第二节第二节 晶体结构晶体结构本节主要内容本节主要内容: :1.2.1 1.2.1 晶体结构的周期性晶体结构的周期性1.2.2 1.2.2 原胞原胞1.2.3 1.2.3 密堆积、配位数和致密度密堆积、配位数和致密度(b)(c)(a)( (a) )、( (b) )、( (c) )为二维晶体结构示意图，它们有何异同为二维晶体结构示意图，它们有何异同?1.2 晶体结构1.2.1 晶体结构的周期性 所有晶体的结构可以用所有晶体的结构可以用晶格晶格来描述，这种晶格的每个格点来描述，这种晶格的每个格点上附有一群原子，这样的一个原子群称为上附有一群原子，这样的一个原子群称为基元基元，基元在空间周，基元在空间周期性重复排列就形成期性重复排列就形成晶体结构晶体结构。 一个一个理想的晶体是由是由完全相同的的结构单元在空间在空间周期性重重复排列而成的。复排列而成的。(b)(c)(a)1.基元、格点和晶格 在晶体中适当选取某些原子作为一个在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个，这个基本结构单元称为基本结构单元称为基元基元，基元是晶体结构中，基元是晶体结构中最小的重复单元，的重复单元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。(1)(1)基元基元( (b) )( (c) )( (a) ) 任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，而每一任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，而每一个基元中不同原子周围情况则不相同个基元中不同原子周围情况则不相同。(2)(2)晶格晶格 晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地做规则地做周期性无限分布，通过这些点做三组不共面的平行直分布，通过这些点做三组不共面的平行直线族，形成一些网格，称为线族，形成一些网格，称为晶格晶格( (或者说这些点在空间周期性或者说这些点在空间周期性排列形成的骨架称为排列形成的骨架称为晶格晶格) )。( (b b) )( (c)c)( (a)a) 晶格是晶体结构周期性的数学抽象，它忽略了晶体结构的具体内容，保留了晶体结构的周期性。用矢量表示用矢量表示格点的排列。格点的排列。 (3)(3)格点格点 晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为格点格点。 一个格点代表一个基元，它可以代表基元重心的位置，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的点子。也可以代表基元中任意的点子。晶格晶格+ +基元基元= =晶体结构晶体结构(b)(a)2.布拉维晶格、简单晶格和复式晶格(1)(1)布拉维晶格布拉维晶格 格点的总体称为格点的总体称为布拉维晶格布拉维晶格，这种格子的特点是，这种格子的特点是每点周围的情况完全相同。(2)(2)简单晶格和复式晶格简单晶格和复式晶格 简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为则这种原子所组成的网格称为简单晶格简单晶格。 复式晶格：如果晶体由两种或两种以上原子组成，同种原复式晶格：如果晶体由两种或两种以上原子组成，同种原子各构成和格点相同的网格，称为子各构成和格点相同的网格，称为子晶格子晶格，它们相对位移而，它们相对位移而形成形成复式晶格复式晶格。简单晶格简单晶格复式晶格复式晶格 在晶格中取在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿作为重复单元，这个平行六面体沿三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成晶体，这个平行六面体即为晶体，这个平行六面体即为原胞原胞，代表原胞三个边的矢量称为，代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移矢量，简称，简称基矢基矢。1.2.2 原胞 在晶格中取在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿作为重复单元，这个平行六面体沿三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成晶体，这个平行六面体即为晶体，这个平行六面体即为原胞原胞，代表原胞三个边的矢量称为，代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移矢量，简称，简称基矢基矢。 特点：特点：格点格点只在平行六面体的顶角上，只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个，平均每个固体物理学原胞包含1个格点。它反映了晶体结构它反映了晶体结构的周期性的周期性。 构造：取一格点为顶点，由此点向构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个的三个格点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理固体物理学原胞学原胞。(1)(1)固体物理学原胞固体物理学原胞( (简称简称原胞原胞) )基矢：固体物理学原胞基矢通常用基矢：固体物理学原胞基矢通常用 表示。表示。体积为：体积为：原胞内任一点的位矢表示为：原胞内任一点的位矢表示为： 在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。(2)(2)结晶学原胞结晶学原胞（简称（简称单胞单胞） 构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向，构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向，它具有明显的对称性和周期性。它具有明显的对称性和周期性。基矢：结晶学原胞的基矢一般用基矢：结晶学原胞的基矢一般用 表示。表示。 特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。体积为：体积为：(3)(3)维格纳维格纳-塞茨原胞塞茨原胞 构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面面( (或中垂线或中垂线) )，由这些中垂面，由这些中垂面( (或中垂线或中垂线) )所围成的最小体积所围成的最小体积( (或或面积面积) )即为即为W-S原胞原胞。 特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。ab(1)(1)一维原子链一维原子链a2.2.几种晶格的实例几种晶格的实例一维单原子链一维单原子链一维双原子链一维双原子链(2)(2)二维二维( (a) )( (b) )固体物理学原胞固体物理学原胞维格纳维格纳-塞茨单胞塞茨单胞(3)(3)三维三维立方晶系立方晶系布拉维原胞的体积布拉维原胞的体积: :设设晶格常量晶格常量( (布拉维原胞棱边的长度) )为为a, ,取取 为坐标轴的单位矢量为坐标轴的单位矢量, , 即立方体边长为即立方体边长为a, ,( (a)a)简立方简立方每个布拉维原胞包含每个布拉维原胞包含1个格点。固体物理学原胞的体积固体物理学原胞的体积布拉维晶格(简单格)平均每个布拉维原胞包含平均每个布拉维原胞包含4个个格点格点。( (b)b)面心立方面心立方固体物理学原胞的体积固体物理学原胞的体积( (c)c)体心立方体心立方平均每个布拉维原胞包含平均每个布拉维原胞包含2个个格点格点。固体物理学原胞的体积固体物理学原胞的体积复式格( (a)a)金刚石结构金刚石结构金刚石结构属面心立方，每个结晶学原胞包含每个结晶学原胞包含4个个格点格点。 金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/41/4的长度套构而成的长度套构而成, ,其布拉维晶格为其布拉维晶格为面心立方面心立方。c cc cc cc c 金刚石结构每个固体物理学原胞金刚石结构每个固体物理学原胞包含包含1个格点个格点, ,基元由两个碳原子组成基元由两个碳原子组成, ,位于（位于（000）和）和 处。处。( (b)b)氯化钠结构氯化钠结构 氯化钠结构由两个氯化钠结构由两个面心立方面心立方子晶格沿体对角线位移子晶格沿体对角线位移1/21/2的的长度套构而成。长度套构而成。Cl- -和和Na+ +分别组成面心立方子晶格。分别组成面心立方子晶格。其布拉维晶格为其布拉维晶格为面心立方面心立方。氯化钠结构属面心立方。 每个固体物理学原胞包含每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含个格点，每个结晶学原胞包含4个个格点格点。 氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的选取方法相同。选取方法相同。基元由一个基元由一个Cl- -和一个和一个Na+ +组成。组成。( (000) )Cl- -的坐标为的坐标为 ，Na+ +的坐标为的坐标为 。 ( (c)c)氯化铯结构氯化铯结构 氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的长的长度套构而成。度套构而成。 Cl- -和和Cs+ +分别组成简立方格子，其布拉维晶格为分别组成简立方格子，其布拉维晶格为简立方简立方，氯化铯结构属简立方。 每个固体物理学原胞包含每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含个格点，每个结晶学原胞包含1个个格点格点。基元由一个。基元由一个Cl- -和一个和一个Cs+ +组成。组成。( (000) )Cl- -的坐标为的坐标为 ，Cs+ +的坐标为的坐标为 。 ( (d)d)钙钛矿结构钙钛矿结构钙钛矿结构常写成钙钛矿结构常写成ABO3的形式的形式。OTi 钡、钛和钡、钛和3个氧各组成简立方子晶格，钛酸钡是由个氧各组成简立方子晶格，钛酸钡是由5个个简立方简立方子晶格套构而成的。子晶格套构而成的。一个晶胞包含一个晶胞包含1个钡原子、个钡原子、1个钛原子和个钛原子和3个氧原子。个氧原子。钙钛矿钙钛矿的氧的氧八面体八面体结构结构( (e)e) -钨结构钨结构B BB BAAAAAA两个两个B原子和原子和6个个A原子各组成原子各组成简立方简立方。 -钨结构钨结构由由8个子晶格套构而成。个子晶格套构而成。一个晶胞包含一个晶胞包含2个个B原子和原子和6个个A原子。原子。1.2.3 密堆积、配位数和致密度一个粒子周围一个粒子周围最近邻的粒子数称为称为配位数配位数. . 它可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列越紧密，它可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列越紧密，配位数越大。配位数越大。 如果晶体由如果晶体由完全相同的一种粒子组成，而粒子被看作小的一种粒子组成，而粒子被看作小圆球，则这些全同的小圆球最圆球，则这些全同的小圆球最紧密的堆积称为称为密堆积密堆积。 第一层：每个球与第一层：每个球与6个球相切，有个球相切，有6个空隙，个空隙，如编号如编号1, ,2, ,3, ,4, ,5, ,6。第二层：占据第二层：占据1, ,3, ,5空位中心。空位中心。 第三层：在第一层球的正上方形成第三层：在第一层球的正上方形成ABABAB排列方式。排列方式。(1)(1)六角密积六角密积AB 六角密积是复式格，其布拉维晶格是简单六角晶格。 基元由两个原子组成，一个位于基元由两个原子组成，一个位于( (000) )，另一个原子位于，另一个原子位于，(2)(2)立方密积立方密积 第一层：每个球与第一层：每个球与6个球相切，有个球相切，有6个个空隙，如编号为空隙，如编号为1, ,2, ,3, ,4, ,5, ,6。第二层：占据第二层：占据1，3，5空位中心。空位中心。 第三层：占据第三层：占据2，4，6空位中心，空位中心，按按ABCABCABC方式排列，形方式排列，形成面心立方结构，称为成面心立方结构，称为立方密积立方密积。BAC 密堆积特点：密堆积特点：结合能低，晶体结构稳定；配位数最大为结合能低，晶体结构稳定；配位数最大为12。 配位数的可能值为：配位数的可能值为：12( (密堆积密堆积) )，8( (氯化铯型结构氯化铯型结构) )，6( (氯化氯化钠型结构钠型结构) )，4( (金刚石型结构金刚石型结构) )，3( (石墨层状结构石墨层状结构) )，2( (链状结构链状结构) )。下面以几个实例来看配位数与球半径的关系。下面以几个实例来看配位数与球半径的关系。1 1 氯化铯型和氯化钠型结构两种球的半径之比。氯化铯型和氯化钠型结构两种球的半径之比。 取大球中心为立方体的顶角，小球位取大球中心为立方体的顶角，小球位于立方体的中心。于立方体的中心。 设大小球半径分别为设大小球半径分别为R和和r，且且晶格常晶格常量为量为a。取配位数为取配位数为8的氯化铯型结构。的氯化铯型结构。时排列最紧密，结构最稳定。时排列最紧密，结构最稳定。当当2 2 氯化钠型结构氯化钠型结构 设大小球半径分别为设大小球半径分别为R和和r，且晶格常且晶格常量为量为a，当大小球恰能相切时，当大小球恰能相切时，为氯化钠型结构，配位数为为氯化钠型结构，配位数为6。3.致密度： 如果把如果把等体积的硬球放置在晶体结构中原子所在的位置上，放置在晶体结构中原子所在的位置上，球的体积取得尽可能大，以球的体积取得尽可能大，以使最近邻的球相切，我们把一个晶，我们把一个晶胞中被硬球占据的体积和晶胞体积之比称为胞中被硬球占据的体积和晶胞体积之比称为致密度致密度( (堆积比率或最大空间利用率) )。单胞体积单胞体积单胞中原子所占体积单胞中原子所占体积设晶格常量为设晶格常量为a，原子半径为原子半径为R，则则例例1 1：求面心立方的致密度：求面心立方的致密度. .N是单胞中原子个数是单胞中原子个数内部原内部原子数子数面上原面上原子数子数棱上原子棱上原子数数顶角上顶角上原子数原子数典型的晶体结构( (Cu) )4(000) (000) ( (W) )2(000) (000) CsClCs+ + 1Cl- - 1(000) (000) 1288 结构型结构型单胞中的单胞中的 原子个数原子个数原子在单胞原子在单胞中的位置中的位置最近邻最近邻距离距离配位数配位数典型的晶体结构结构型结构型单胞中的单胞中的 原子个数原子个数原子在单胞原子在单胞中的位置中的位置最近邻最近邻距离距离配位数配位数8( (000) ) 4金刚石金刚石NaClNa+ + 4Cl- - 4( (000) ) 6第第三三节节 晶晶向向、晶晶面面和和它它们们的的标标志志本节主要内容本节主要内容: :1.3.1 1.3.1 晶向及晶向指数晶向及晶向指数1.3.2 1.3.2 晶面及密勒指数晶面及密勒指数1.3 晶向、晶面和它们的标志 1.3.1 晶向及晶向指数 通过晶格中任意两个格点通过晶格中任意两个格点连一条直线称为连一条直线称为晶列晶列，晶列的，晶列的取向称为取向称为晶向晶向，描写晶向的一，描写晶向的一组数称为组数称为晶向指数晶向指数( (或或晶列指数晶列指数) )。过一格点可以有无数过一格点可以有无数晶列晶列。 (3) (3)晶列族中的每一晶列上，晶列族中的每一晶列上， 格点分布都是相同的；格点分布都是相同的； (4) (4)在同一平面内，相邻晶列间的在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。距离相等。 (1) (1)平行晶列组成晶列族，晶列平行晶列组成晶列族，晶列族包含所有的格点；族包含所有的格点；(2)(2)晶列上格点分布是周期性的；晶列上格点分布是周期性的；晶列的特点晶列的特点如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为(1)(1) 用固体物理学原胞基矢表示用固体物理学原胞基矢表示 晶列上格点的周期晶列上格点的周期= ?= ?如如121121表示表示为固体物理学原胞基矢为固体物理学原胞基矢如遇到负数，将该数的上面加一横线。 其中其中 为整数，将为整数，将 化为互质的整数化为互质的整数 ， 记为记为 ， 即为该晶列的即为该晶列的晶列指数晶列指数。 (2)(2)以布拉维原胞基矢表示以布拉维原胞基矢表示如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为 其中其中 为有理数为有理数, ,将将 化为化为互质的整数 m, ,n, ,p, , 记为记为 mnp ， mnp 即为该即为该晶列晶列的的晶列指数晶列指数. . OABCDE 例例1 1：如图在立方体中，如图在立方体中，D是是BC的中点，求的中点，求BE, ,AD的晶列指数的晶列指数。解：解：晶列晶列BE的晶列指数为：的晶列指数为： 011 AD的晶列指数为的晶列指数为: :OABCDE求求AD的晶列指数的晶列指数。注意:(1)(1)晶列指数一定是一组互质的整数；晶列指数一定是一组互质的整数；(2)(2)晶列指数用方括号表示晶列指数用方括号表示 ；(3)(3)遇到负数在该数遇到负数在该数上方加一横线。加一横线。晶列晶列(11-1)(11-1)晶列晶列11-111-1晶列晶列(111)(111)晶列晶列111111 (4)(4)等效晶向等效晶向。 在立方体中有，沿立方边的在立方体中有，沿立方边的晶列一共有晶列一共有6个不同的晶向，由于个不同的晶向，由于晶格的对称性，这晶格的对称性，这6个晶向并没有个晶向并没有什么区别，晶体在这些方向上的什么区别，晶体在这些方向上的性质是完全相同的，统称这些方性质是完全相同的，统称这些方向为向为等效晶向等效晶向，写成写成 。 100 001 010 100 010 001 1.3.2 晶面及密勒指数 在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为晶面，描写晶面方位的一组数称为称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数晶面指数。 (1) (1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；(3)(3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布同一晶面族中的每一晶面上，格点分布( (情况情况) )相同；相同；(4)(4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。同一晶面族中相邻晶面间距相等。(2)(2)晶面上格点分布具有周期性；晶面上格点分布具有周期性；晶面方位晶面方位晶面的法线方向晶面的法线方向( (法线方向与三个坐标轴夹角法线方向与三个坐标轴夹角) )晶面在三个坐标轴上的截距晶面在三个坐标轴上的截距(1)(1)以固体物理学原胞基矢表示以固体物理学原胞基矢表示 如图如图取一格点为顶点，原胞的三，原胞的三个基矢个基矢 为坐标系的三个轴，为坐标系的三个轴，设某一晶面与三个坐标轴分别交于设某一晶面与三个坐标轴分别交于A1, ,A2, ,A3, ,设晶面的法线设晶面的法线ON交晶面交晶面A1A2A3于于N，ON长度为长度为 d，d为该晶为该晶面族相邻晶面间的距离，面族相邻晶面间的距离， 为整数，为整数，该晶面法线方向的单位矢量用该晶面法线方向的单位矢量用 表表示，则晶面示，则晶面A1A2A3的方程为：的方程为：A2A3O OA1N d取取 为天然长度单位，则得：为天然长度单位，则得： 晶面的法线方向与三个坐标轴晶面的法线方向与三个坐标轴( (基矢基矢) )的夹角的余弦之比，的夹角的余弦之比，等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。A2 2A3 3OA1 1N d可以证明：可以证明：r,s,t必是一组有理数- -阿羽依的有理数定理阿羽依的有理数定理。 设设 的末端上的格点分别在离原点距离的末端上的格点分别在离原点距离h1d、h2d、h3d的晶面上，这里的晶面上，这里 h1、h2、h3为整数为整数 。 (2) (2)同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等, ,故在原故在原点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。 (1 (1) )所有格点都包容在一族晶面上；因此给定晶面族中必；因此给定晶面族中必有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢 末端上的格点末端上的格点也一定落在该晶面族的晶面上；也一定落在该晶面族的晶面上； 取取 为天然长度单位得：为天然长度单位得：又又晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。A2A3OA1N d 可以证明可以证明h1，h2，h3一定是互质的一定是互质的，称它们为该晶面族的称它们为该晶面族的面指数，记为面指数，记为( (h1h2h3 ) ) 。任一晶面在坐标轴上的截距任一晶面在坐标轴上的截距r，s，t必是一组有理数必是一组有理数。因为因为h1、h2、h3为整数为整数，所以，所以r、s、t必为有理数。必为有理数。综上所述，晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是；(3)(3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。 (2) (2)以以 为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴上的截距倒数的互质比；上的截距倒数的互质比； (1) (1)基矢基矢 被平行的晶面等间距的分割成被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3 等份；等份；以布拉维原胞基矢以布拉维原胞基矢 为坐标轴来表示为坐标轴来表示的晶面指数称为的晶面指数称为密勒指数密勒指数，用，用( (hkl) )表示表示。 例例2：如图所示如图所示 ，I和和H分别为分别为BC，EF之中点，之中点，试求晶面试求晶面AEG，ABCD，OEFG，DIHG的密的密勒指数。勒指数。AEG ABCD DIHG111 121 hkl在三个坐标在三个坐标轴上的截距轴上的截距OABCDEFGHI AEG ABCD DIHG111 121 hkl在三个坐标在三个坐标轴上的截距轴上的截距1:1:1(hkl)(111)(001)(120)AEG 的密勒指数是的密勒指数是(111)；OEFG的密勒指数是的密勒指数是(001)；DIHG的密勒指数是的密勒指数是(120)。OABCDEFGHIABCDEFG例例3: 在立方晶系中画出在立方晶系中画出(210)、 晶面。晶面。晶面在三个坐标轴上的截距分别为：晶面在三个坐标轴上的截距分别为：1(210)11密勒指数是密勒指数是(210) 的晶面是的晶面是ABCD面面；(121)密勒指数是密勒指数是 的晶面是的晶面是EFG面面；第第 四四 节节 倒倒格格本节主要内容本节主要内容: :1.4.1 1.4.1 倒格定义倒格定义1.4.3 1.4.3 倒格与傅里叶变换倒格与傅里叶变换1.4.2 1.4.2 倒格与正格的关系倒格与正格的关系假设:基矢是未知的，只有一些周期性分布的点子同晶面族一一对应,可以求出基矢.In X-ray photo, Points correspond with the crystal planes.倒格子:类似上面所设想的那些点子所组成的格子.电子衍射图1.4 1.4 倒格倒格 倒格倒格正格（点位）矢：正格（点位）矢：倒格基矢倒格基矢倒格（点位）矢：倒格（点位）矢：晶体结构晶体结构=晶格晶格+基元基元正格基矢正格基矢正格正格 一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为倒格倒格。1.4.1 倒格定义倒格基矢定义为：倒格基矢定义为：其中其中 是正格基矢，是正格基矢， 与与 所联系的各点所联系的各点的列阵即为的列阵即为倒格倒格。是固体物理学原胞体积是固体物理学原胞体积倒格基矢的方向和长度如何呢倒格基矢的方向和长度如何呢？一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的2 倍倍。1.1.4.2 倒格与正格的关系其中其中 分别为分别为正格点位矢正格点位矢和和倒格点位矢倒格点位矢。2.( ( 为整数为整数) )3.3.(其中其中 和和 *分别为正、倒格原胞体积分别为正、倒格原胞体积) 4. 4.倒格矢倒格矢 与正格中晶面族与正格中晶面族( (h1h2h3) )正交，且其长度为正交，且其长度为 。(1)(1)证明证明 与晶面族与晶面族( (h1h2h3) )正交。正交。BCOA 设设ABC为晶面族为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，中离原点最近的晶面， ABC在基矢在基矢 上的上的 截距分别为截距分别为 。由图可知：由图可知：所以所以 与晶面族与晶面族(h1h2h3)正交。正交。(2)证明证明 的长度等于的长度等于 。由平面方程：由平面方程： 得：得：在晶胞坐标系在晶胞坐标系 中，中，1.4.3 倒格与傅里叶变换在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。上式两边分别按傅里叶级数展开：上式两边分别按傅里叶级数展开：是正格矢。是正格矢。一定是倒格矢。一定是倒格矢。晶体结构晶体结构 正格正格 倒格倒格1.1.1.2.与晶体中原子位置与晶体中原子位置 相对应；相对应；2.与晶体中一族晶面相与晶体中一族晶面相对应；对应；3.是与真实空间相联系的是与真实空间相联系的傅里叶空间中点的周期性傅里叶空间中点的周期性排列；排列；3.是真实空间中点的周是真实空间中点的周期性排列；期性排列；4.线度量纲为线度量纲为长度长度4.线度量纲为线度量纲为长度长度-1已知晶体结构如何求其倒格呢？已知晶体结构如何求其倒格呢？晶体晶体结构结构正格正格正格正格基矢基矢倒格倒格基矢基矢倒格倒格例例1 1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。倒格是边长为的正方形格子。倒格是边长为的正方形格子。例例2 2：证明体心立方的倒格是面心立方证明体心立方的倒格是面心立方。解：解： 体心立方的原胞基矢：体心立方的原胞基矢：倒格矢：倒格矢：同理得：同理得：体心立方的倒格是边长为体心立方的倒格是边长为4 4 / /a的的面心立方面心立方 。例例3 3：证明简立方晶面：证明简立方晶面( (h1 1h2 2h3 3) )的面间距为的面间距为证明：证明：由由得：得：简立方：简立方：法一：法一：法二：法二：设设ABC为为晶面族晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，中离原点最近的晶面，ABC在基矢在基矢 上的截距分别为上的截距分别为 ，由平面方程由平面方程 得：得：对于立方晶系：对于立方晶系：且：且：