数列的极限数列的极限按按 一定次序排列的无穷多个数一定次序排列的无穷多个数称为无穷数列称为无穷数列, , 简称简称数列数列. . 可简记为可简记为其中的每其中的每个数称为数列的项个数称为数列的项, ,称为称为通项通项( (一般项一般项). ).注注: : (1)(1) 数列可看作数轴上一个动点数列可看作数轴上一个动点, , 它在数轴上它在数轴上依次取值依次取值(2)(2) 数列可看作自变量为正整数数列可看作自变量为正整数 的函数的函数: :1定义定义1 1设有数列设有数列与常数与常数如果当如果当无限增无限增大时大时, ,无限接近于无限接近于 , , 则称常数则称常数为为数列数列收收敛于敛于 , , 记为记为或或如果一个数列没有极限如果一个数列没有极限, , 就称该数列是就称该数列是发散发散的的. .注注: : 记号记号常读作常读作: : 当当趋于无穷大时趋于无穷大时, ,趋于趋于2例例1 1其收敛于何值其收敛于何值. .若收敛若收敛, ,下列各数列是否收敛下列各数列是否收敛, ,试指出试指出解解 (1)(1) 数列数列即为即为易见易见, , 当当无限增大时无限增大时, ,也无限增大也无限增大, ,故该故该数列是发散的数列是发散的; ;3(2)(2)解解易见易见, , 当当无限增大时无限增大时, ,也无限接近也无限接近0 0, ,故该故该数列收敛于数列收敛于 ; ; 解解 (3)(3) 数列数列 即为即为易见易见, , 当当无限增大时无限增大时, ,无休止地反复无休止地反复取取两个数两个数, , 而不会无限接近于任何一个确而不会无限接近于任何一个确4故该数列是发散的故该数列是发散的; ; 定的常数定的常数, ,(4)(4) 数列数列 即为即为易见易见, , 当当无限增大时无限增大时, ,无限接近于无限接近于 , ,故该数列收敛于故该数列收敛于 . . 5函数极限的引入函数极限的引入数列可看作自变量为正整数数列可看作自变量为正整数 的函数的函数: :数列数列的极限为的极限为即即: :当自变量当自变量 取正整数取正整数且无限增大且无限增大时时, , 对应的函数值对应的函数值无限无限接近数接近数若将数列极限概念中自变量若将数列极限概念中自变量和函数和函数值值的特殊性撇开的特殊性撇开, ,可以由此引出函数极限的可以由此引出函数极限的一般概念一般概念: : 在自变量在自变量的某个变化过程中的某个变化过程中, ,如果对如果对应的函数值应的函数值无限接近于某个确定的数无限接近于某个确定的数则则就称为就称为在该变化过程中函数在该变化过程中函数的极限的极限. .显然显然, , 极限极限 是与自变量是与自变量 的变化过程密切相关的变化过程密切相关6自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限当当定义定义2 2 如果当如果当 的绝对值无限增大时，函数的绝对值无限增大时，函数无限接近于常数无限接近于常数 ，则称常数，则称常数 为函数为函数时的极限，记作时的极限，记作如果在上述定义中，限制如果在上述定义中，限制 只取正无穷或负无只取正无穷或负无穷即有穷即有7则称常数则称常数 为函数为函数 当当 时的极取限时的极取限. .注意到注意到 意味着同时考虑意味着同时考虑可以得到下面的定理可以得到下面的定理定理定理1 1 极限极限的充分必要条件是的充分必要条件是8例例2 2 求极限求极限解解 因为当因为当 的绝对值无限增大时，的绝对值无限增大时，无限接近于无限接近于0 0即函数即函数 无限接近于常数无限接近于常数1,1,所以所以9例例3 3 讨论极限讨论极限观察函数观察函数的图形（见下图）易知的图形（见下图）易知：所以极限所以极限不存在不存在. .当自变量当自变量 的绝对值的绝对值 无限增大时，对应的无限增大时，对应的函数值函数值 在区间在区间-1,1-1,1上振荡，不接近任何上振荡，不接近任何常数常数10例例4 4 讨论极限讨论极限解解 当当 时，时，当当 时，时，所以所以 不存在不存在. .11自变量趋向有限值时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限现在研究自变量现在研究自变量无限接近有限值无限接近有限值( (即即 ) )时时, , 函数函数的变化趋势的变化趋势. .定义定义3 3 设函数设函数在点在点的某一去心领域内有的某一去心领域内有定义定义. . 如果当如果当时时, , 函数函数无限接无限接近于常数近于常数则称常数则称常数为为函数函数当当时的极限时的极限. .记作记作或或12例例5 5 试根据定义说明下列结论试根据定义说明下列结论: :解解 (1)(1) 当自变量当自变量趋于趋于时时, , 显然显然, , 函数函数也趋于也趋于故故(2)(2)当自变量当自变量趋于趋于时时, , 函数函数始终取相始终取相同的值同的值故故13函数的左极限与右极限函数的左极限与右极限函数函数从左侧从左侧( (或右侧或右侧) )趋于趋于当自变量当自变量时时, ,趋于常数趋于常数, , 则称则称为为在点在点处的处的左极限左极限( (或或右极限右极限), ), 记为记为或或左极限和右极限的示意图左极限和右极限的示意图. .注意到注意到意味着同时考虑意味着同时考虑与与可以得到下面的定理可以得到下面的定理: :14定理定理2 2 极限极限的充分必要条件是的充分必要条件是15例例 6 6 设设求求解解因为因为即有即有所以所以不存在不存在. .16内容小结内容小结1. 1. 数列的极限数列的极限数列极限的定义数列极限的定义2. 2. 函数的极限函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限函数的左极限与右极限函数的左极限与右极限17极限运算法则极限运算法则定理定理 设设则则(1)(1)(2)(2)(3)(3)其中其中推论推论1 1 如果如果存在存在, , 而而为常数为常数, , 则则即即: :常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面. .推论推论2 2 如果如果存在存在, , 而而是正整数是正整数, , 则则18例例1 1 求求解解注：注：设设则有则有19例例 2 2求求解解20例例 3 3 求求解解分子和分母的极限都是零分子和分母的极限都是零. .时时, ,此此时应先约去不为零的无穷小因子时应先约去不为零的无穷小因子后再求后再求极限极限. .消去零因子法消去零因子法21例例 4 4 计算计算解解不能直接使用商的极限运算法则不能直接使用商的极限运算法则. .但可采用分母有理化消去分母中趋于零的因子但可采用分母有理化消去分母中趋于零的因子. .时时, ,当当22定理定理2(2(复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则) )设函数设函数是由函数是由函数与函数与函数复合而成复合而成, ,若若则则且在且在 的某去心邻域内有的某去心邻域内有注注: :若函数若函数和和满足该定理的条件满足该定理的条件, ,则作代换则作代换可把求可把求化为求化为求其中其中定理定理2 2表明表明: :23例例 5 5计算计算解解 令令因为因为则函数则函数可视为由可视为由构成的复合函数构成的复合函数. .且且时时所以所以24例例 6 6 计算计算解解所以所以令令则则且且25第一重要极限第一重要极限26例例 7 7 求求解解27例例 8 8求求解解原式原式28例例 9 9求求解解29利用单调有界准则可以证明这个等式利用单调有界准则可以证明这个等式. . 等式右端的等式右端的其值为其值为2.718 281 2.718 281 828 459 045828 459 045数数 是数学中一个重要常数是数学中一个重要常数, ,基本初等函数中的指数函数基本初等函数中的指数函数下表有助于读者理解这个极限下表有助于读者理解这个极限. .以及自然对数以及自然对数中的底中的底 就是这个常数就是这个常数. . 1 12 22 210101 0001 000 10 000010 0000 100 000100 0001 000 001 000 002.252.25 2.5942.594 2.7172.7172.71812.7181 2.718122.71812 2.7181282.71812830例例 1010求求解解31例例 1111求求解解令令则则时时, ,于是于是注注: : 本例的结果本例的结果今后常作为公式使用今后常作为公式使用. .9.289.2832例例 1212求求解解33例例1313解解求求34内容小结内容小结1. 1. 掌握掌握极限的四则运算法则极限的四则运算法则设设则则2. 2. 会用会用复合函数的极限运算法求极限复合函数的极限运算法求极限35其中其中3. 3.了解极限存在准则了解极限存在准则, , 掌握两个重要极限及其应用掌握两个重要极限及其应用36无穷小的概念无穷小的概念定义定义极限为零的变量称为无穷小极限为零的变量称为无穷小. .例如例如: :时的无穷小时的无穷小. .函数函数是当是当时的无穷小时的无穷小. .函数函数是当是当时的无穷小时的无穷小. .函数函数是当是当注意注意: :(1)(1) 无穷小是变量无穷小是变量, , 不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆. .(2)(2) 零是可以作为无穷小的唯一常数零是可以作为无穷小的唯一常数. .37无穷小的运算性质无穷小的运算性质性质性质1 1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小. .注意注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .例如例如, ,是无穷小是无穷小, , 但但个个之和为之和为1 1, ,不是无穷小不是无穷小. .时时, ,性质性质2 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. .例如例如 当当时时, ,变量变量都是无穷小都是无穷小. .性质性质3 3性质性质4 4 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小. .常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小. .38例例 1 1解解所以所以, ,求求因为因为而当而当 时时, ,是无穷小量是无穷小量, ,是有界量是有界量39无穷大的概念无穷大的概念定义定义2 2并记作并记作( (或或 ) )时时, ,如果在如果在函数函数的绝对值无限增大的绝对值无限增大, ,为当为当则称函数则称函数( (或或 ) )时的时的无穷大无穷大. .当当( (或或 ) )时为无穷大的函数时为无穷大的函数按按通常的意义来说通常的意义来说, , 极限是不存在的极限是不存在的. . 但为了叙述函但为了叙述函数这一形态的方便数这一形态的方便, , 我们也说我们也说“ “函数的极限是无穷函数的极限是无穷大大” ”, ,如果在定义中如果在定义中, , 将将“ “函数函数 的绝对值无限增大的绝对值无限增大” ”40无穷大举例无穷大举例(1)(1) 当当 时时, ,无限增大无限增大, , 故故是当是当时的无穷大时的无穷大, , 即即(2)(2) 当当 时时, ,取负值无限减小取负值无限减小, , 故故是当是当时的负无穷大时的负无穷大, , 即即(3)(3) 当当时时, ,取正值无限增大取正值无限增大, , 故故当当时是正无穷大时是正无穷大, , 即即41无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系无穷大与无穷小之间有着密切的关系无穷大与无穷小之间有着密切的关系. . 例如例如, ,当当时时, ,函数函数是无穷大是无穷大, , 但其倒数但其倒数则是则是同一变化过程中的无穷小同一变化过程中的无穷小; ;又如又如, , 当当时时, , 函函数数是无穷小是无穷小, , 但其倒数但其倒数则是同一变化过程则是同一变化过程中的无穷大中的无穷大. .一般地一般地, , 可以证明下列定理可以证明下列定理. .定理定理2 2在自变量变化的同一过程中在自变量变化的同一过程中, , 无穷大的无穷大的倒数为无穷小倒数为无穷小; ; 恒不为零的无穷小倒数为无穷大恒不为零的无穷小倒数为无穷大. .根据这个定理根据这个定理, , 我们可将无穷大的讨论归结为关我们可将无穷大的讨论归结为关于无穷的讨论于无穷的讨论. .42例例 2 2证证求求因因又又故故由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系, , 得得43例例 3 3证证求求分子和分母的极限都是无穷大分子和分母的极限都是无穷大, ,即以分母即以分母当当时时, ,此时可采用所谓的此时可采用所谓的无穷小因子分出法无穷小因子分出法, ,中自变量的最高次幂除分子和分母中自变量的最高次幂除分子和分母, , 以分出无穷以分出无穷小小, , 然后再用求极限的方法然后再用求极限的方法. .对本例对本例, , 先用先用去除分子分母去除分子分母, , 分出无穷小分出无穷小, , 再再求极限求极限. .44内容小结内容小结1. 1. 2. 2. 无穷小的概念无穷小的概念无穷小的运算性质无穷小的运算性质函数极限与无穷小的关系函数极限与无穷小的关系无穷大的概念无穷大的概念无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系无穷小无穷小无穷大无穷大45