11 动量定理 动量与冲量 动量定理 质心运动定理 用质点运动微分方程解决质点系动力学问题在数学上会遇到很大困难。在许多工程问题中并不需要求出每个质点的运动规律，而是只需知道质点系整体的运动特征就够了。 动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理、动能定理。这些定理建立了表现运动特征的量（动量、动量矩、动能）和表现力作用效果的量（冲量、冲量矩、功）之间的关系。 在应用普遍定理解决实际问题时，不仅运算简单，而且各个量都具有明确的物理意义，便于更深入地研究机械运动的规律。11.1 动量与冲量11.1.1 动量1）质点的动量 质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，记为mv。 动量是矢量，方向与速度方向相同。动量的单位为kgm/s。2）质点系的动量 质点系中各质点动量的矢量和称为质点系的动量。3）质心及用质心速度求质点系动量定义质点系质量中心(质心) C 的矢径则质点系的动量等于质点系的质量与质心速度的乘积。动量例例1 OA杆杆绕绕O轴轴逆逆时时针针转转动动，均均质质圆圆盘盘沿沿OA杆杆纯纯滚滚动动。已已知知圆圆盘盘的的质质量量m20 kg，半半径径R100 mm。在在图图示示位位置置时时，OA杆杆的的倾倾角角为为30o，其其角角速速度度w w1 11 rad/s，圆圆盘盘相相对对OA杆杆转转动动的的角角速度速度w w2 24 rad/s，, 求求圆盘的动量。圆盘的动量。于是于是所以所以方向水平向右。方向水平向右。动量计算解解:取取C为动点，动系与为动点，动系与OA固连固连例例2、椭椭圆圆规规机机构构的的规规尺尺AB的的质质量量为为2m1，曲曲柄柄OC的的质质量量为为m1，滑滑块块A和和B的的的的质质量量均均为为m2。已已知知OCACCBl。曲曲柄柄和和规规尺尺均均为为均均质质细细直直杆杆。曲柄以角速度曲柄以角速度w w转动。求机构的动量。转动。求机构的动量。解解1 1：由质点系动量公式有：由质点系动量公式有建立如图直角坐标系，则动量的投影为建立如图直角坐标系，则动量的投影为动量计算所以机构动量的大小和方向为所以机构动量的大小和方向为解2：方向为方向为C点速度的方向。点速度的方向。因为因为得得例例3、两两均均质质杆杆OA和和AB质质量量为为m，长长为为l，铰铰接接于于A。图图示示位位置置时时，OA杆杆的的角角速速度度为为w w，AB杆杆相相对对OA杆杆的的角角速速度度亦亦为为w w。求此瞬时系统的动量。求此瞬时系统的动量。解：由刚体系统的动量公式解：由刚体系统的动量公式其中：其中：方向水平向右。方向水平向右。mvC1mvC2OABC1C2wwr=wAB作平面运动作平面运动11.1 动量与冲量11.1.2 冲量作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。冲量是矢量，方向与力的方向一致。冲量的单位为Ns，与动量的量纲相同。常力的冲量变力的冲量元冲量 而力 在作用时间 内的冲量是矢量积分11.2.1 质点的动量定理质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。微分形式11.2 动量定理在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。积分形式例例4 锤锤的的质质量量m3000 kg，从从高高度度h1.5 m 处处自自由由下下落落到到受受锻锻压压的的工工件件上上，工工件件发发生生变变形历时形历时 t 0.01 s ；求锤对工件的平均压力。求锤对工件的平均压力。解解：以以锤锤为为研研究究对对象象，和和工工件件接接触触后后受受力力如如图图。工工件件反反 力力 是是 变变 力力 ， 在在 短短 暂暂 时时 间间 迅迅 速速 变变 化化 ， 用用 平平 均均 反反 力力 N*表示。表示。锤自由下落时间锤自由下落时间 锤对工件的平均压力与反力锤对工件的平均压力与反力N*大小相等，方向相反，与锤的重量大小相等，方向相反，与锤的重量G29.4 kN比较，是它的比较，是它的56倍，可见这个力是相当大的。倍，可见这个力是相当大的。例例5 滑滑块块C的的质质量量为为m19.6 kg ，在在力力P866 N的的作作用用下下沿沿倾倾角角为为30o的的导导杆杆AB运运动动。已已知知力力P与与导导杆杆AB之之间间的的夹夹角角为为45o，滑滑块块与与导导杆杆的的动动摩摩擦擦系系数数f0.2 ，初瞬时滑块静止，求滑块的速度增大到初瞬时滑块静止，求滑块的速度增大到v2 m/s 所需的时间。所需的时间。 解：以滑块解：以滑块C为研究对象，建立坐标系。为研究对象，建立坐标系。由动量定理得由动量定理得由由(2)式得式得代入代入(1)式，求得所需时间为式，求得所需时间为从而摩擦力为从而摩擦力为11.2.2 质点系的动量定理 设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的动量为mivi，作用在该质点上的外力与内力的合力为 与 ，由质点的动量定理有将n个方程相加，即得改变求和与求导次序，则得11.2 动量定理质点系的动量对于时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（或外力的主矢）。上式也可以写成其中： ；由于内力成对出现，故所有内力的矢量和恒等于零，即 。于是可得质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和。11.2 动量定理质点系动量定理的微分形式11.2.2 质点系的动量定理质点系动量定理的微分投影形式或质点系动量定理的积分形式在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。质点系动量定理的积分投影形式pp0 恒矢量若，则11.2 动量定理如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，质点系的动量保持不变。如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零，质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。pxp0x 恒量11.2.3 质点系动量守恒定律例6 如图所示，已知小车重为2 kN，沙箱重1 kN，二者以速度v03.5 m/s 运动。此时有一重为0.5 kN的铅球垂直落入沙中后，测得箱在车上滑动0.2 s，不计车与地面摩擦，求箱与车之间的摩擦力。解：研究系统，建立坐标系。代入已知数据，解得v3 m/s设沙箱滑动结束后车速为v，则有再以小车为研究对象，由动量定理有代入已知数据，解得 F0.5 kN例例7 如如图图所所示示，质质量量为为 mA 的的均均质质三三棱棱柱柱A在在重重力力作作用用下下沿沿着着质质量量为为mB的的大大均均质质三三棱棱柱柱B的的斜斜面面下下滑滑，大大三三棱棱柱柱倾倾角角为为q q。设设各各处处摩摩擦擦不不计计，初初始始时时系系统静止。求：统静止。求：(1) B的加速度；的加速度；(2) 地面的支反力。地面的支反力。解：先对系统进行运动分析，建立如图坐标，设B的速度为vB，A相对B的速度为vr，则于是于是系统受力如图。因SFx(e)0，且初始系统静止，有 两边对t求导再以A为研究对象，受力如图，由有有即即 联立求解联立求解(1)、(2)、(3)式得式得最后以整体为研究对象，得最后以整体为研究对象，得将（将（1）式代入上式则得）式代入上式则得即即 例例8 图图示示系系统统，重重物物A和和B的的质质量量分分别别为为m1、m2。若若A下下降降的的加速度为加速度为a，滑轮质量不计。求支座滑轮质量不计。求支座O的反力。的反力。解：以整个系统为研究对象，受力如图，建立如图坐标。解：以整个系统为研究对象，受力如图，建立如图坐标。设设A下降的速度为下降的速度为vA，B上升的速度为上升的速度为vB，则由运动学关系得则由运动学关系得系统的动量在坐标轴上的投影为系统的动量在坐标轴上的投影为由质点系的动量定理由质点系的动量定理注意到注意到可得可得11.3 质心运动定理11.3.1 质量中心11.3.2 质心运动定理对于质量不变的质点系，上式可改写为或质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和(外力的主矢)。形形式式上上，质质心心运运动动定定理理与与质质点点动动力力学学基基本本方方程程完完全全相相似似，因因此此质质心心运运动动定定理理也也可可叙叙述述如如下下：质质点点系系质质心心的的运运动动，可可以以看看成成一一个个质质点点的的运运动动，设设想想此此质质点点集集中中了了整整个个质质点点系系的的质质量量及及其其所所受受的的外外力力。由由质质心心运运动动定定理理可可知知，质质点点系系的的内内力力不不影影响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。 质心运动定理直角坐标投影式自然轴上的投影式11.3.2 质心运动定理 如果作用于质点系的外力主矢恒等于零，则质心作匀速直线运动；若系统开始静止，则质心位置始终保持不变。 如果作用于质点系的所有外力在某轴上的投影的代数和恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变；若开始时速度投影等于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。 以上结论，称为质心运动守恒定理。11.3.3 质心运动守恒定理 例例9 如如图图所所示示，电电动动机机外外壳壳固固定定在在水水平平基基础础上上，定定子子、转转子子的的质质量量分分别别为为m1、m2。设设定定子子质质心心位位于于转转轴轴中中心心O1，由由于于制制造造误误差差，转转子子质质心心O2 到到O1的的距距离离为为e，已已知知转转子子以以匀匀角角速速度度w w 转转动动。求求： (1) 质质心心运运动动方方程程；(2) 基基础础对对电电机机总总的的水水平平和和铅铅垂垂反反力力；(3) 若若电电机机没没有有螺螺栓栓固固定定，各各处处摩摩擦擦不不计计，初始时电机静止，求转子以匀角速度初始时电机静止，求转子以匀角速度w w转动时电动机外壳的运动。转动时电动机外壳的运动。解：解：(1) 建立如图坐标，任一瞬时，建立如图坐标，任一瞬时，q qw w t，即有，即有故质心运动方程为故质心运动方程为 (2) 以系统为研究对象以系统为研究对象由质心运动定理由质心运动定理因因故故得得（3）以系统为研究对象，受力如图。）以系统为研究对象，受力如图。在图示坐标下，设初始时在图示坐标下，设初始时xC1a，当转子转当转子转过过q q，定子向右移动距离定子向右移动距离s，则则所以所以解得解得由此可见，电动机在水平面上作往复运动。此时由此可见，电动机在水平面上作往复运动。此时由于由于S SFx(e)0 ，所以所以若若 ，则，则 。因此如电动机无螺栓固定，它将会跳起来。因此如电动机无螺栓固定，它将会跳起来。 例例10 质质量量为为 m 长长为为 2l 的的均均质质杆杆OA绕绕水水平平固固定定轴轴O在在铅铅垂垂面面内内转转动动，如如图图。已已知知在在图图示示位位置置杆杆的的角角速速度度为为w w ，角加速度为角加速度为a a 。试求此时杆在试求此时杆在O轴的约束反力。轴的约束反力。解解1 1：用质心运动定理。：用质心运动定理。以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。解得解得 解解2：用动量定理。：用动量定理。以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。由由得得解得解得 例例11 质质量量为为M 的的大大三三角角块块放放在在光光滑滑水水平平面面上上，其其斜斜面面上上放放一一和和它它相相似似的的小小三三角角块块，其其质质量量为为m。已已知知大大、小小三三角角块块的的水水平平边边长长各各为为a与与b。试试求求小小三三角角块由图示位置滑到底时大三角块的位移。块由图示位置滑到底时大三角块的位移。解：取系统分析，受力如图，建立如图坐标。解：取系统分析，受力如图，建立如图坐标。设大三角块的位移为设大三角块的位移为s ，则则由于由于S SFx(e)0 ，且初始系统静止，所以且初始系统静止，所以解得解得