空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算 1.如图:六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形. O A B C D E F (1)在图中标记的向量中,和 相等的向量有哪些? 和 互为相反的向量有哪些? (3)怎样用向量 来表示向量 ? CF,BA ED(2)在图中标记的向量中,和 共线向量有哪些? DC复习复习: DCDCO A D C B 2.如图:在平行四边形ABCD中中,对角线对角线AC,BD交于点O,设设 ,OAa OBb=(1) _AD =_AB=(2) _ABACBC-+=1212(23 )5()3(2)2323abcabcabc+-+-+-+3.化简: A B C D D1 C1 B1 A1 4.如图如图:在长方体ABCD-A1B1C1D1中中.怎样求 ? 1ABAAAD+学习新知学习新知: 1.空间向量;空间向量的表示: (1)在空间中,把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量，叫做空间向量。 (2)空间向量和平面向量一样,空间向量也用有向线段表示. 凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或相等向量同一向量或相等向量. a2.对于任意两个空间向量 ,在空间任取一点O,作 ,OAa ABb=,a babO A B 空间任意两个向量,都可以用某一平面内的两条有向线段表示. 与平面向量一样,空间向量的加法,减法,数乘运算的意义与平面向量运算的意义相同. OAABOB+=ab+=OAOB-BA=P OPal=空间向量 平面向量 T3. 空间向量的加法和数乘运算满足运算律空间向量的加法和数乘运算满足运算律: (1)abba+=+(2)()()abcabc+=+(3) ()abablll+=+abcO A B C 4.如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为平行向量或共线向量. 记作: ab规定:零向量与任一向量共线. 对于空间任意两个向量 , 共线 的充要条件是: , a b, a b存在实数 ,使得 bal=l(0)a11. 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点,化简下列各式. A1 B1 C1 C B A M 1(1)CBBA+11(2)2ACCBAA+1(3)AAACCB-1CA=12ABBM=+AM=1CACB=-1BA=例题例题: 1. 如图,在空间四边形ABCD中,E是AB中点,CF=2DF,化简下列各式: D A B C E F (1)ACCBBD+(2)AFBFAC-12(3)23ABBCCD+练习练习: 2. 如图,在长方体OADB-CA1D1B1中,OA=3, OB=4,OC=2,OI=OJ=OK=1,点E,F分别是DB, D1B1的中点,设 ,试用 表示下列向量. ,OIi OJj OKk=, ,i j kK O J I C A1 D1 B1 A D B F E (1)OE(2)OF(3)AF例题例题: 2. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点E,F分别是上底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心,求下列各题中m,n,p的值. A A1 B1 C1 D1 B C D F E 1(1)AEmABnADpAA=+1(2)AFmABnADpAA=+1(3)EFmABnADpAA=+练习练习: 3. 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,E为PC中点, ,试用 表示 . ,ABa ADb APc=, ,a b cCED P E A B C 练习练习: 4. 已知P是ABC所在平面外一点,G是ABC的重心,求证: 1()3PGPAPBPC=+P G A B C D 练习练习: 小结: 1. 空间向量有关概念. 2. 空间向量的线性运算:加法,减法,数乘. 加法和数乘运算满足的运算律: 3. 空间向量共线的充要条件: 对于空间任意两个向量 , 共线 的充要条件是: , a b, a b存在实数 ,使得 bal=l(0)a1关键:转化在同一平面内进行运算.