课题课题: 882 2 电通量电通量 教学目标：教学目标： 1、正确理解高斯定理；、正确理解高斯定理； 2、掌握用高斯定理分析、求解电场强度的条件和方法，并能、掌握用高斯定理分析、求解电场强度的条件和方法，并能 熟练运用之。熟练运用之。 教学重点：教学重点： 1、高斯定理的高斯定理的理解理解； 2、应用高斯定理分析、求解电场强度。、应用高斯定理分析、求解电场强度。 教学难点：教学难点： 高斯定理的证明高斯定理的证明(了解了解) 教学手段：多媒体教学与讲授相结合教学手段：多媒体教学与讲授相结合2课时课时1回顾：电场强度的计算回顾：电场强度的计算回顾：电场强度的计算回顾：电场强度的计算（1 1）点电荷的电场）点电荷的电场（2 2）点电荷系的电场）点电荷系的电场（3）连续带电体的电场连续带电体的电场21.1.电场的图示法电场的图示法电力线（电场线电力线（电场线19961996年年）1.1 1.1 电场中电力线必须满足的两个条件：电场中电力线必须满足的两个条件： （1 1）曲线上每一点的切线方向都表示该点的场强方向；）曲线上每一点的切线方向都表示该点的场强方向； （2 2）曲线的密、疏程度可反映该点场强的强、弱。）曲线的密、疏程度可反映该点场强的强、弱。 1.2 1.2 电力线密度：经过电场中任一点电力线密度：经过电场中任一点P P作与该点场强方向垂直的面作与该点场强方向垂直的面 积元积元 ，设通过它的电力线根数为，设通过它的电力线根数为 。 定义：该面积元上的平均电力线密度定义：该面积元上的平均电力线密度 P P的电力线密度的电力线密度用一族空间曲线形象描述电场分布用一族空间曲线形象描述电场分布P P. .3即：即：电场中某点的场强的大小等于该点的电力线密度。电场中某点的场强的大小等于该点的电力线密度。 引入引入“电力线电力线”时，可使时，可使 ，当比例系数为当比例系数为1 1时，则有：时，则有：通过一个横切面的电力线数就确定了。通过一个横切面的电力线数就确定了。 若按此规定画出电力线，则在电力线密处场强大，若按此规定画出电力线，则在电力线密处场强大， 电力线疏处场强就小。电力线疏处场强就小。 这样从电场的电力线图形就可看出电场中各处场强这样从电场的电力线图形就可看出电场中各处场强的大小和方向，对电场的整体情况就一目了然。的大小和方向，对电场的整体情况就一目了然。4点电荷的电场线点电荷的电场线正电荷正电荷负电荷负电荷+1.31.3几种电场的电场线（几种电场的电场线（P-29P-29）5一对等量异号一对等量异号电荷的电场线电荷的电场线+一对等量正点一对等量正点电荷的电场线电荷的电场线+6一对异号不等量点电荷的电场线一对异号不等量点电荷的电场线2q+q7带电平行板电容器的电场带电平行板电容器的电场+小结：电场强度小结：电场强度大小：大小：方向：方向：曲线上各点切线方向曲线上各点切线方向=电力线密度电力线密度81.4 电力线的性质这些基本性质，由静电场的基本性质和场的单值性决定的。这些基本性质，由静电场的基本性质和场的单值性决定的。可用静电场的基本性质方程加以证明。可用静电场的基本性质方程加以证明。（1 1）起始于正电荷，终止于负电荷，有头有尾，不会在无电荷）起始于正电荷，终止于负电荷，有头有尾，不会在无电荷 处中断。处中断。（2 2）在没有点电荷的空间，任何两条电力线不会相交。）在没有点电荷的空间，任何两条电力线不会相交。（3 3）电力线不会形成闭合曲线。）电力线不会形成闭合曲线。9匀强电场匀强电场（2 2）任意电场中通过任意曲面的电通量）任意电场中通过任意曲面的电通量把曲面分成许多个面积元把曲面分成许多个面积元每一面元处视为匀强电场每一面元处视为匀强电场2.2 2.2 电通量的计算电通量的计算2.2.电通量电通量 藉助电力线认识电通量藉助电力线认识电通量2.1 2.1 定义：通过任一面的电力线条数叫做通过定义：通过任一面的电力线条数叫做通过该面的电场强度通量（电通量）该面的电场强度通量（电通量）“ ”“ ”。通过任意平面的电通量通过任意平面的电通量（1 1）匀强电场中）匀强电场中10（3 3）任意电场中）任意电场中通过闭合面的电通量通过闭合面的电通量讨论讨论正与负正与负取决于面元的法线取决于面元的法线方向的选取方向的选取如右上图可知如右上图可知00若如若如红箭头红箭头所示，则所示，则00000（1）电力线穿入）电力线穿入（2）电力线穿出）电力线穿出（3）电力线与曲面相切）电力线与曲面相切S S讨论：讨论：=0=0123.3.静电场的高斯定理静电场的高斯定理 Gauss theoremGauss theorem3.1 3.1 表述表述 在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量等于这闭合面所包围的电量的代数和除以等于这闭合面所包围的电量的代数和除以 。13平面角平面角：由一点发出的两条射线之间的夹角：由一点发出的两条射线之间的夹角单位：弧度单位：弧度补充：立体角的概念补充：立体角的概念为半径的弧长为半径的弧长取取当然也当然也一般的定义：一般的定义：射线长为射线长为线段元线段元对某点所张的平面角对某点所张的平面角14平面角平面角：立体角立体角：面元面元dS dS 对某点所张的立体角，对某点所张的立体角， 锥体的锥体的“顶角顶角”。单位：球面度单位：球面度对比平面角，取半径为对比平面角，取半径为球面面元球面面元定义式定义式15弧度弧度计算闭合曲面对面内一点所张的立体角计算闭合曲面对面内一点所张的立体角球面度球面度计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角平面平面16库仑定律库仑定律 + + 叠加原理叠加原理思路：思路：先证明点电荷的场先证明点电荷的场 然后推广至一般电荷分布的场然后推广至一般电荷分布的场1) 1) 源电荷是点电荷源电荷是点电荷在该场中取一包围点电荷的闭合面在该场中取一包围点电荷的闭合面( (如图示如图示) )3.2 3.2 高斯定理的证明高斯定理的证明 在闭合面在闭合面S S上任取面元上任取面元该面元对点电荷所张的该面元对点电荷所张的立体角立体角点电荷在面元处的场强为点电荷在面元处的场强为17点电荷在面元处的场强为点电荷在面元处的场强为 在所设的情况下得证在所设的情况下得证182)2)源电荷仍是点电荷源电荷仍是点电荷 取一闭合面不包围点电荷取一闭合面不包围点电荷( (如图示如图示) ) 在闭合面上任取面元在闭合面上任取面元该面元对点电荷张该面元对点电荷张的立体角的立体角 , 也对应面元也对应面元两面元处对应的点电荷的电场强度分别为两面元处对应的点电荷的电场强度分别为 193) 3) 源和面均任意源和面均任意根据叠加原理可得根据叠加原理可得（因为电力线穿入、穿出此曲面的数目一样）（因为电力线穿入、穿出此曲面的数目一样） 在面在面内内对对通量有贡献，通量有贡献， 在面在面外外对对通量无贡献。通量无贡献。20用迭加原理用迭加原理（证毕）（证毕） 推广到任意带电系统的电场：推广到任意带电系统的电场：21讨论讨论2.2.闭合面内、外电荷的贡献：闭合面内、外电荷的贡献：都有贡献都有贡献, ,对对对电通量对电通量的贡献有差别的贡献有差别,只有闭合面内的电量对只有闭合面内的电量对电通量电通量有贡献。有贡献。1.1.高斯定律表明了静电场是高斯定律表明了静电场是“有源场有源场”，电荷就是静电场的源电荷就是静电场的源。3.3.对电荷连对电荷连续分布的带电体续分布的带电体4.4.一般情况下，当电荷分布给定时，由高斯定理只能求出通过某一般情况下，当电荷分布给定时，由高斯定理只能求出通过某一闭合曲面的电通量，并不能把电场中各点的场强确定下来。一闭合曲面的电通量，并不能把电场中各点的场强确定下来。5.5.当电荷分布具有某些特殊的对称性，相应的电场分布也具有一当电荷分布具有某些特殊的对称性，相应的电场分布也具有一定的对称性时，应用高斯定理可计算其场强。定的对称性时，应用高斯定理可计算其场强。224.4.高斯定理在求解场方面的应用高斯定理在求解场方面的应用利用高斯定理求解利用高斯定理求解较为方便较为方便 常见的电量分布的对称性：常见的电量分布的对称性： 球对称球对称 柱对称柱对称 面对称面对称均均匀匀带带电电的的 球体球体 球面球面( (点电荷点电荷) )无限长无限长 柱体柱体 柱面柱面带电线带电线无限大无限大 平板平板 平面平面的分布具有某种对称性的情况下的分布具有某种对称性的情况下, ,对对23rR+q例例1 均匀带电球面的电场，球面半径为均匀带电球面的电场，球面半径为R，带电为，带电为q。电荷分布具有球对称性，电电荷分布具有球对称性，电场分布也应有球对称性，场分布也应有球对称性， 其方向沿径向。其方向沿径向。作同心且半径为作同心且半径为r的高斯面的高斯面.（1）r R时，高斯面无电荷时，高斯面无电荷解：解：24r0ER+R+rq（2）r R时，高斯面包围电荷时，高斯面包围电荷qE r关系曲线关系曲线均匀带电球面的电场分布均匀带电球面的电场分布25Rr例例8-9 均匀带电球体的电场。球半径为均匀带电球体的电场。球半径为R，体电荷密度为，体电荷密度为 。作同心且半径为作同心且半径为r r的高斯面的高斯面a.r R时，高斯面内电荷时，高斯面内电荷b. r R时，高斯面内电荷时，高斯面内电荷解：解：电荷分布具有球对称性，电电荷分布具有球对称性，电场分布也应有球对称性，场分布也应有球对称性， 其方向沿径向。其方向沿径向。26EOrRR均匀带电球体的电场分布均匀带电球体的电场分布Er 关系曲线关系曲线27EE例例8-10 均匀带电无限大平面的电场均匀带电无限大平面的电场.电荷分布具有面对称性，电场分布也应有面电荷分布具有面对称性，电场分布也应有面对称性，方向沿法向。对称性，方向沿法向。解：解：28 作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为S，两底面到带电平面距离相同。两底面到带电平面距离相同。圆柱形高斯面内电荷圆柱形高斯面内电荷由高斯定理得由高斯定理得ESE29例例8-11 无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R，沿轴线方向单位长度带电量为沿轴线方向单位长度带电量为 。rl作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面, ,电荷分布具有柱对称性，电场分布也应有柱对称性，电荷分布具有柱对称性，电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。方向沿径向。高为高为l，半径为，半径为r（1）当）当rR 时，时，均匀带电圆柱面的电场分布均匀带电圆柱面的电场分布r0EREr 关系曲线关系曲线 高斯定理的应用高斯定理的应用31应用高斯定理求场强时，高斯面的选择（1）高斯面一定要通过待求场强的那一点；（2）高斯面的各部分或者与 垂直，或者与 平行；（3）与 垂直的那部分高斯面上，各点的场强应相等；（4）高斯面的形状应比较简单。 为此当电场具有： 球对称时，高斯面选为同心球面； 轴对称时，高斯面选为同轴柱面； 面对称时，高斯面选为柱面，并使两底与 垂直， 侧面与 平行。32r证明：证明： 用填补法证明。用填补法证明。cpo在空腔内任取一点在空腔内任取一点p,设想用一个半径为设想用一个半径为r且体电荷密度与大球相同的小且体电荷密度与大球相同的小球将空腔补上后，球将空腔补上后， p点场强变为点场强变为设该点场强为设该点场强为 ,R小球单独存在时，小球单独存在时，p点的场强为点的场强为因为因为 oc 为常矢量，所以空腔内为匀强电场。为常矢量，所以空腔内为匀强电场。例例2. 均匀带电球体电荷体密度已知，球半径为均匀带电球体电荷体密度已知，球半径为R，在球内挖去，在球内挖去一个半径为一个半径为r（rR）的球体。）的球体。 试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。33