第七章第七章数值积分与数值微分数值积分与数值微分数值积分是工程师和科学家使用的基本工具之一，用来计数值积分是工程师和科学家使用的基本工具之一，用来计算无法解析求解的定积分的近似答案。算无法解析求解的定积分的近似答案。但在数学上看来已经完善的方法不见得切实可行，例如：但在数学上看来已经完善的方法不见得切实可行，例如：数值积分的基本思想数值积分的基本思想数值积分的基本思想数值积分的基本思想7.1牛顿牛顿-柯特斯（柯特斯（Newton-Cotes）求积公式）求积公式当求积节点等距分布时，插值型求积公式称为当求积节点等距分布时，插值型求积公式称为牛顿牛顿柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)求积公式。求积公式。一、一、 牛顿牛顿柯特斯求积公式柯特斯求积公式记记（1）梯形公式）梯形公式(n=1)梯形公式的几何意义梯形公式的几何意义是用四边梯形是用四边梯形x0 ABx1的的面积代替曲边梯形的面积。面积代替曲边梯形的面积。xy0ABy=P1(x)y=f(x)f0f1x0=ax1=b（2）辛卜生公式）辛卜生公式（Simpson）(n=2)(3)n=3为为3/8辛卜生公式辛卜生公式x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=b , h= (b-a)/3(4)n=4为为Cotes公式公式x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=a+3h, x4=b , h= (b-a)/4 例例1：用梯形公式与用梯形公式与辛卜生公式辛卜生公式求求的近似值。的近似值。解：解：辛卜生公式辛卜生公式I=0.7668010梯形公式梯形公式例例2 2：用用Newton-CotesNewton-Cotes公式计算公式计算 解：解：当当n n取不同值时，计算结果如下所示。取不同值时，计算结果如下所示。 I I准准=0.9460831=0.9460831n 近似结果近似结果1 0.92703542 0.94613593 0.94611094 0.94608305 0.9460830定义定义7.17.1二二、求积公式的代数精度、求积公式的代数精度例例3：证明下面数值求积公式证明下面数值求积公式具有具有1 1次代数精度次代数精度. .所以求积公式具有所以求积公式具有1次次代数精度。代数精度。例例4：设有设有成立，确定成立，确定 A0、 A1 、 A2，使上述数值求积公式的代数精度尽可使上述数值求积公式的代数精度尽可能高，能高，并求代数精度并求代数精度。解：解：分别取分别取 (x)=1，x，x2，则有，则有 A0 +A1 + A2=2 -A0 + A2=0 A0 + A2=2/3解得解得A0 =1/3，A1 =4/3， A2=1/3；取取 (x)=x3，左左= =右右=0=0； (x)=x4，左左= =-11x4dx=2/5 =2/5 右右=2/3=2/3所以具有所以具有3 3次代数精度。次代数精度。其中其中 n+1(x)= (x-x0)(x-x1).(x-xn-1)(x-xn)即求积公式即求积公式至少具有至少具有n次代数次代数精度。精度。定理：定理：由由n+1个个互互异节点异节点x0 、x1 、x n构造的插值型求积公式构造的插值型求积公式的代数精度至少为的代数精度至少为n。这里系数这里系数Aj只依赖于求积节点与积分区间只依赖于求积节点与积分区间,与与f(x)无关。无关。显然当显然当f(x)是任何一个不超过是任何一个不超过n次次的多项式时的多项式时,余项余项 由于由于Newton-Cotes公式是其特殊情形公式是其特殊情形( (等距节点等距节点),),它的代数它的代数精度至少是精度至少是n,n,还可以证明还可以证明当当n n 为偶数时为偶数时Newton-CotesNewton-Cotes公式的代公式的代数精度至少是数精度至少是n+1.n+1. 引进变换引进变换x=xn/2+th , -n/2tn/2xj=a+jh, j=0,1,2,nxn/2=a+(n/2)h, 积分第二中值定理：积分第二中值定理：三、三、Newton-CotesNewton-Cotes公式的截断误差公式的截断误差公式的截断误差公式的截断误差定理定理 7.17.1定理定理 7.27.2定理定理定理定理: (: (: (: (Newton-CotesNewton-CotesNewton-CotesNewton-Cotes公式余项定理公式余项定理公式余项定理公式余项定理) ) ) )四、四、Newton-Cotes公式的数值稳定性公式的数值稳定性 初步看来初步看来似乎似乎n n值越大，代数精度越高。是不是值越大，代数精度越高。是不是 n n 越大越大越好呢？答案是否定的。考察越好呢？答案是否定的。考察Newton-Cotes公式的数值稳定公式的数值稳定性，即讨论舍入误差对计算结果的影响。性，即讨论舍入误差对计算结果的影响。五、待定系数法五、待定系数法习题七习题七P181-1，3（3）,5（4）