第三章 图形的平移与旋转 学 习 新 知问题思考回顾:在上一节中我们研究了“鱼”沿x轴和y轴方向平移时的坐标特征,总结一下,坐标如何变化?设(x,y)是原图形上的一点,经过平移后,这个点与其对应点的坐标之间有如下关系: 平移方向 平移距离 对应点的坐标 沿x轴方向 沿y轴方向向右平移向左平移向上平移向下平移a个单位长度(a0)(x+a,y)（x-a,y)(x,y+a)(x,y-a)在坐标系中,将坐标作如下变化时,图形将怎样变化?(1)(x,y) (x,y+4);(2) (x,y) (x,y-2);(3) (x,y) (x-1,y);(4) (x,y) (x+3,y).(1)向上平移4个单位长度.(2)向下平移2个单位长度.(3)向左平移1个单位长度.(4)向右平移3个单位长度.【思考】(5) (x,y) (x-1,y+4).先将下图中的“鱼”F向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度,得到新“鱼”F.(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出“鱼”F.(2)能否将“鱼”F看成是“鱼”F经过一次平移得到的?如果能,请指出平移的方向和平移的距离,并与同伴交流.(3)在“鱼”F和“鱼”F中,对应点的坐标之间有什么关系?解：(1)画图略.(2)可以将“鱼”F看成是“鱼”F经过一次平移得到的,平移方向是点(0,0)到点(3,-2)的方向,平移距离为.(3)“鱼”F的点和“鱼”F的对应点相比,横坐标分别增加了3,纵坐标分别减少了2.2.做一做 先将上图中“鱼”F的每个“顶点”的横坐标分别加2,纵坐标不变,得到“鱼”G;再将“鱼”G的每个“顶点”的纵坐标分别加3,横坐标不变,得到“鱼”H.“鱼”H与原来的“鱼”F相比有什么变化?能否将“鱼”H看成是原来的“鱼”F经过一次平移得到的?与同伴交流.如果横坐标分别加2、纵坐标分别减3呢?“鱼”H与“鱼”F相比,形状、大小相同,只是位置发生了改变:先向右平移了2个单位长度,再向上平移了3个单位长度;可以将“鱼”H看成是“鱼”F经过一次平移得到的,平移方向是点(0,0)到点(2,3)的方向,平移距离为. 如果横坐标分别加2,纵坐标分别减3,那么所得的“鱼”H与“鱼”F相比形状、大小相同,只是位置发生了变化:先向右平移了2个单位长度,再向下平移了3个单位长度;可以将“鱼”H看成是“鱼”F经过一次平移得到的,平移方向是点(0,0)到点(2,-3)的方向,平移距离为 .3.议一议一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形与原来的图形相比,位置有什么变化?它们对应点的坐标之间有怎样的关系?设(x,y)是原图形上的一点,当它沿x轴方向平移a(a0)个单位长度,沿y轴方向平移b(b0)个单位长度后,这个点与其对应点的坐标之间有如下关系: 平移方向和平移距离 对应点的坐标 向右平移a个单位长度， 向上平移b个单位长度 向右平移a个单位长度, 向下平移b个单位长度 向左平移a个单位长度, 向上平移b个单位长度 向左平移a个单位长度, 向下平移b个单位长度(x+a,y+b)(x+a,y-b)(x-a,y+b)(x-a,y-b)归纳如下：一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形,可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的.(教材例2)如图所示,四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(-3,5),B(-4,3),C(-1,1),D(-1,4),将四边形ABCD先向上平移3个单位长度,再向右平移4个单位长度,得到四边形ABCD.（1）四边形ABCD与四边形ABCD对应点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？分别写出点A,B,C,D的坐标.（2）如果将四边形ABCD看成是由四边形ABCD经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离.解:(1)四边形ABCD与四边形ABCD相比,对应点的横坐标分别增加了4,纵坐标分别增加了3;A(1,8),B(0,6),C(3,4),D(3,7).(2)如图所示,连接AA,由图可知,AA= =5.因此,如果将四边形ABCD看成是由四边形ABCD经过一次平移得到的,那么这一平移的平移方向是由A到A的方向,平移距离是5个单位长度.知识拓展将平面内的一个图形进行平移,这个图形上所有的点的坐标都要发生相应的变化;反之图形上的点的坐标的某种变化,也将导致图形的某种变化.(1)图形的变化引起点的坐标的变化,点P(x,y)移动后为点P(x,y),其中a0.向上平移a个单位长度: 向下平移a个单位长度:向左平移a个单位长度:向右平移a个单位长度:(2)点的坐标的变化引起图形的变化(其中a0).如果点P(x,y)与点P(x,y)有 的关系,那么点P (x,y)是由点P(x,y)向上平移a个单位长度得到的.如果点P(x,y)与点P (x,y)有 的关系,那么点P (x,y)是由点P(x,y)向下平移a个单位长度得到的.如果点P(x,y)与点P (x,y)有 的关系,那么点P (x,y)是由点P(x,y)向左平移 a个单位长度得到的.如果点P(x,y)与点P (x,y)有 的关系,那么点P (x,y)是由点P(x,y)向右平移a个单位长度得到的.一个图形平移前后大小、形状完全相同,只是位置变化而已,特别地,平移过程中,要注意平移的方向和距离.2.图形的平移:在平面直角坐标系中,如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把一个图形各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数b,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移b个单位长度.1.点的平移:在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右或左平移a(a0)个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)或(x-a,y);将点(x,y)向上或向下平移b(b0)个单位长度,可以得到对应点(x,y+b)或(x,y-b). 课堂小结检测反馈1.如图所示,在106的网格中,每个小方格的边长都是1个单位.将三角形ABC平移到三角形DEF的位置,下面正确的平移步骤是()A.先把三角形ABC向左平移5个单位长度,再向下平移2个单位长度B.先把三角形ABC向右平移5个单位长度,再向下平移2个单位长度C.先把三角形ABC向左平移5个单位长度,再向上平移2个单位长度D.先把三角形ABC向右平移5个单位长度,再向上平移2个单位长度解析:根据网格结构,观察对应点A,D,点A向左平移5个单位长度,再向下平移2个单位长度即可到达点D的位置,所以平移步骤是:先把三角形ABC向左平移5个单位长度,再向下平移2个单位长度.故选A.A2.(1)将点A(-3,-3)向右平移5个单位长度,得到点A1,再把A1向上平移4个单位长度,得到点A2,则点A2的坐标为()A.(-2,-1)B.(2,1)C.(-3,1)D.(3,1)(2)将点A(-2,5)沿x轴负方向平移6个单位长度,再将横坐标乘-2,所得点的坐标为.解析:(1)在平面直角坐标系中,将点向右平移5个单位长度,即纵坐标不变,横坐标加5,所以点A1的坐标为(2,-3),再把A1向上平移4个单位长度,即横坐标不变,纵坐标加4,所以点A2的坐标为(2,1);(2)变化类似,只不过第二次纵坐标不变,横坐标乘-2.具体解答过程如下: (1)点A(-3,-3) A1(2,-3) A2(2,1).(2)点A(-2,5) 点(-8,5) 点(16,5).(16,5)B3.在平面直角坐标系中,一青蛙从点A(-1,0)处向右跳2个单位长度,再向上跳2个单位长度到点A处,则点A的坐标为.解析:一青蛙从点A(-1,0)处向右跳2个单位长度,跳到点(1,0)处,再向上跳2个单位长度到点A处,则点A的坐标为(1,2).故填(1,2).(1,2)4.将点P(1,-m)向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到点Q(n,3),则点K(m,n)的坐标为.解析:将点P(1,-m)向右平移两个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到点Q(n,3),则 解得 所以点K(m,n)的坐标为(-2,3).故填(-2,3).(-2,3) 5.已知点A(2,3),点B(-2,4),点C(-3,-3),请在平面直角坐标系中描出这三个点,并顺次连接三点得到三角形ABC,把三角形ABC向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后,分别写出平移后的三点A,B,C的坐标.解:描点作图略,A(3,5),B(-1,6),C(-2,-1).6.在平面直角坐标系中,三角形ABC的三个顶点的位置如图所示,点A的坐标是(-2,2),现将三角形ABC平移,使点A变换为点A,点B,C分别是B,C的对应点. (1)请画出平移后的三角形ABC(不写画法),并直接写出点B,C的坐标;(2)若三角形ABC内部一点P的坐标(a,b),求点P的对应点P的坐标.解:(1)画图略,点B(-4,1),C(-1,-1).(2)P(a-5,b-2).