第一节 集合 集合的基本概念 已知x21,0,x，求实数x的值分析x2是集合的元素，共有三种可能，需要分别进行求解，而且要注意集合内元素的互异性，所有满足集合定义的x都是要求的结果解当x21时，x1或x1.若x1，则集合中元素重复，不符合题意；若x1，则集合为1,0，1，符合题意同理，当x20时，x0，不符合题意当x2x时，x0或x1，由以上分析知，不符合题意综上所述，实数x1. 规律总结本题考查元素的确定性与互异性该类题目的一般解法是先利用元素的确定性求出未知数的值，然后检验元素的互异性在解题中易忽视元素的互异性，这是易错点 变式训练1 已知Aa2,2a25a,12，且3A， 求a的值【解析】当3a2，即a1时，A3，3，12，不符合题意当32a25a，即a1或a 时，若a1，由前面的解答知，不符合题意；若a ，A ，符合题意所以a .集合之间的关系 已知集合Ax|x22x30，Bx|ax1，若B是A的真子集，求实数a的值 分析先化简集合A，再确定集合B的元素集合B含有字母a，应考虑集合B与集合B两种情况，所以此题需分类讨论方程的根最后由集合B是集合A的真子集，元素对应相等，求得实数a的值解Ax|x22x301,3，B是A的真子集，ax1的解为1或3或无解当ax1的解为1时，由a(1)1，得a1；当ax1的解为3时，由a31，得a；当ax1无解时，a0.综上所述，a1或0或. 规律总结(1)解决集合的包含问题时，譬如遇到“AB，A是B的真子集(B为非空集合)”这些条件，要首先考虑A这种情况(2)在解决有关分类讨论的问题时，根据实际问题分类要恰当、合理，做到不重复、不遗漏，克服分类讨论中的主观性和盲目性变式训练设a、bR，集合1，ab，a ，则ba ()A1 B1 C2 D2【答案】C【解析】1，ab，a ，01，ab，a，ab0或a0(舍去)， 1，a1，b1.故ba2.利用集合之间的关系求参数的范围 已知集合Ax|0ax15，集合B.(1)若AB，求实数a的取值范围；(2)若BA，求实数a的取值范围分析要想通过集合之间的包含关系求参数的取值范围，需要把两个集合全部用参数表示出来题设中集合B为已知，因此需要化简集合A，这就要求解含有参数的不等式由于A中的不等式性质不确定，所以需要分情况讨论，确定集合A中元素的范围 解A中不等式的解集应分三种情况讨论：若a0，则AR；若a0，则A.图1(1)当a0时，若AB，此种情况不存在；当a0时，若AB，如图1所示，则a0时，若AB，如图2所示，则即a2.综上可知，a的取值范围是a|a8或a2图2(2)当a0时，显然BA；当a0时，若BA，如图3所示，则a0时，若BA，如图4所示，则0a2.图4综上可知，a的取值范围是规律总结通过集合之间的关系，求参数的取值范围，最终是要通过比较区间端点的大小来实现，因此，确定两个集合内的元素成为解决该类问题的关键由于元素的属性中含有参数，所以分类讨论成为必然分类讨论时要注意不重不漏变式训练设集合Ax|x23x20，Bx|x22(a1)x(a25)0若AB2，求实数a的值【解析】Ax|x23x201,2AB2，2B.将x2代入B中的方程，得a24a30，a1或a3.当a1时，Bx|x2402,2，满足条件；当a3时，Bx|x24x402，满足条件综上所述，a的值为1或3.新定义型问题 (12分)非空集合G关于运算满足：对任意的a，bG，都有abG；存在eG，使得对一切aG都有aeeaa.则称G关于运算为“融洽集”现给出下列集合和运算：(1)G非负整数，为整数的加法；(2)G偶数，为整数的乘法；(3)G平面向量，为平面向量的加法.判断集合G是否关于运算为“融洽集” 分析解答本题首先应充分理解“融洽集”的概念要求，然后对(1)(2)(3)逐一验证是否符合条件即可解(1)G非负整数，为整数的加法任意两个非负整数的和仍为非负整数，且存在e0，使得对一切aG，都有a00aa，符合G关于运算为“融洽集”.4分(2)G偶数，为整数的乘法任意两个偶数的乘积仍是偶数，但不存在偶数eG使得对一切aG，都有aeeaa成立，不符合G关于运算为“融洽集”.8分(3)G平面向量，为平面向量的加法任意两个向量之和仍为向量，且存在e0，使得对一切aG，都有a00aa成立，符合G关于运算为“融洽集”.11分综上所述，其中G关于运算为“融洽集”的有(1)(3)12分规律总结新定义型集合的概念及运算问题是近几年新课标高考的热点问题在给出新的运算法则的前提下，充分利用已知条件求解是关键集合命题中与运算法则相关的问题，是对映射构建下的集合与集合、元素与元素间的运算相关性及封闭性的研究变式训练(2010福建高考)对于平面上的点集，如果连接中任意两点的线段必定包含于，则称为平面上的凸集给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是_(写出所有凸集相应图形的序号)【解析】中的图形，只需连接最上方的两个顶点，即可知不满足凸集的定义，故中的图形不是平面上的凸集；中的图形上任意两点的连线必定在此直线上，故中的图形是平面上的凸集；中的图形上任意两点的连线必定在该图形上，故中的图形是平面上的凸集；中的图形，只需在两圆内各取一点，即可知不满足凸集的定义，故中的图形不是平面上的凸集因此，应选.【答案】1严格区分并熟练应用各种符号，如、SA、等理解常见集合的意义，如非负整数集(或自然数集)N，正整数集N*或N，整数集Z，有理数集Q，实数集R，弄清0、和的区别2理解并正确使用集合的一些简单性质：(1)AA，A，若AB，BC，则AC；(2)AAA，A，ABBA；(3)AA，ABBA，(AB)(AB)；(4)ABABA，ABABB；(5)S(SA)A，SS，SS；(6)S(AB)(SA)(SB)，S(AB)(SA)(SB)；(7)若集合A是有n个元素的集合，则集合A有2n个子集，其中有2n1个真子集3严格区分一些常见集合表示式的意义：(1)AB的含义，有时需要对A分两种情况讨论，A与A.(2)集合Ax|yx22x1，By|yx22x1，C(x，y)|yx22x1中的元素，分别为数、数和点4解决集合问题需要注意的一些思想方法：(1)进行集合运算时，首先要把参与运算的集合化到最简形式运算时可以借助Venn图、数轴和函数图象等工具，注意数形结合思想的应用(2)利用集合间的关系求值或取值范围，往往需要建立方程或不等式，此时要注意分类讨论思想的运用已知集合Ax|x23x100，Bx|m1x2m1，若ABA，求实数m的取值范围错解由x23x100，解得2x5.欲使ABA，即BA，只要解得3m3，所以m的取值范围为3m3.错解分析因为ABA，即BA，所以集合B可以为空集，也可以为非空集在条件中，并没有包含B为空集的情况，故已知条件转化过程中，忽视了隐含条件，造成转化不等价正解由x23x100，解得2x5，即Ax|2x5因为ABA，所以BA.若B，则2m1m1，解得m2.又BA，所以解得3m3.所以2m3.若B，则2m1m1，解得m2.综合可知，m的取值范围为(，3