直线系问题 高一数学 必修 2 第三章 直线的方程一、直线系方程的概念一、直线系方程的概念直线系直线系：具有某种共同性质的所有直具有某种共同性质的所有直线的集合线的集合. .它的方程叫直线系它的方程叫直线系方程方程。二、直线系方程的种类二、直线系方程的种类1 1: :1 1: :与直线与直线L L：Ax+By+C=0Ax+By+C=0平行的直线系方程为：平行的直线系方程为： Ax+By+m=0 Ax+By+m=0 （其中（其中mCmC，m m为待定系数）为待定系数）；yox直线系方程的种类直线系方程的种类2 2: :2:与直线与直线L L：Ax+By+C=0Ax+By+C=0垂直的直线系方程为垂直的直线系方程为: : Bx-Ay+m=0 Bx-Ay+m=0 （m m为待定系数）为待定系数）. .yxo直线系方程的种类直线系方程的种类3 3: :3. . 过定点过定点P P（x x0 0，y y0 0）的直线系方程为：）的直线系方程为：A(x-xA(x-x0 0)+B(y-y)+B(y-y0 0) )0 0 设直线的斜率为设直线的斜率为 A(x-xA(x-x0 0)+B(y-y)+B(y-y0 0) )0 (1)0 (1)y-yy-y0 0k(x-xk(x-x0 0) (2) (2) 说明说明:(2)比比(1)少一条直线少一条直线即即:(2)应考虑应考虑k不存在的情况不存在的情况yxo问题：问题： 若直线若直线L L1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0与直线与直线L L2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0相交，交点为相交，交点为P P（x x0 0，y y0 0），则），则过两直线的交点的直线系方程为：过两直线的交点的直线系方程为：m(Am(A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1)+n( A)+n( A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0)=0 其中其中m m、n n为待定系数为待定系数. .证明：证明：所以所以m(Am(A1 1x x0 0+B+B1 1y y0 0+C+C1 1)+n(A)+n(A2 2x x0 0+B+B2 2y y0 0+C+C2 2)=0)=0直线直线m(A A1 1x x0 0+B+B1 1y y0 0+C+C1 1)+n(A)+n(A2 2x x0 0+B+B2 2y y0 0+C+C2 2)=0)=0经过点（经过点（x0，y0）直线系方程的种类直线系方程的种类4 4: :4. 若直线若直线L L1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0与直线与直线L L2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0相交，交点为相交，交点为P P（x x0 0，y y0 0），则过两直线的交点的），则过两直线的交点的直线系方程为直线系方程为:m(A:m(A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1 )+n( A)+n( A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0(1),)=0(1),其中其中m m、n n为待定系数为待定系数. . A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1 +k( A+k( A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0(2) )=0(2) 其中其中k k为待定系为待定系数数. .方程方程(2)(2)比比(1)(1)少一条直线。少一条直线。yox例例.求证：无论求证：无论m m取何实数时，直线取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，恒过定点，并求出定点的坐标。并求出定点的坐标。解法解法1：令令m=1，m= -3代入方程，得：代入方程，得：解得：解得：解得：解得：所以直线恒过定点所以直线恒过定点又因为又因为: 3.5(m-1)- (m-1)- 2.5(m+3)-(m-11)=0(m+3)-(m-11)=0三、直线系方程的应用三、直线系方程的应用: :例例1.求证：无论求证：无论m m取何实数时，直线取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，恒过定点，并求出定点的坐标。并求出定点的坐标。解法解法2： 将方程变为：将方程变为：解得：即：故直线恒过故直线恒过若证明一条直线恒过定点或求一条直线必若证明一条直线恒过定点或求一条直线必过定点，通常有两种方法：过定点，通常有两种方法：方法小结：方法小结： 法二：从特殊到一般，先由其中的两条特法二：从特殊到一般，先由其中的两条特殊直线求出交点，再证明其余直线均过此殊直线求出交点，再证明其余直线均过此交点。交点。法一法一: :分离系数法，即将原方程改变成：分离系数法，即将原方程改变成：f(x, y)+mg(x,y)=0f(x, y)+mg(x,y)=0的形式，此式的成立与的形式，此式的成立与m m的取值无关，故从而解出定点。的取值无关，故从而解出定点。例例2: 求过两直线求过两直线x-2y+4=0x-2y+4=0和和x+y-2=0x+y-2=0的交点，的交点，且满足下列条件的直线且满足下列条件的直线L L的方程。的方程。 (1) (1) 过点过点(2, 1) (2, 1) (2) (2) 和直线和直线3x-4y+5=03x-4y+5=0垂直。垂直。代（代（2，1）入方程，得：）入方程，得：所以直线的方程为：所以直线的方程为：x+2y-4=0解（解（1）：设经二直线交点的直线方程为：）：设经二直线交点的直线方程为：例例2: 求过两直线求过两直线x-2y+4=0x-2y+4=0和和x+y-2=0x+y-2=0的交点，的交点，且满足下列条件的直线且满足下列条件的直线L L的方程。的方程。 (1) (1) 过点过点(2, 1) (2, 1) (2) (2) 和直线和直线3x-4y+5=03x-4y+5=0垂直。垂直。解得：解得：由已知：由已知：故所求得方程是：故所求得方程是：4x+3y-6=0解（解（2）：将（）：将（1）中所设的方程变为：）中所设的方程变为：本题采用先用直线系方程表示所本题采用先用直线系方程表示所利用待定系数法来求解利用待定系数法来求解.函数或曲线类型问题中函数或曲线类型问题中,我们都可以我们都可以这种方法称之为待定系数法这种方法称之为待定系数法,在已知在已知待定常数待定常数,从而最终求得问题的解从而最终求得问题的解.求直线方程求直线方程,然后再列式然后再列式,求出方程的求出方程的方法小结：方法小结： 练练 习习 1 1一一. 已知直线分别满足下列条件，求直线的方程：已知直线分别满足下列条件，求直线的方程：y=x2x+3y-2=04x-3y-6=0x+2y-11=0 两条直线方程相乘可以构成一个二元二次方程两条直线方程相乘可以构成一个二元二次方程,如如:L1:x+2y-1=0,L2:x-y=0,相乘后就得相乘后就得:x2 +xy-2y2-x+y=0那么那么,反过来反过来,如果已知一个二元二次方程是由如果已知一个二元二次方程是由两条直线的方程相乘所得两条直线的方程相乘所得,我们也可以先设出这我们也可以先设出这两条直线的方程两条直线的方程,再利用待定系数法求出它们再利用待定系数法求出它们.请看下面的例子请看下面的例子:四、一个二次方程表示四、一个二次方程表示 两条直线的问题两条直线的问题: :