第二节第二节 偏偏 导导 数数偏导数的定义及其计算法偏导数的定义及其计算法偏导数的几何意义偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数higher-order partial derivative一、一阶偏导数的定义一、一阶偏导数的定义定义定义存在存在,内有定义，内有定义，若极限若极限则称此极限为函数则称此极限为函数记为记为对对x x的偏导数的偏导数, ,偏偏 导 数数为为对对y y的偏导数的偏导数, ,记为记为偏偏 导 数数那么这个偏导数那么这个偏导数仍是仍是的二元函数的二元函数,它称为函数它称为函数如果函数如果函数对自变量对自变量x的偏导函数的偏导函数 (简称偏导数简称偏导数),记作记作或或同理同理,可定义函数可定义函数对自变量对自变量y的的偏导函数偏导函数 (简称偏导数简称偏导数),记作记作或或偏偏 导 数数在区域在区域D内任一点内任一点(x, y)处对处对x的偏导数都存在的偏导数都存在,求多元函数的偏导数求多元函数的偏导数 例例 求求 在点在点(1,0)处的两个偏导数处的两个偏导数.解解利用一元函数利用一元函数只需将只需将y的求导法对的求导法对x求导即可求导即可.看作常量看作常量,并不需要新的方法并不需要新的方法,例例 求求 的偏导数的偏导数.解解解解例例处的偏导数处的偏导数.注注 但此函数在点(0,0)是不连续的. 由以上计算可知, 在点 处可偏导, 二元函数二元函数f(x, y)在点在点 (x0, y0)处两个偏导数处两个偏导数 fx(x0, y0), f y(x0, y0)存在是存在是 f (x, y) 在该点连续在该点连续的的( ).A. 充分条件而非必要条件充分条件而非必要条件B. 必要条件而非充分条件必要条件而非充分条件C. 充分必要条件充分必要条件D. 既非充分条件又非必要条件既非充分条件又非必要条件D偏偏 导 数数偏偏 导 数数例例解解有有按定义得按定义得 证证 偏导数的记号只是一个整体记号,不能像一元函数的导数那样可看成是分子与分母的微分的商. 例例二、偏导数的几何意义二、偏导数的几何意义偏偏 导 数数 曲线曲线在点在点(2,4,5)处的切线处的切线与与x轴正向所成的倾角是多少轴正向所成的倾角是多少?解解在点在点(2,4,5)处的切线处的切线与与y轴正向所成的倾角是多少轴正向所成的倾角是多少?偏偏 导 数数 曲线曲线混合偏导混合偏导定义定义三、高阶偏导数三、高阶偏导数高阶偏导数高阶偏导数. .二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为例例的四个二阶偏导数的四个二阶偏导数.解解偏偏 导 数数例例解解有有按定义得按定义得多元函数的高阶混合偏导数如果连多元函数的高阶混合偏导数如果连一般地一般地,续就与求导次序无关续就与求导次序无关.如果函数如果函数的两个二阶混合偏的两个二阶混合偏在区域在区域D内内定理定理连续，连续，那么在那么在导数导数该区域内该区域内但就通常所遇到的函数但就通常所遇到的函数,在前一题中两个混合二阶偏导数相等在前一题中两个混合二阶偏导数相等,此种情此种情后一题中两者不相等后一题中两者不相等,这说明混合偏导数与求偏这说明混合偏导数与求偏导数的次序有关导数的次序有关.但在但在况不会发生况不会发生,这是因为有下述的定理这是因为有下述的定理:全微分的定义全微分的定义可微的条件可微的条件total differentiation第三节第三节 全全 微微 分分处的处的全微分全微分. .可表示为可表示为可微分可微分, ,在点在点则称函数则称函数称为函数称为函数记作记作即即函数若在某平面区域函数若在某平面区域D内处处可微时内处处可微时, 则称则称可微函数可微函数. .这函数在这函数在D内的内的而不依赖于而不依赖于一、全微分的定义一、全微分的定义 事实上事实上,显然显然,由全微分的定义有由全微分的定义有可得可得多元函数可微必连续多元函数可微必连续不连续的函数不连续的函数如果函数如果函数可微分可微分,则函数在该点连续则函数在该点连续.一定是不可微的一定是不可微的.1. 可微分的必要条件可微分的必要条件定理定理1 1( (可微必要条件可微必要条件) )如果函数如果函数可微分可微分,且函数且函数的全微分为的全微分为二、可微的条件二、可微的条件证证总成立总成立,同理可得同理可得上式仍成立上式仍成立, 此时此时的某个邻域内的某个邻域内如果函数如果函数可微分可微分,解解例例 计算函数计算函数在点在点的全微分的全微分.所以所以答案答案全全 微微 分分多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在如，如，一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在两个偏导数都存在函数也不一定可微两个偏导数都存在函数也不一定可微.(由偏导数定义可求得由偏导数定义可求得)全全 微微 分分那那么么说明它不能随着说明它不能随着而趋于而趋于0,因而因而,如果考虑点如果考虑点沿直线沿直线趋近于趋近于2. 可微分的充分条件可微分的充分条件 证在该点的某一邻域内必存在的意思在该点的某一邻域内必存在的意思.定理定理2 2(今后常这样理解今后常这样理解).用拉氏定理用拉氏定理(微分充分条件微分充分条件)假定偏导数在点假定偏导数在点P(x,y)连续连续, 就含有偏导数就含有偏导数全全 微微 分分偏导数偏导数全全 微微 分分同理同理全全 微微 分分在原点在原点(0,0)可微可微.并非必要条件并非必要条件.如如注注两个偏导数两个偏导数在点在点连续连续可微的充分可微的充分仅是函数仅是函数在点在点条件条件, 但是但是,偏导数在原点偏导数在原点(0,0)不连续不连续.全全 微微 分分考虑二元函数考虑二元函数 f (x, y)的下面的下面4条性质条性质: 选择题选择题 f (x, y)在点在点(x0 , y0)处连续处连续, f (x, y)在点在点(x0 , y0)处的两个偏导数连续处的两个偏导数连续, f (x, y)在点在点(x0 , y0)处可微处可微,f (x, y)在点在点(x0 , y0)处的两个偏导数存在处的两个偏导数存在.若用若用“”表示可由性质表示可由性质P推出性质推出性质Q,则有则有(A) . (B) . (C) . (D) . D全全 微微 分分 选择题选择题全全 微微 分分 对一元函数的极限、连续、可导、可微间的关系：对一元函数的极限、连续、可导、可微间的关系：可微可微 可导可导 连续连续 有极限有极限 对多元函数的极限、连续、可导、可微的关系：对多元函数的极限、连续、可导、可微的关系：偏导连续偏导连续 可微可微 连续连续 有极限有极限 有偏导有偏导全全 微微 分分