数据：数据：施化肥施化肥量量x15202530354045水稻水稻产量量y330 345 365 405 445 450 455(1)(1)画出上表的散点画出上表的散点图; ;(2)(2)求出回求出回归直直线并且画出并且画出图形形. . 从而得回归直线方程是从而得回归直线方程是 解：解：(1)(1)散点散点图（略）（略）(2)(2)表中的数据表中的数据进行具体行具体计算，列成以下表格算，列成以下表格20475180001557512150912569004950xiyi455450445405365345330yi45403530252015xi7654321i( (图形略形略) )故可得到故可得到基础知识框图表解基础知识框图表解变量间关系变量间关系函数关系函数关系相关关系相关关系 散点图散点图线形回归线形回归线形回归方程线形回归方程 小结小结小结小结1.1.求样本数据的线性回归方程，可按求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：下列步骤进行：第一步，列表计算平均数第一步，列表计算平均数 , 第二步，求和第二步，求和 , 第三步，计算第三步，计算 第四步，写出回归方程第四步，写出回归方程 2.2.回归方程被样本数据惟一确定，各样本点回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近大致分布在回归直线附近. .对同一个总体，对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性回归直线也具有随机性. . 3.3.对于任意一组样本数据，利用上述公式都对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得可以求得“回归方程回归方程”，如果这组数据不具，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的所得的“回归方程回归方程”是没有实际意义的是没有实际意义的. .因此，因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程性相关关系的前提下再求回归方程. .二、求线性回归方程二、求线性回归方程例例2：观察两相关变量得如下表：观察两相关变量得如下表：x-1-2-3-4-553421y-9-7-5-3-115379求两变量间的回归方程求两变量间的回归方程解解1： 列表：列表：i12345678910-1-2-3-4-553421-9-7-5-3-1153799141512551512149计算得计算得:练习练习:根据下表根据下表,求回归方程求回归方程.1、列表、列表2、代入公式计算、代入公式计算3、写出回归直线方程、写出回归直线方程1 1、相关关系、相关关系 （1 1）概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一）概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。 （2 2）相关关系与函数关系的异同点。）相关关系与函数关系的异同点。 相同点：两者均是指两个变量间的关系。相同点：两者均是指两个变量间的关系。 不同点：函数关系是一种确定关系，是一种因果系；不同点：函数关系是一种确定关系，是一种因果系；相关关系是一种非确定的关系，也不一定是因果关系（但相关关系是一种非确定的关系，也不一定是因果关系（但可能是伴随关系）。可能是伴随关系）。 （3 3）相关关系的分析方向。）相关关系的分析方向。 在收集在收集大量数据的基础上，利用统计分析，发现规律，大量数据的基础上，利用统计分析，发现规律，对它们的关系作出判断。对它们的关系作出判断。 小结小结2、两个变量的线性相关、两个变量的线性相关 （1 1）回归分析）回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定归分析。通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定关系的某种确定性。关系的某种确定性。 （2 2）散点图）散点图 A A、定义；、定义；B B、正相关、负相关。、正相关、负相关。 3 3、回归直线方程、回归直线方程 注注: :如果关于两个变量统计数据的散点图呈现发散状如果关于两个变量统计数据的散点图呈现发散状, ,则则这两个变量之间不具有相关关系这两个变量之间不具有相关关系. .3 3、回归直线方程、回归直线方程 （1 1）回归直线：观察散点图的特征，如果各点大致分）回归直线：观察散点图的特征，如果各点大致分布在一条直线的附近，就称两个变量之间具有线性相关的布在一条直线的附近，就称两个变量之间具有线性相关的关系，这条直线叫做回归直线。关系，这条直线叫做回归直线。（2 2）最小二乘法）最小二乘法(3)(3)利用回归直线对总体进行估计利用回归直线对总体进行估计P94P94习题习题2.3 A2.3 A组：组：2 2. .作业：作业：