等腰三角形的性等腰三角形的性质与判定与判定1.性性质(1)：等腰三角形的两个底角相等。：等腰三角形的两个底角相等。(2)：等腰三角形的：等腰三角形的顶角平分角平分线、底、底边上的中上的中线、底底边上的高互相重合。上的高互相重合。2.判定判定定定义：有两：有两边相等的三角形是等腰三角形。相等的三角形是等腰三角形。判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。形。等腰三角形: 1 , 三个角都相等的三角形是等边三角形。2 , 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。3 , 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半(一一)等腰三角形性质与判定的应用（1）计算角的度数利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。已知角的度数，求其它角的度数已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组）（2）证明线段或角相等以等腰三角形为条件时的常用辅助线:如图：若AB=AC作ADBC于D，必有结论:1=2，BD=DC若BD=DC，连结AD，必有结论：1=2，ADBC作AD平分BAC必有结论：ADBC，BD=DC作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作ADBC，使1=2.例1 已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。分析分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程已知：线段a、h求作：ABC，使AB=AC=a，高AD=h作法：1、作PQMN，垂足为D2、在DM上截取DA=h3、以点A为圆心，以a为半径作弧，交PQ于点B、C4、连结AB、AC则ABC为所求的三角形。例2.如图，已知在ABC中，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。证明：AB=ACABC=ACB（等边对等角）BDAC于D，CEAB于EBEC=CDB=901+ACB=90，2+ABC=90（直角三角形两个锐角互余）1=2（等角的余角相等）BM=CM（等角对等边）说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。例3.已知：如图，A=90，B=15，BD=DC.请说明AC=BD的理由.解BD=DC，B=15DCB=B=15（等角对等边）ADC=B+DCB=30（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）A=90AC= DCAC= BD例4.已知：如图，C=90，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点.求证：MDE是等腰三角形.分析分析：要证MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用BMDCME得到结果。证明：连结CMC=90，BC=ACA=B=45M是AB的中点CM平分BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）MCE=MCB=BCA=45B=MCE=MCBCM=MB（等角对等边）在BDE和CEM中BDMCEM（SAS）MD=MEMDE是等腰三角形例5.如图，在等边ABC中，AF=BD=CE，请说明DEF也是等边三角形的理由.解：ABC是等边三角形AC=BC，A=CCE=BDBCBC=ACCECD=AE在AEF和CDE中AEFCDE（SAS）EF=DE同理可证EF=DFEF=DE=DFDEF是等边三角形说明：证明等边三角形有三种思路：证明三边相等 证明三角相等证明三角形是有一个角为60的等腰三角形。具体问题中可利用不同的方式进行求解。例6 .如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G请说明DG=EG的理由.思路思路 因为GDB和GEC不全等，所以考虑在GDB内作出一个与GEC全等的三角形。说明说明本题易明显得出DG和EG所在的DBG和ECG不全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过E作EFBD，交BC的延长线于F，证明DBGEFG，同学们不妨试一试。例7. 如图2-8-6，在ABC中，AB=AC=CB，AE=CD， AD、BE相交于P，BQAD于Q. 请说明BP=2PQ的理由.思路思路在RtBPQ中，本题的结论等价于证明PBQ=30 证明证明AB=CA，BAE=ACD=60，AE=CD，BAEACDABE=CADBPQ=ABE+BAP=CAD+BAP=60又BQADPBQ=30BP=2PQ说明说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得同学们细心体会。例例8：如图、在如图、在ABC中，中，D，E在在直线直线BC上，且上，且AB=BC=AC=CE=BD，求求EAC的度数。的度数。探索：探索：如图、在如图、在ABC中，中，D，E在直线在直线BC上，且上，且AB=AC=CE=BD，DAE=100，求，求EAC的度数。的度数。1.下列下列结论叙述正确的个数叙述正确的个数为（）（ 1）等腰三角形高、中）等腰三角形高、中 线、角平分、角平分线重合；重合；（ 2）等腰三角形两底角）等腰三角形两底角 的外角相等；的外角相等；（ 3）等腰三角形有且只有一条）等腰三角形有且只有一条对称称轴；（ 4）有一个角等于）有一个角等于60的等腰三角形是等的等腰三角形是等边三角三角形。形。 （A）0个个（B）1个个（C）2个个（D）3个个2.等腰三角形顶角为36，底角为_。3.等腰三角形顶角和一个底角之和为100，则顶角度数为_。4.等腰三角形两个角之比为4:1，则顶角为_，底角为_。5.等腰三角形两边长为4、6，这个三角形周长为_。6.已知ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E，交AB于D，连结BE，若A=50，EBC=_。7.ABC中，AB=AC，ADBC于D，若ABC的周长为50，ABD的周长为40，则AD=_。8.若等腰三角形顶角为n度，则腰上的高与底边的夹角为_。9.9.如图，线段如图，线段ODOD的一个端点的一个端点O O在直线在直线a a上，以上，以ODOD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线线a a上，这样的等腰三角形能画多少个上，这样的等腰三角形能画多少个? ?150a9.已知等腰三角形一腰上的中线将三角已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成：两部分，已知三角形形周长分成：两部分，已知三角形底边长为，求腰长？底边长为，求腰长？解：如图，令解：如图，令CDx，则，则ADx，AB2x底边底边BC5BCCD5x ABAD3x(5+x)：3x2:1或或3x：(5+x)=2:1xx2x510、如图，D是正ABC边AC上的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，诬蔑说明BD=DE的理由.AB C ED1 12 2解: ABC是正三角形 ABC= ACB=600 （ ） D是AC边上的中点 1= ABC=300（ ）CE=CD2= E（ ） 2+ E= ACB=600（ ） E=300， 1= EBD=DE（ ）3、如图，在RtABC中，ACB=900， CAB的平分线AD交BC于D，AB边上的高线CE交AB于E，交AD于F，求证：CD=CFBACED123F分析：CD=CF1=21=B+BAD2=3+DAC3=B1=90BAD=90CADACB =90，CE是AC边上高小结 1、等腰三角形的有关概念。 2 2、等腰三角形的识别。 3 3、应用等腰三角形的性质定理和三线合一性质解决有关问题。 4、通过习题，能总结代数法求几何角的大小、线段长度的方法。课本第本第51页(目目标与与评定定)