5.4 5.4 平面向量平面向量 的坐标运算的坐标运算( (一）一）yyyy年年M月月d日星期日星期教学目标：教学目标： （1）理解平面向量的坐标的概念；）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算；）掌握平面向量的坐标运算； （3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线。）会根据向量的坐标，判断向量是否共线。 教学重点：教学重点：平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算教学难点：教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确向量的坐标表示的理解及运算的准确 性。性。黄冈中学网校达州分校一、复一、复 习习 引引 入：入：平面向量基本定理：平面向量基本定理：如果如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数，有且只有一对实数1，2使使 a =1e1+2e2我们把不共线向量我们把不共线向量、叫做表示这一平面内叫做表示这一平面内所有向量的一组所有向量的一组基底基底；向量共线定理向量共线定理向量向量b 与非零向量与非零向量a 共线当且仅当有且只有一共线当且仅当有且只有一个实数个实数，使得使得b=a 黄冈中学网校达州分校二、新二、新课课教教学：学：平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示1在平面内有点在平面内有点A和点和点B，向量怎样向量怎样表示？表示？2平面向量基本定理的内容？什么叫基底？平面向量基本定理的内容？什么叫基底？a =xi +yj有且只有一对实有且只有一对实数数x、y，使得使得3分别与分别与x 轴轴、y 轴方向相同的两单位向量轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作能否作为基底？为基底？Oxyij任一向量任一向量a ，用这组基底可表示为用这组基底可表示为a（x，y）叫做向量叫做向量a的坐标，记作的坐标，记作a=(x,y)那么那么i =（，）j=（，）0=（，）100100黄冈中学网校达州分校OxyijaA(x, y)a1以原点以原点O为起点作为起点作，点，点A的位置由谁确定的位置由谁确定?由由a 唯一确定唯一确定2点点A的坐标与向量的坐标与向量a 的坐标的关的坐标的关系？系？两者相同两者相同向量向量a坐标（坐标（x，y）一一一一对对应应概念理解概念理解3两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？黄冈中学网校达州分校例例1如图，用基底如图，用基底i ，j 分别表示向量分别表示向量a、b 、c 、d，并求它们的坐标并求它们的坐标解：由图可解：由图可知知同理，同理，黄冈中学网校达州分校平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算1.已知已知a，b，求求a+b，a-b解：解：a+b=(i+j )+(i +j )=（+)i+（+)j即即a + b同理可得同理可得a - - b两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差坐标的和与差黄冈中学网校达州分校2已知已知求求xyO解：解：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标标减去始点的坐标实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标应坐标黄冈中学网校达州分校例例2已知已知a=（2，1），），b=（- -3，4），），求求a+b，a- -b，3a+4b 的坐标的坐标解：解：a+b=（2，1）+（- -3，4）=（- -1，5）；）；a- -b=（2，1）- -（- -3，4）=（5，- -3）；）；3a+4b=3（2，1）+4（- -3，4）=（6，3）+（- -12，16）=（- -6，19）(08.四川四川文文)设平面向量设平面向量a=(3，5)，b=(- -2，1)，则，则a- -2b=A(7，3)B(7，7)C(1，7)D(1，3)黄冈中学网校达州分校例例3已知已知ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分的坐标分别为（别为（2，1）、（）、（1，3）、（）、（3，4），求顶点），求顶点D的坐标的坐标解：设顶点解：设顶点D的坐标为（的坐标为（x，y）黄冈中学网校达州分校 例例4已知平面上三点的坐标分别为已知平面上三点的坐标分别为A( 2,1),B( 1,3),C(3,4)，求点，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。个顶点。解：解：当平行四边形为当平行四边形为ABCD时，由时，由得得D1=(2,2)当平行四边形为当平行四边形为ACDB时，时，得得D2=(4,6)当平行四边形为当平行四边形为DACB时，时，得得D3=( 6,0)例例4与例与例3的区别是的区别是什么？分类讨论的什么？分类讨论的数学思想数学思想黄冈中学网校达州分校例例5已知三个力已知三个力F1(3,4),F2(2, 5),F3(x,y)的合力的合力F1+F2+F3=0,求求F3的坐标。的坐标。得：得：(3,4)+(2, 5)+(x,y)=(0,0)解：由题设解：由题设F1+F2+F3=0,即：即： F3=( 5,1)黄冈中学网校达州分校分析：分析：解：解：例例6：有关求点的坐标或利用两个向量表示另一个向量有关求点的坐标或利用两个向量表示另一个向量的问题，可与向量的坐标表示联系起来，利用向量间的问题，可与向量的坐标表示联系起来，利用向量间的关系建立关于坐标的等式求解的关系建立关于坐标的等式求解黄冈中学网校达州分校练练习：习：4.平行四边形平行四边形ABCD的对角线交于的对角线交于O，且且则则的坐标为的坐标为_- -12(2,4)（-3，9）（-5，5）黄冈中学网校达州分校1.1.向向量量的的坐坐标标表表示示是是向向量量的的另另一一种种表表示示形形式式（也也可可以以称称之之为为向向量量的的代代数数表表示示），其其背背景景是是向向量量基基本本定理；定理；2.向量的坐标表示，为我们进行向量的运算打开向量的坐标表示，为我们进行向量的运算打开了方便之门了方便之门:(1)两向量和的坐标等于各向量对应坐标的和；两向量和的坐标等于各向量对应坐标的和；(2)两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差；两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差；(3)实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标乘以该实数；乘以该实数；小小结结黄冈中学网校达州分校3.向向量量的的坐坐标标表表示示使使得得我我们们可可以以通通过过数数的的运运算算来来研究图形的几何性质，体现了数形结合的思想方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的思想方法；1.4.*向量的模和方向也可以用表示向量的坐标来表向量的模和方向也可以用表示向量的坐标来表示：示：(1)设设a=（x，y），），则则|a|=；1.(2)在在直直角角坐坐标标平平面面内内，以以原原点点O为为起起点点，以以A（x，y）为为终终点点的的向向量量=a ，所所以以由由点点O指指向点向点A的方向就是向量的方向就是向量a的方向；的方向；黄冈中学网校达州分校