1第三章第三章 双曲型方程定解问题双曲型方程定解问题 的有限差分法的有限差分法3.1 一阶线性常系数双曲型方程一阶线性常系数双曲型方程3.2 一阶线性常系数双曲型方程组一阶线性常系数双曲型方程组3.3 变系数双曲型方程及方程组变系数双曲型方程及方程组2双曲型方程初值问题双曲型方程初值问题一阶偏微分方程隶属于双曲型微分方程一阶偏微分方程隶属于双曲型微分方程例如例如波动方程波动方程:二阶线性微分方程是双曲型微分方程二阶线性微分方程是双曲型微分方程3u定义在定义在xt平面上的一个平面上的一个区域区域内内.(一一) 一一阶线性常阶线性常系数双曲型方程系数双曲型方程下面考察方程解下面考察方程解u在定义域内在定义域内直线直线x=at+C上的变化规律上的变化规律.解解u在在直线直线x=at+C上的等于常数上的等于常数.4解解u在直线在直线x=at+C上的等于常数上的等于常数任意在任意在xt平面上方程定义域内取点平面上方程定义域内取点在此点做在此点做特征线特征线x=at+C, 那么那么与与t=0交于点交于点-特征线特征线由点由点任意性任意性, 可知可知解解u在在直线直线x=at+C上的等于常数上的等于常数.51.迎风格式迎风格式关于空间偏导数用在特征线方向的一个单边差商关于空间偏导数用在特征线方向的一个单边差商来代替。来代替。67条件稳定条件稳定条件满足条件满足8条件稳定条件稳定9绝对不稳定绝对不稳定绝对不稳定绝对不稳定同理同理10绝对不稳定绝对不稳定课堂练习课堂练习证明：证明：11差分格式与微分方程的特征线走向一致，条件稳定。差分格式与微分方程的特征线走向一致，条件稳定。所用网格点所用网格点12迎风格式统一形式迎风格式统一形式132 Lax-Friedrichs格式格式14绝对不稳定绝对不稳定15则则稳定稳定16Lax-Friedrichs格式可以不考虑特征线走向，格式可以不考虑特征线走向，但截断误差比迎风格式的截断误差大。但截断误差比迎风格式的截断误差大。173. Lax-Wendroff格式（格式（2阶精度）阶精度）1819左偏心格式左偏心格式P点数值解依赖于点数值解依赖于DC内节点上的函数值内节点上的函数值-依赖区域依赖区域4. Courant-Friedrichs-Lewy条件（条件）条件（条件）20P点数值解依赖于点数值解依赖于DC内节点上的函数值内节点上的函数值-依赖区域依赖区域点点 的的微分方程解依赖区域微分方程解依赖区域应在差分方程的依赖区域应在差分方程的依赖区域DC内内, 否则解不收敛否则解不收敛. 即差即差分格式的依赖区域应该包含微分方程解的依赖区域分格式的依赖区域应该包含微分方程解的依赖区域 微分方程微分方程的解的解条件条件,21不收敛不收敛22微分方程解的依赖区域不属于差分方程解的依赖区域分方程解的依赖区域不属于差分方程解的依赖区域右偏心格式条件右偏心格式条件23Lax-Wendroff格式的条件格式的条件24条件条件差分格式的依赖区域差分格式的依赖区域包含包含微分方程的依赖区域微分方程的依赖区域CFL是格式收敛的必要条件是格式收敛的必要条件.2526不稳定，不稳定，条件下不收敛条件下不收敛条件仍为条件仍为27课堂练习课堂练习1. 试给出一阶双曲型方程左偏心格式、右偏试给出一阶双曲型方程左偏心格式、右偏心格式、中心差分格式的条件。心格式、中心差分格式的条件。285.利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式（两点式），2930设设A,B,C处的值已知，下面来确定点处的值已知，下面来确定点P处的值处的值u(P)311.由由B、C线性插值求线性插值求u(Q)2.由由B、D线性插值求线性插值求u(Q)3.由由B、C、D二次插值求二次插值求u(Q)过过P做特征线做特征线32B，C点插值点插值33B，D点插值点插值34B，C, D点插值点插值35Lax-Wendroff格式格式366.蛙跳格式蛙跳格式37P33定理详见详见p53383940作业作业P802. 直接证明求解直接证明求解 的的Lax-Wendroff格式是二阶精度的格式。格式是二阶精度的格式。